Křivočaré souřadnice - Curvilinear coordinates

Křivočaré (horní), afinní (vpravo) a Kartézský (vlevo) souřadnice ve dvourozměrném prostoru

v geometrie, křivočaré souřadnice plocha souřadnicový systém pro Euklidovský prostor ve kterém souřadnicové čáry mohou být zakřivené. Tyto souřadnice mohou být odvozeny ze sady Kartézské souřadnice pomocí transformace, která je místně invertibilní (mapa 1: 1) v každém bodě. To znamená, že lze převést bod daný v kartézském souřadnicovém systému na jeho křivočaré souřadnice a zpět. Název křivočaré souřadnice, vytvořený francouzským matematikem Chromý, vyplývá ze skutečnosti, že souřadné plochy křivočarých systémů je zakřiveno.

Známé příklady křivočarých souřadnicových systémů v trojrozměrném euklidovském prostoru (R³) jsou válcovitý a sférický polární souřadnice. Kartézská souřadnicová plocha v tomto prostoru je a souřadnicová rovina; například z = 0 definuje X-y letadlo. Ve stejném prostoru je povrch souřadnic r = 1 ve sférických polárních souřadnicích je povrch jednotky koule, který je zakřivený. Formalismus křivočarých souřadnic poskytuje jednotný a obecný popis standardních souřadnicových systémů.

Křivočaré souřadnice se často používají k definování umístění nebo distribuce fyzikálních veličin, které mohou být například skaláry, vektory nebo tenzory. Matematické výrazy zahrnující tyto veličiny v vektorový počet a tenzorová analýza (tak jako spád, divergence, kučera, a Laplacian ) lze transformovat z jednoho souřadnicového systému do druhého podle pravidel transformace pro skaláře, vektory a tenzory. Takové výrazy se stanou platnými pro jakýkoli křivočarý souřadný systém.

Křivočarý souřadnicový systém může být pro některé aplikace jednodušší než kartézský souřadný systém. Pohyb částic pod vlivem centrální síly je obvykle snazší vyřešit v sférické polární souřadnice než v kartézských souřadnicích; to platí pro mnoho fyzických problémů s sférická symetrie definováno v R³. Rovnice s okrajové podmínky které sledují souřadnicové plochy pro konkrétní křivočarý souřadnicový systém, může být v tomto systému snadněji řešitelné. I když by se dalo popsat pohyb částice v obdélníkové krabici pomocí kartézských souřadnic, pohyb ve sféře je snadnější se sférickými souřadnicemi. Sférické souřadnice jsou nejčastějšími křivočarými souřadnými systémy a používají se v Vědy o Zemi, kartografie, kvantová mechanika, relativita, a inženýrství.

Ortogonální křivočaré souřadnice ve 3 rozměrech

Souřadnice, základ a vektory

Obr. 1 - Souřadné plochy, souřadnicové čáry a souřadnicové osy obecných křivočarých souřadnic.

Obr. 2 - Souřadné plochy, souřadnicové čáry a souřadnicové osy sférických souřadnic. Povrchy: r - koule, θ - kužele, φ - poloroviny; Řádky: r - přímé paprsky, θ - vertikální půlkruhy, φ - horizontální kruhy; Sekery: r - přímé paprsky, θ - tečny ke svislým půlkruhům, φ - tečny k vodorovným kružnicím

Prozatím zvažte 3D prostor. Bod P ve 3D prostoru (nebo jeho vektor polohy r) lze definovat pomocí kartézských souřadnic (X, y, z) [rovnocenně napsáno (X¹, X², X³)] tím, že ${ displaystyle mathbf {r} = x mathbf {e} _ {x} + y mathbf {e} _ {y} + z mathbf {e} _ {z}}$ , kde E_X, E_y, E_z jsou standardní základ vektory.

To může být také definováno jeho křivočaré souřadnice (q¹, q², q³) pokud tato trojice čísel jednoznačně definuje jeden bod. Vztah mezi souřadnicemi je pak dán inverzními transformačními funkcemi:

{ displaystyle x = f ^ {1} (q ^ {1}, q ^ {2}, q ^ {3}), , y = f ^ {2} (q ^ {1}, q ^ {2 }, q ^ {3}), , z = f ^ {3} (q ^ {1}, q ^ {2}, q ^ {3})}

{ displaystyle q ^ {1} = g ^ {1} (x, y, z), , q ^ {2} = g ^ {2} (x, y, z), , q ^ {3} = g ^ {3} (x, y, z)}

Povrchy q¹ = konstantní, q² = konstantní, q³ = konstanta se nazývá souřadné plochy; a prostorové křivky vytvořené jejich průnikem ve dvojicích se nazývají souřadnicové křivky. The souřadnicové osy jsou určeny tečny na souřadnicové křivky v průsečíku tří ploch. Nejsou to obecně pevné směry v prostoru, což se stalo v případě jednoduchých kartézských souřadnic, a proto obecně neexistuje žádný přirozený globální základ pro křivočaré souřadnice.

