Lokálně kompaktní prostor - Locally compact space

v topologie a související odvětví matematika, a topologický prostor je nazýván místně kompaktní pokud zhruba řečeno každá malá část prostoru vypadá jako malá část a kompaktní prostor.

Formální definice

Nechat X být topologický prostor. Nejčastěji X je nazýván místně kompaktní pokud každý bod X z X má kompaktní sousedství, tj. existuje otevřená množina U a kompaktní sada K., takový, že ${ displaystyle x v U subseteq K}$.

Existují i ​​další běžné definice: Všechny jsou ekvivalent, pokud X je Hausdorffův prostor (nebo předobjednávka). Ale oni jsou není ekvivalentní obecně:

1. každý bod X má kompaktní sousedství.

2. každý bod X má Zavřeno kompaktní sousedství.

2 '. každý bod X má relativně kompaktní sousedství.

2 ″. každý bod X má místní základna z relativně kompaktní sousedství.

3. každý bod X má místní základna kompaktních čtvrtí.

3 '. za každý bod X z X, každé sousedství X obsahuje kompaktní sousedství X.

4. X je Hausdorff a splňuje všechny (nebo ekvivalentně všechny) předchozí podmínky.

Logické vztahy mezi podmínkami:

• Podmínky (2), (2 ′), (2 ″) jsou rovnocenné.
• Podmínky (3), (3 ') jsou rovnocenné.
• Ani jedna z podmínek (2), (3) neznamená druhou.
• Každá podmínka znamená (1).
• Kompaktnost zahrnuje podmínky (1) a (2), nikoli však (3).

Podmínka (1) je pravděpodobně nejčastěji používanou definicí, protože je nejméně omezující a ostatní jsou s ní ekvivalentní, když X je Hausdorff. Tato ekvivalence je důsledkem faktů, že kompaktní podmnožiny Hausdorffových prostorů jsou uzavřené a uzavřené podmnožiny kompaktních prostorů jsou kompaktní.

Jelikož jsou definovány z hlediska relativně kompaktních množin, lze mezery vyhovující (2), (2 '), (2 ") konkrétněji nazývat místně relativně kompaktní.^[1][2] Steen & Seebach^[3] hovory (2), (2 '), (2 ") silně lokálně kompaktní na rozdíl od vlastnosti (1), kterou nazývají místně kompaktní.

Podmínka (4) se používá například v Bourbaki.^[4] Téměř ve všech aplikacích jsou lokálně kompaktní prostory skutečně také Hausdorff. Tyto místně kompaktní Hausdorffovy (LCH) prostory jsou tedy prostory, kterým se tento článek primárně věnuje.

Příklady a protiklady

Kompaktní Hausdorffovy prostory

Každý kompaktní Hausdorffův prostor je také místně kompaktní a v tomto článku najdete mnoho příkladů kompaktních prostorů kompaktní prostor Zde uvádíme pouze:

• the jednotkový interval [0,1];
• the Cantor set;
• the Hilbertova kostka.

Lokálně kompaktní Hausdorffovy prostory, které nejsou kompaktní

• The Euklidovské prostory Rⁿ (a zejména skutečná linie R) jsou místně kompaktní v důsledku Heine – Borelova věta.
• Topologické potrubí sdílejí místní vlastnosti euklidovských prostorů a jsou proto také lokálně kompaktní. To dokonce zahrnuje nonparacompact potrubí, jako je dlouhá čára.
• Všechno diskrétní prostory jsou místně kompaktní a Hausdorff (jsou to jen nula -dimenzionální potrubí). Jsou kompaktní, pouze pokud jsou konečné.
• Všechno otevřeno nebo uzavřené podmnožiny místně kompaktního prostoru Hausdorff jsou místně kompaktní v topologie podprostoru. To poskytuje několik příkladů lokálně kompaktních podmnožin euklidovských prostorů, například jednotka disku (otevřená nebo uzavřená verze).
• Prostor Q_str z str-adická čísla je místně kompaktní, protože je homeomorfní do Cantor set minus jeden bod. Lokálně kompaktní prostory jsou tedy stejně užitečné v str-adická analýza jako v klasice analýza.