V karteziánském systému lze standardní základní vektory odvodit z derivace umístění bodu P s ohledem na místní souřadnici

{ displaystyle mathbf {e} _ {x} = { dfrac { částečné mathbf {r}} { částečné x}}; ; mathbf {e} _ {y} = { dfrac { částečné mathbf {r}} { částečné y}}; ; mathbf {e} _ {z} = { dfrac { částečné mathbf {r}} { částečné z}}.}

Aplikování stejných derivací na křivočarý systém lokálně v bodě P definuje vektory přírodní báze:

{ displaystyle mathbf {h} _ {1} = { dfrac { částečné mathbf {r}} { částečné q_ {1}}}; ; mathbf {h} _ {2} = { dfrac { částečné mathbf {r}} { částečné q_ {2}}}; ; mathbf {h} _ {3} = { dfrac { částečné mathbf {r}} { částečné q_ {3} }}.}

Takový základ, jehož vektory mění svůj směr a / nebo velikost z bodu do bodu, se nazývá a místní základ. Všechny báze spojené s křivočarými souřadnicemi jsou nutně lokální. Základní vektory, které jsou ve všech bodech stejné, jsou globální základny, a lze je spojit pouze s lineárním nebo afinní souřadnicové systémy.

Pro tento článek E je vyhrazeno pro standardní základ (Kartézský) a h nebo b je pro křivočarý základ.

Ty nemusí mít délku jednotky a také nemusí být ortogonální. V případě, že by jsou ortogonální ve všech bodech, kde jsou deriváty dobře definované, definujeme Lamé koeficienty (po Gabriel Lamé ) od

{ displaystyle h_ {1} = | mathbf {h} _ {1} |; ; h_ {2} = | mathbf {h} _ {2} |; ; h_ {3} = | mathbf { h} _ {3} |}

a křivočaré ortonormální bazální vektory od

{ displaystyle mathbf {b} _ {1} = { dfrac { mathbf {h} _ {1}} {h_ {1}}}; ; mathbf {b} _ {2} = { dfrac { mathbf {h} _ {2}} {h_ {2}}}; ; mathbf {b} _ {3} = { dfrac { mathbf {h} _ {3}} {h_ {3} }}.}

Tyto základní vektory mohou dobře záviset na poloze P; je proto nutné, aby se v dané oblasti nepředpokládalo, že jsou konstantní. (Technicky tvoří základ pro tečný svazek z ${ displaystyle mathbb {R} ^ {3}}$ na P, a tak jsou místní P.)

Obecně křivočaré souřadnice umožňují vektory přirozeného základu h_i ne všechny vzájemně na sebe kolmé a nevyžaduje se, aby byly jednotkové délky: mohou mít libovolnou velikost a směr. Díky použití ortogonálního základu jsou vektorové manipulace jednodušší než u neortogonálních. Některé oblasti fyzika a inženýrství, zejména mechanika tekutin a mechanika kontinua, vyžadují neortogonální báze k popisu deformací a transportu tekutin, aby se zohlednily komplikované směrové závislosti fyzikálních veličin. Diskuse o obecném případě se objeví později na této stránce.

Vektorový počet

Diferenciální prvky,

V ortogonálních křivočarých souřadnicích, protože celkový rozdíl změna v r je

{ displaystyle d mathbf {r} = { dfrac { částečné mathbf {r}} { částečné q ^ {1}}} dq ^ {1} + { dfrac { částečné mathbf {r}} { částečné q ^ {2}}} dq ^ {2} + { dfrac { částečné mathbf {r}} { částečné q ^ {3}}} dq ^ {3} = h_ {1} dq ^ {1} mathbf {b} _ {1} + h_ {2} dq ^ {2} mathbf {b} _ {2} + h_ {3} dq ^ {3} mathbf {b} _ {3} }

takže měřítkové faktory jsou ${ displaystyle h_ {i} = vlevo | { frac { částečné mathbf {r}} { částečné q ^ {i}}} pravé |}$

V neortogonálních souřadnicích délka ${ displaystyle d mathbf {r} = dq ^ {1} mathbf {h} _ {1} + dq ^ {2} mathbf {h} _ {2} + dq ^ {3} mathbf {h} _ {3}}$ je kladná druhá odmocnina z ${ displaystyle d mathbf {r} cdot d mathbf {r} = dq ^ {i} dq ^ {j} mathbf {h} _ {i} cdot mathbf {h} _ {j}}$ (s Konvence Einsteinova součtu ). Šest nezávislých skalárních produktů G_ij=h_i.h_j vektorů přírodních bází zobecní tři faktory měřítka definované výše pro ortogonální souřadnice. Devět G_ij jsou komponenty metrický tenzor, který má pouze tři nenulové složky v ortogonálních souřadnicích: G₁₁=h₁h₁, G₂₂=h₂h₂, G₃₃=h₃h₃.

Kovariantní a kontrariantní báze

Vektor proti (Červené) reprezentovaný • vektorovým základem (žlutá, vlevo, odjet: E₁, E₂, E₃), tečné vektory ke koordinaci křivek (Černá) a • covectorový základ nebo cobasis (modrý, že jo: E¹, E², E³), normální vektory ke koordinaci povrchů (Šedá) v Všeobecné (ne nutně ortogonální ) křivočaré souřadnice (q¹, q², q³). Základ a cobasis se neshodují, pokud není souřadnicový systém ortogonální.^[1]

Prostorové přechody, vzdálenosti, časové derivace a faktory měřítka jsou v souřadném systému vzájemně propojeny dvěma skupinami základních vektorů:

základní vektory, které jsou lokálně tečné k jejich přidružené souřadnicové cestě:
${ displaystyle mathbf {b} _ {i} = { dfrac { částečné mathbf {r}} { částečné q ^ {i}}}}$
který se transformuje jako kovarianční vektory (označeno sníženými indexy), nebo
základní vektory, které jsou lokálně kolmé k isosurface vytvořenému jinými souřadnicemi:
${ displaystyle mathbf {b} ^ {i} = nabla q ^ {i}}$
který se transformuje jako kontravariantní vektory (označeno zvýšenými indexy), ∇ je del operátor.

V důsledku toho má obecný křivočarý souřadný systém dvě sady základních vektorů pro každý bod: {b₁, b₂, b₃} je kovarianční základ a {b¹, b², b³} je kontravariantní (aka reciproční) základ. Typy kovariančních a kontravariantních bázových vektorů mají stejný směr pro ortogonální křivočaré souřadnicové systémy, ale jako obvykle mají vůči sobě obrácené jednotky.

Všimněte si následující důležité rovnosti:

{ displaystyle mathbf {b} ^ {i} cdot mathbf {b} _ {j} = delta _ {j} ^ {i}}

kde ${ displaystyle delta _ {j} ^ {i}}$ označuje zobecněná delta Kronecker.

Důkaz

V kartézském souřadnicovém systému ${ displaystyle ( mathbf {e} _ {x}, mathbf {e} _ {y}, mathbf {e} _ {z})}$ , můžeme napsat bodový produkt jako:

{ displaystyle mathbf {b} _ {i} cdot mathbf {b} ^ {j} = ({ dfrac { částečné x} { částečné q_ {i}}}, { dfrac { částečné y } { částečné q_ {i}}}, { dfrac { částečné z} { částečné q_ {i}}}) cdot ({ dfrac { částečné q_ {j}} { částečné x}}, { dfrac { částečné q_ {j}} { částečné y}}, { dfrac { částečné q_ {j}} { částečné z}}) = { dfrac { částečné x} { částečné q_ { i}}} { dfrac { částečné q_ {j}} { částečné x}} + { dfrac { částečné y} { částečné q_ {i}}} { dfrac { částečné q_ {j}} { částečné y}} + { dfrac { částečné z} { částečné q_ {i}}} { dfrac { částečné q_ {j}} { částečné z}}}

Zvažte nekonečně malé posunutí ${ displaystyle d mathbf {r} = dx cdot mathbf {e} _ {x} + dy cdot mathbf {e} _ {y} + dz cdot mathbf {e} _ {z}}$ . Ať dq₁, dq₂ a dq₃ označme odpovídající nekonečně malé změny v křivočarých souřadnicích q₁, q₂ a q₃ resp.

Podle pravidla řetězu, dq₁ lze vyjádřit jako:

{ displaystyle dq_ {1} = { dfrac { částečné q_ {1}} { částečné x}} dx + { dfrac { částečné q_ {1}} { částečné y}} dy + { dfrac { částečné q_ {1}} { částečné z}} dz = { dfrac { částečné q_ {1}} { částečné x}} dx + { dfrac { částečné q_ {1}} { částečné y}} ({ dfrac { částečné y} { částečné q_ {1}}} dq_ {1} + { dfrac { částečné y} { částečné q_ {2}}} dq_ {2} + { dfrac { částečné y } { částečné q_ {3}}} dq_ {3}) + { dfrac { částečné q_ {1}} { částečné z}} ({ dfrac { částečné z} { částečné q_ {1}} } dq_ {1} + { dfrac { částečné z} { částečné q_ {2}}} dq_ {2} + { dfrac { částečné z} { částečné q_ {3}}} dq_ {3}) }

Pokud posunutí dr je takový, že dq₂ = dq₃ = 0, tj. Vektor polohy r pohybuje se o nekonečně malé množství podél souřadné osy q₂= const a q₃= const, pak:

{ displaystyle dq_ {1} = { dfrac { částečné q_ {1}} { částečné x}} dx + { dfrac { částečné q_ {1}} { částečné y}} { dfrac { částečné y } { částečné q_ {1}}} dq_ {1} + { dfrac { částečné q_ {1}} { částečné z}} { dfrac { částečné z} { částečné q_ {1}}} dq_ {1}}

Dělení podle dq₁a vezmeme limit dq₁ → 0:

{ displaystyle 1 = { dfrac { částečné q_ {1}} { částečné x}} { dfrac { částečné x} { částečné q_ {1}}} + { dfrac { částečné q_ {1} } { částečné y}} { dfrac { částečné y} { částečné q_ {1}}} + { dfrac { částečné q_ {1}} { částečné z}} { dfrac { částečné z} { částečné q_ {1}}} = { dfrac { částečné x} { částečné q_ {1}}} { dfrac { částečné q_ {1}} { částečné x}} + { dfrac { částečné y} { částečné q_ {1}}} { dfrac { částečné q_ {1}} { částečné y}} + { dfrac { částečné z} { částečné q_ {1}}} { dfrac { částečné q_ {1}} { částečné z}}}

nebo ekvivalentně:

{ displaystyle mathbf {b} _ {1} cdot mathbf {b} ^ {1} = 1}

Nyní, když posunutí dr je takový, že dq₁= dq₃= 0, tj. Vektor polohy r pohybuje se o nekonečně malé množství podél souřadné osy q₁= const a q₃= const, pak:

{ displaystyle 0 = { dfrac { částečné q_ {1}} { částečné x}} dx + { dfrac { částečné q_ {1}} { částečné y}} { dfrac { částečné y} { částečné q_ {2}}} dq_ {2} + { dfrac { částečné q_ {1}} { částečné z}} { dfrac { částečné z} { částečné q_ {2}}} dq_ {2} }

Dělení podle dq₂a vezmeme limit dq₂ → 0:

{ displaystyle 0 = { dfrac { částečné q_ {1}} { částečné x}} { dfrac { částečné x} { částečné q_ {2}}} + { dfrac { částečné q_ {1} } { částečné y}} { dfrac { částečné y} { částečné q_ {2}}} + { dfrac { částečné q_ {1}} { částečné z}} { dfrac { částečné z} { částečné q_ {2}}} = { dfrac { částečné x} { částečné q_ {2}}} { dfrac { částečné q_ {1}} { částečné x}} + { dfrac { částečné y} { částečné q_ {2}}} { dfrac { částečné q_ {1}} { částečné y}} + { dfrac { částečné z} { částečné q_ {2}}} { dfrac { částečné q_ {1}} { částečné z}}}

nebo ekvivalentně:

{ displaystyle mathbf {b} _ {2} cdot mathbf {b} ^ {1} = 0}

A tak dále u dalších výrobků s tečkami.

Alternativní důkaz:

{ displaystyle delta _ {j} ^ {i} dq ^ {j} = dq ^ {i} = nabla q ^ {i} cdot d mathbf {r} = mathbf {b} ^ {i} cdot { dfrac { částečné mathbf {r}} { částečné q ^ {j}}} dq ^ {j} = mathbf {b} ^ {i} cdot mathbf {b} _ {j} dq ^ {j}}

a Konvence Einsteinova součtu je implicitní.

Vektor proti lze specifikovat buď na základě, tj.

{ displaystyle mathbf {v} = v ^ {1} mathbf {b} _ {1} + v ^ {2} mathbf {b} _ {2} + v ^ {3} mathbf {b} _ {3} = v_ {1} mathbf {b} ^ {1} + v_ {2} mathbf {b} ^ {2} + v_ {3} mathbf {b} ^ {3}}

Pomocí konvence Einsteinovy sumace se základní vektory vztahují ke komponentám pomocí^[2]^{(str. 30–32)}

{ displaystyle mathbf {v} cdot mathbf {b} ^ {i} = v ^ {k} mathbf {b} _ {k} cdot mathbf {b} ^ {i} = v ^ {k } delta _ {k} ^ {i} = v ^ {i}}

{ displaystyle mathbf {v} cdot mathbf {b} _ {i} = v_ {k} mathbf {b} ^ {k} cdot mathbf {b} _ {i} = v_ {k} delta _ {i} ^ {k} = v_ {i}}

a

{ displaystyle mathbf {v} cdot mathbf {b} _ {i} = v ^ {k} mathbf {b} _ {k} cdot mathbf {b} _ {i} = g_ {ki} v ^ {k}}

{ displaystyle mathbf {v} cdot mathbf {b} ^ {i} = v_ {k} mathbf {b} ^ {k} cdot mathbf {b} ^ {i} = g ^ {ki} v_ {k}}

kde G je metrický tenzor (viz níže).

Vektor lze zadat s kovariantními souřadnicemi (snížené indexy, zapsané) proti_k) nebo kontravariantní souřadnice (zvýšené indexy, zapsané) proti^k). Z výše uvedených vektorových součtů je patrné, že kontravariantní souřadnice jsou asociovány s kovariantními bazálními vektory a kovariantní souřadnice jsou spojeny s kontravariantními bazálními vektory.

Klíčovým rysem reprezentace vektorů a tenzorů z hlediska indexovaných komponent a základních vektorů je invariance v tom smyslu, že vektorové komponenty, které se transformují kovariantním způsobem (nebo kontravariantním způsobem), jsou spárovány se základními vektory, které se transformují kontrariantním způsobem (nebo kovariantním způsobem).

Integrace

Konstrukce kovariantního základu v jedné dimenzi

Obr. 3 - Transformace lokální kovarianční báze v případě obecných křivočarých souřadnic

Zvažte jednorozměrnou křivku zobrazenou na obr. 3. V bodě P, bráno jako původ, X je jedna z kartézských souřadnic a q¹ je jednou z křivočarých souřadnic. Místní (nejednotný) základní vektor je b₁ (notated.) h₁ výše, s b vyhrazeno pro jednotkové vektory) a je postaven na q¹ osa, která je tečnou k této souřadnici v bodě P. Osa q¹ a tedy vektor b₁ tvoří úhel ${ displaystyle alpha}$ s karteziánem X osa a kartézský základový vektor E₁.