Hausdorffovy prostory, které nejsou místně kompaktní

Jak je uvedeno v následující části, pokud je Hausdorffův prostor lokálně kompaktní, pak je to také a Tychonoffův prostor; v tomto článku jsou některé příklady Hausdorffových prostorů, které nejsou Tychonoffovými mezerami. Existují však také příklady Tychonoffových prostorů, které nejsou lokálně kompaktní, například:

• prostor Q z racionální čísla (obdařen topologií z R), protože jakékoli sousedství obsahuje a Cauchyova posloupnost odpovídající iracionálnímu číslu, které nemá v sobě žádnou konvergentní subsekvenci Q;
• podprostor {(0,0)} unie {(X,y) : X > 0} z R², protože původ nemá kompaktní sousedství;
• the topologie spodního limitu nebo horní mezní topologie na scéně R reálných čísel (užitečné při studiu jednostranné limity );
• žádný T₀, proto Hausdorff, topologický vektorový prostor to je nekonečný -dimenzionální, například nekonečně-dimenzionální Hilbertův prostor.

První dva příklady ukazují, že podmnožina místně kompaktního prostoru nemusí být lokálně kompaktní, což kontrastuje s otevřenými a uzavřenými podmnožinami v předchozí části. Poslední příklad kontrastuje s euklidovskými prostory v předchozí části; konkrétněji je Hausdorffův topologický vektorový prostor lokálně kompaktní právě tehdy, když je konečně-dimenzionální (v takovém případě se jedná o euklidovský prostor). Tento příklad také kontrastuje s Hilbertova kostka jako příklad kompaktního prostoru; není zde žádný rozpor, protože kostka nemůže být sousedstvím žádného bodu v Hilbertově prostoru.

Non-Hausdorffovy příklady

• The jednobodové zhutnění z racionální čísla Q je kompaktní, a proto je lokálně kompaktní ve smyslu (1) a (2), ale není lokálně kompaktní ve smyslu (3).
• The konkrétní topologie bodu na libovolné nekonečné množině je lokálně kompaktní ve smyslech (1) a (3), ale ne ve smyslu (2), protože uzavření libovolného sousedství je celý nekompaktní prostor. Totéž platí pro skutečnou linii s horní topologií.
• The disjunktní unie výše uvedených dvou příkladů je lokálně kompaktní ve smyslu (1), ale nikoli ve smyslu (2) nebo (3).
• The Sierpiński prostor je místně kompaktní ve smyslech (1), (2) a (3) a také kompaktní, ale není to Hausdorff (nebo dokonce preregulární), takže není lokálně kompaktní ve smyslu (4). Nesouvislé spojení nespočetně mnoha kopií Sierpińského prostoru (homeomorfní do Topologie Hjalmara Ekdala ) je nekompaktní prostor, který je stále lokálně kompaktní ve smyslu (1), (2) a (3), ale ne (4).

Vlastnosti

Každý místně kompaktní preregular prostor je ve skutečnosti úplně normální. Z toho vyplývá, že každý místně kompaktní prostor Hausdorff je Tychonoffův prostor. Jelikož přímá pravidelnost je známější podmínkou než preregularita (která je obvykle slabší) nebo úplná pravidelnost (která je obvykle silnější), jsou v matematické literatuře lokálně kompaktní preregulární prostory obvykle označovány místně kompaktní pravidelné prostory. Podobně místně kompaktní prostory Tychonoff se obvykle označují jako místně kompaktní Hausdorffovy prostory.

Každý místně kompaktní prostor Hausdorff je Baireův prostor To znamená, že závěr Věta o kategorii Baire drží: interiér ze všech unie z nespočetně mnoho nikde hustá podmnožiny je prázdný.

A podprostor X místně kompaktního Hausdorffova prostoru Y je místně kompaktní kdyby a jen kdyby X lze psát jako set-teoretický rozdíl ze dvou Zavřeno podmnožiny z YJako důsledek, a hustý podprostor X místně kompaktního Hausdorffova prostoru Y je lokálně kompaktní právě tehdy X je otevřená podmnožina z Y.Kromě toho, pokud je to podprostor X z žádný Hausdorffův prostor Y je tedy místně kompaktní X stále musí být rozdíl dvou uzavřených podmnožin Y, Ačkoliv konverzovat v tomto případě nemusí vydržet.