Je to vidět z trojúhelníku PAB že

{ displaystyle cos alpha = { cfrac {| mathbf {e} _ {1} |} {| mathbf {b} _ {1} |}} quad Rightarrow quad | mathbf {e} _ {1} | = | mathbf {b} _ {1} | cos alpha}

kde |E₁|, |b₁| jsou velikosti dvou bazických vektorů, tj. skalární průsečíky PB a PA. PA je také projekcí b₁ na X osa.

Tato metoda však pro základní vektorové transformace pomocí směrové kosiny nelze použít na křivočaré souřadnice z následujících důvodů:

Zvětšením vzdálenosti od P, úhel mezi zakřivenou čarou q¹ a kartézská osa X se stále více odchyluje od ${ displaystyle alpha}$ .
Na dálku PB skutečný úhel je ten, který je tečna v bodě C. formuláře s X osa a druhý úhel se jasně liší od ${ displaystyle alpha}$ .

Úhly, které q¹ čára a tato osa se tvoří s X Čím více se osa přiblíží, tím blíže se přiblíží k bodu P a stát se přesně rovnocenným P.

Nechte bod E být umístěn velmi blízko P, tak blízko, že vzdálenost PE je nekonečně malý. Pak PE měřeno na q¹ osa téměř splývá s PE měřeno na q¹ čára. Zároveň poměr PD / PE (PD je projekcí PE na X osa) se téměř přesně rovná ${ displaystyle cos alpha}$ .

Nechte nekonečně malé zachycení PD a PE být označen jako dx adq¹. Pak

{ displaystyle cos alpha = { cfrac {dx} {dq ^ {1}}} = { frac {| mathbf {e} _ {1} |} {| mathbf {b} _ {1} |}}}

.

Směrové kosiny tedy mohou být v transformacích nahrazeny přesnějšími poměry mezi nekonečně malými souřadnicemi. Z toho vyplývá, že složka (projekce) b₁ na X osa je

{ displaystyle p ^ {1} = mathbf {b} _ {1} cdot { cfrac { mathbf {e} _ {1}} {| mathbf {e} _ {1} |}} = | mathbf {b} _ {1} | { cfrac {| mathbf {e} _ {1} |} {| mathbf {e} _ {1} |}} cos alpha = | mathbf {b } _ {1} | { cfrac {dx} {dq ^ {1}}} quad Rightarrow quad { cfrac {p ^ {1}} {| mathbf {b} _ {1} |}} = { cfrac {dx} {dq ^ {1}}}}

.

Li qⁱ = qⁱ(X₁, X₂, X₃) a X_i = X_i(q¹, q², q³) jsou hladký (spojitě diferencovatelné) funkce transformační poměry lze zapsat jako ${ displaystyle { cfrac { částečné q ^ {i}} { částečné x_ {j}}}}$ a ${ displaystyle { cfrac { částečné x_ {i}} { částečné q ^ {j}}}}$ . To znamená, že tyto poměry jsou částečné derivace souřadnic patřících k jednomu systému vzhledem k souřadnicím patřícím k druhému systému.

Konstrukce kovariančního základu ve třech rozměrech

Totéž uděláme pro souřadnice v dalších 2 rozměrech, b₁ lze vyjádřit jako:

{ displaystyle mathbf {b} _ {1} = p ^ {1} mathbf {e} _ {1} + p ^ {2} mathbf {e} _ {2} + p ^ {3} mathbf {e} _ {3} = { cfrac { částečné x_ {1}} { částečné q ^ {1}}} mathbf {e} _ {1} + { cfrac { částečné x_ {2}} { částečné q ^ {1}}} mathbf {e} _ {2} + { cfrac { částečné x_ {3}} { částečné q ^ {1}}} mathbf {e} _ {3} }

Podobné rovnice platí pro b₂ a b₃ tak, aby standardní základE₁, E₂, E₃} je transformován na místní (seřazené a normalizováno) základ {b₁, b₂, b₃} následujícím systémem rovnic:

{ displaystyle { begin {aligned} mathbf {b} _ {1} & = { cfrac { částečné x_ {1}} { částečné q ^ {1}}} mathbf {e} _ {1} + { cfrac { částečné x_ {2}} { částečné q ^ {1}}} mathbf {e} _ {2} + { cfrac { částečné x_ {3}} { částečné q ^ {1 }}} mathbf {e} _ {3} mathbf {b} _ {2} & = { cfrac { částečné x_ {1}} { částečné q ^ {2}}} mathbf {e } _ {1} + { cfrac { částečné x_ {2}} { částečné q ^ {2}}} mathbf {e} _ {2} + { cfrac { částečné x_ {3}} { částečné q ^ {2}}} mathbf {e} _ {3} mathbf {b} _ {3} & = { cfrac { částečné x_ {1}} { částečné q ^ {3}} } mathbf {e} _ {1} + { cfrac { částečné x_ {2}} { částečné q ^ {3}}} mathbf {e} _ {2} + { cfrac { částečné x_ { 3}} { částečné q ^ {3}}} mathbf {e} _ {3} end {zarovnáno}}}

Analogickým uvažováním lze získat inverzní transformaci z lokálního základu na standardní základ:

{ displaystyle { begin {aligned} mathbf {e} _ {1} & = { cfrac { částečné q ^ {1}} { částečné x_ {1}}} mathbf {b} _ {1} + { cfrac { částečné q ^ {2}} { částečné x_ {1}}} mathbf {b} _ {2} + { cfrac { částečné q ^ {3}} { částečné x_ {1 }}} mathbf {b} _ {3} mathbf {e} _ {2} & = { cfrac { parciální q ^ {1}} { parciální x_ {2}}} mathbf {b } _ {1} + { cfrac { částečné q ^ {2}} { částečné x_ {2}}} mathbf {b} _ {2} + { cfrac { částečné q ^ {3}} { částečné x_ {2}}} mathbf {b} _ {3} mathbf {e} _ {3} & = { cfrac { částečné q ^ {1}} { částečné x_ {3}} } mathbf {b} _ {1} + { cfrac { částečné q ^ {2}} { částečné x_ {3}}} mathbf {b} _ {2} + { cfrac { částečné q ^ {3}} { částečné x_ {3}}} mathbf {b} _ {3} end {zarovnáno}}}

Jacobian transformace

Výše soustavy lineárních rovnic lze psát v maticové podobě pomocí Einsteinovy konvence sumace jako

{ displaystyle { cfrac { částečné x_ {i}} { částečné q ^ {k}}} mathbf {e} _ {i} = mathbf {b} _ {k}, quad { cfrac { částečné q ^ {i}} { částečné x_ {k}}} mathbf {b} _ {i} = mathbf {e} _ {k}}

.

Tento matice koeficientu lineárního systému je Jacobian matrix (a jeho inverzní) transformace. Jedná se o rovnice, které lze použít k transformaci karteziánského základu na křivočarý základ a naopak.

Ve třech rozměrech jsou rozšířené formy těchto matic

{ displaystyle mathbf {J} = { begin {bmatrix} { cfrac { částečné x_ {1}} { částečné q ^ {1}}} & { cfrac { částečné x_ {1}} { částečné q ^ {2}}} & { cfrac { částečné x_ {1}} { částečné q ^ {3}}} { cfrac { částečné x_ {2}} { částečné q ^ {1 }}} & { cfrac { částečné x_ {2}} { částečné q ^ {2}}} & { cfrac { částečné x_ {2}} { částečné q ^ {3}}} { cfrac { částečné x_ {3}} { částečné q ^ {1}}} & { cfrac { částečné x_ {3}} { částečné q ^ {2}}} & { cfrac { částečné x_ {3}} { částečné q ^ {3}}} konec {bmatrix}}, quad mathbf {J} ^ {- 1} = { begin {bmatrix} { cfrac { částečné q ^ {1}} { částečné x_ {1}}} & { cfrac { částečné q ^ {1}} { částečné x_ {2}}} & { cfrac { částečné q ^ {1}} { částečné x_ {3}}} { cfrac { částečné q ^ {2}} { částečné x_ {1}}} & { cfrac { částečné q ^ {2}} { částečné x_ {2} }} & { cfrac { částečné q ^ {2}} { částečné x_ {3}}} { cfrac { částečné q ^ {3}} { částečné x_ {1}}} & { cfrac { částečné q ^ {3}} { částečné x_ {2}}} & { cfrac { částečné q ^ {3}} { částečné x_ {3}}} konec {bmatrix}}}

V inverzní transformaci (systém druhé rovnice) jsou neznámé křivočaré základní vektory. Pro jakékoli konkrétní místo může existovat pouze jedna a pouze jedna sada základních vektorů (jinak není základna v daném okamžiku dobře definována). Tato podmínka je splněna právě tehdy, má-li systém rovnic jediné řešení. v lineární algebra, systém lineárních rovnic má jediné řešení (netriviální), pouze pokud je determinant jeho systémové matice nenulový:

{ displaystyle det ( mathbf {J} ^ {- 1}) neq 0}

což ukazuje zdůvodnění výše uvedeného požadavku týkajícího se inverzního Jacobského determinantu.

Zobecnění na n rozměry

Formalismus se vztahuje na jakoukoli konečnou dimenzi následovně.

Zvažte nemovitý Euklidovský n-dimenzionální prostor, to je Rⁿ = R × R × ... × R (n krát) kde R je soubor z reálná čísla a × označuje kartézský součin, což je vektorový prostor.

The souřadnice tohoto prostoru lze označit: X = (X₁, X₂,...,X_n). Jelikož se jedná o vektor (prvek vektorového prostoru), lze jej zapsat jako:

{ displaystyle mathbf {x} = součet _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} mathbf {e} ^ {i}}

kde E¹ = (1,0,0...,0), E² = (0,1,0...,0), E³ = (0,0,1...,0),...,Eⁿ = (0,0,0 ..., 1) je standardní základ sada vektorů pro prostor Rⁿ, a i = 1, 2,...n je komponenta označování indexů. Každý vektor má v každé dimenzi přesně jednu složku (neboli „osu“) a jsou vzájemně vzájemně propojeny ortogonální (kolmý ) a normalizováno (má velikost jednotky ).