Kvocientové mezery místně kompaktních Hausdorffových prostorů jsou kompaktně generované Naopak, každý kompaktně generovaný Hausdorffův prostor je podílem nějakého místně kompaktního Hausdorffova prostoru.

Pro místně kompaktní prostory místní jednotná konvergence je stejné jako kompaktní konvergence.

Bod v nekonečnu

Protože každý místně kompaktní prostor Hausdorff X je Tychonoff, to může být vložený v kompaktním Hausdorffově prostoru b (X) za použití Zhutnění Stone – Čech.Ve skutečnosti však v místně kompaktním případě existuje jednodušší metoda; the jednobodové zhutnění vloží X v kompaktním Hausdorffově prostoru a (X) pouze s jedním bodem navíc. (Jednobodové zhutnění lze použít na jiné prostory, ale (X) bude Hausdorff kdyby a jen kdyby X je místně kompaktní a Hausdorff.) Lokálně kompaktní Hausdorffovy prostory lze tedy charakterizovat jako otevřené podmnožiny kompaktních Hausdorffových prostor.

Intuitivně je bod navíc v (X) lze považovat za bod v nekonečnuBod v nekonečnu by měl být považován za ležící mimo každou kompaktní podmnožinu XPomocí této myšlenky lze v místně kompaktních Hausdorffových prostorech formulovat mnoho intuitivních představ o tendenci k nekonečnu. kontinuální nemovitý nebo komplex oceňují funkce F s doména X říká se zmizet v nekonečnu pokud existuje kladné číslo E, existuje kompaktní podmnožina K. z X takové, že |F(X)| < E kdykoli směřovat X leží mimo K.. Tato definice má smysl pro jakýkoli topologický prostor X. Li X je lokálně kompaktní a Hausdorff, takové funkce jsou přesně ty, které lze rozšířit na spojitou funkci G na jeho jednobodovém zhutnění a (X) = X ∪ {∞} kde G(∞) = 0.

Sada C₀(X) všech spojitých funkcí s komplexní hodnotou, které mizí v nekonečnu, je a C * -algebra. Ve skutečnosti každý komutativní C * -algebra je izomorfní do C.₀(X) pro některé unikátní (až do homeomorfismus ) místně kompaktní Hausdorffův prostor X. Přesněji řečeno Kategorie místně kompaktních Hausdorffových prostorů a komutativních C * -algeber jsou dvojí; toto se zobrazuje pomocí Gelfand zastoupení. Formování jednobodového zhutnění a (X) z X odpovídá v této dualitě sousedícímu s prvek identity do C.₀(X).

Lokálně kompaktní skupiny

Pojem místní kompaktnosti je důležitý při studiu topologické skupiny hlavně proto, že každý Hausdorff lokálně kompaktní skupina G nese přirozené opatření volal Haarova opatření které člověku umožňují integrovat měřitelné funkce definováno dne G.v Lebesgueovo opatření na skutečná linie R je to zvláštní případ.

The Pontryagin dual a topologická abelianská skupina A je místně kompaktní kdyby a jen kdyby A je místně kompaktní. Přesněji řečeno, dualita Pontryagin definuje vlastnídualita z kategorie Studie místně kompaktních abelianských skupin je základem harmonická analýza, pole, které se od té doby rozšířilo do neabelovských lokálně kompaktních skupin.

Poznámky

Reference

• Kelley, John (1975). Obecná topologie. Springer. ISBN  978-0387901251.
• Munkres, James (1999). Topologie (2. vyd.). Prentice Hall. ISBN  978-0131816299.
• Steen, Lynn Arthur; Seebach, J. Arthur Jr. (1995) [1978]. Protiklady v topologii (Doveru dotisk z roku 1978 vyd.). Berlín, New York: Springer-Verlag. ISBN  978-0-486-68735-3. PAN  0507446.
• Willard, Stephen (1970). Obecná topologie. Addison-Wesley. ISBN  978-0486434797.