Obecněji můžeme definovat základní vektory b_i takže jsou závislí na q = (q₁, q₂,...,q_n), tj. mění se z bodu na bod: b_i = b_i(q). V takovém případě definovat stejný bod X pokud jde o tento alternativní základ: souřadnice s ohledem na tento základ proti_i také nutně závisí na X také to je proti_i = proti_i(X). Pak vektor proti v tomto prostoru, s ohledem na tyto alternativní souřadnice a základní vektory, lze rozšířit jako a lineární kombinace na tomto základě (což jednoduše znamená znásobit každý základ vektor E_i o číslo proti_i – skalární násobení ):

{ displaystyle mathbf {v} = součet _ {j = 1} ^ {n} { bar {v}} ^ {j} mathbf {b} _ {j} = součet _ {j = 1} ^ {n} { bar {v}} ^ {j} ( mathbf {q}) mathbf {b} _ {j} ( mathbf {q})}

Vektorový součet, který popisuje proti v novém základu se skládá z různých vektorů, i když samotný součet zůstává stejný.

Transformace souřadnic

Z obecnějšího a abstraktnějšího pohledu je křivkový souřadný systém jednoduše a souřadnicová oprava na diferencovatelné potrubí Eⁿ (n-dimenzionální Euklidovský prostor ) to je difeomorfní do Kartézský souřadnicová záplata na potrubí.^[3] Dvě difeomorfní souřadnicové záplaty na diferenciálním potrubí se nemusí odlišně překrývat. S touto jednoduchou definicí křivočarého souřadnicového systému jsou všechny následující výsledky jednoduše aplikací standardních vět v diferenciální topologie.

Transformační funkce jsou takové, že mezi body ve „starých“ a „nových“ souřadnicích existuje vztah jedna k jedné, to znamená, že tyto funkce jsou bijekce, a splnit následující požadavky v rámci jejich domén:

Oni jsou plynulé funkce: qⁱ = qⁱ(X)
Inverzní Jacobian určující
${ displaystyle J ^ {- 1} = { begin {vmatrix} { dfrac { částečné q ^ {1}} { částečné x_ {1}}} & { dfrac { částečné q ^ {1}} { částečné x_ {2}}} & cdots & { dfrac { částečné q ^ {1}} { částečné x_ {n}}} { dfrac { částečné q ^ {2}} { částečné x_ {1}}} & { dfrac { částečné q ^ {2}} { částečné x_ {2}}} & cdots & { dfrac { částečné q ^ {2}} { částečné x_ { n}}} vdots & vdots & ddots & vdots { dfrac { částečné q ^ {n}} { částečné x_ {1}}} & { dfrac { částečné q ^ { n}} { částečné x_ {2}}} & cdots & { dfrac { částečné q ^ {n}} { částečné x_ {n}}} konec {vmatrix}} neq 0}$
není nula; což znamená, že transformace je invertibilní: X_i(q).
podle věta o inverzní funkci. Podmínka, že Jacobian determinant není nula, odráží skutečnost, že tři povrchy z různých rodin se protínají v jednom a jediném bodě a určují tak polohu tohoto bodu jedinečným způsobem.^[4]

Vektorová a tenzorová algebra v trojrozměrných křivočarých souřadnicích

Poznámka: Konvence Einsteinova součtu sčítání na opakovaných indexech se používá níže.

Elementární vektorová a tenzorová algebra v křivočarých souřadnicích se používá v některé ze starších vědeckých literatur v mechanika a fyzika a může být nepostradatelný pro porozumění práci z počátku a poloviny 20. století, například textu od Greena a Zerny.^[5] V této části jsou uvedeny některé užitečné vztahy v algebře vektorů a tenzorů druhého řádu v křivočarých souřadnicích. Notace a obsah jsou primárně z Ogdenu,^[6] Naghdi,^[7] Simmonds,^[2] Zelená a Zerna,^[5] Basar a Weichert,^[8] a Ciarlet.^[9]

Tenzory v křivočarých souřadnicích

Tenzor druhého řádu lze vyjádřit jako

{ displaystyle { boldsymbol {S}} = S ^ {ij} mathbf {b} _ {i} otimes mathbf {b} _ {j} = S ^ {i} {} _ {j} mathbf {b} _ {i} otimes mathbf {b} ^ {j} = S_ {i} {} ^ {j} mathbf {b} ^ {i} otimes mathbf {b} _ {j} = S_ {ij} mathbf {b} ^ {i} otimes mathbf {b} ^ {j}}

kde ${ displaystyle scriptstyle otimes}$ označuje tenzorový produkt. Komponenty S^ij se nazývají kontrariantní komponenty, Sⁱ _j the smíšený pravý kovariant komponenty, S_i ^j the smíšený levý kovariant součásti a S_ij the kovariantní komponenty tenzoru druhého řádu. Složky tenzoru druhého řádu spolu souvisejí

{ displaystyle S ^ {ij} = g ^ {ik} S_ {k} {} ^ {j} = g ^ {jk} S ^ {i} {} _ {k} = g ^ {ik} g ^ { j ell} S_ {k ell}}

Metrický tenzor v ortogonálních křivočarých souřadnicích

V každém bodě lze sestrojit malý přímkový prvek $d X$ , takže čtverec délky přímkového prvku je skalární součin dX • dX a nazývá se metrický z prostor, dána:

{ displaystyle d mathbf {x} cdot d mathbf {x} = { cfrac { částečné x_ {i}} { částečné q ^ {j}}} { cfrac { částečné x_ {i}} { částečné q ^ {k}}} dq ^ {j} dq ^ {k}}

.

Následující část výše uvedené rovnice

{ displaystyle { cfrac { částečné x_ {k}} { částečné q ^ {i}}} { cfrac { částečné x_ {k}} { částečné q ^ {j}}} = g_ {ij} (q ^ {i}, q ^ {j}) = mathbf {b} _ {i} cdot mathbf {b} _ {j}}

je symetrický tenzor nazval základní (nebo metrický) tenzor z Euklidovský prostor v křivočarých souřadnicích.

Indexy mohou být zvednutý a spuštěný podle metriky:

{ displaystyle v ^ {i} = g ^ {ik} v_ {k}}

Vztah k Lamé koeficientům

Definování faktorů měřítka h_i podle

{ displaystyle h_ {i} h_ {j} = g_ {ij} = mathbf {b} _ {i} cdot mathbf {b} _ {j} quad Rightarrow quad h_ {i} = { sqrt {g_ {ii}}} = left | mathbf {b} _ {i} right | = left | { cfrac { částečné mathbf {x}} { částečné q ^ {i}}} vpravo |}

udává vztah mezi metrickým tenzorem a Lamého koeficienty a

{ displaystyle g_ {ij} = { cfrac { částečné mathbf {x}} { částečné q ^ {i}}} cdot { cfrac { částečné mathbf {x}} { částečné q ^ { j}}} = left (h_ {ki} mathbf {e} _ {k} right) cdot left (h_ {mj} mathbf {e} _ {m} right) = h_ {ki} h_ {kj}}

kde h_ij jsou Lamého koeficienty. Pro ortogonální základ máme také:

{ displaystyle g = g_ {11} g_ {22} g_ {33} = h_ {1} ^ {2} h_ {2} ^ {2} h_ {3} ^ {2} quad Rightarrow quad { sqrt {g}} = h_ {1} h_ {2} h_ {3} = J}

Příklad: Polární souřadnice

Pokud vezmeme v úvahu polární souřadnice pro R²,

{ displaystyle (x, y) = (r cos theta, r sin theta)}

(r, θ) jsou křivočaré souřadnice a jakobiánský determinant transformace (r, θ) → (r cos θ, r sin θ) je r.

The ortogonální základní vektory jsou b_r = (cos θ, sin θ), b_θ = (−r sin θ, r cos θ). Faktory měřítka jsou h_r = 1 a h_θ= r. Základní tenzor je G₁₁ =1, G₂₂ =r², G₁₂ = G₂₁ =0.

Střídavý tenzor

Na ortonormální pravotočivé bázi třetí řád střídavý tenzor je definován jako

{ displaystyle { boldsymbol { mathcal {E}}} = varepsilon _ {ijk} mathbf {e} ^ {i} otimes mathbf {e} ^ {j} otimes mathbf {e} ^ { k}}

Na obecné křivočaré bázi lze stejný tenzor vyjádřit jako

{ displaystyle { boldsymbol { mathcal {E}}} = { mathcal {E}} _ {ijk} mathbf {b} ^ {i} otimes mathbf {b} ^ {j} otimes mathbf {b} ^ {k} = { mathcal {E}} ^ {ijk} mathbf {b} _ {i} otimes mathbf {b} _ {j} otimes mathbf {b} _ {k} }

To lze také ukázat

{ displaystyle { mathcal {E}} ^ {ijk} = { cfrac {1} {J}} varepsilon _ {ijk} = { cfrac {1} {+ { sqrt {g}}}} varepsilon _ {ijk}}

Christoffel symboly

Christoffel symboly prvního druhu ${ displaystyle Gamma _ {kij}}$

{ displaystyle mathbf {b} _ {i, j} = { frac { částečné mathbf {b} _ {i}} { částečné q ^ {j}}} = mathbf {b} ^ {k } Gamma _ {kij} quad Rightarrow quad mathbf {b} _ {k} cdot mathbf {b} _ {i, j} = Gamma _ {kij}}

kde čárka označuje a parciální derivace (vidět Ricciho počet ). Vyjádřit Γ_kij ve smyslu G_ij,

{ displaystyle { begin {seřazeno} g_ {ij, k} & = ( mathbf {b} _ {i} cdot mathbf {b} _ {j}) _ {, k} = mathbf {b} _ {i, k} cdot mathbf {b} _ {j} + mathbf {b} _ {i} cdot mathbf {b} _ {j, k} = Gamma _ {jik} + Gamma _ {ijk} g_ {ik, j} & = ( mathbf {b} _ {i} cdot mathbf {b} _ {k}) _ {, j} = mathbf {b} _ {i , j} cdot mathbf {b} _ {k} + mathbf {b} _ {i} cdot mathbf {b} _ {k, j} = Gamma _ {kij} + Gamma _ {ikj } g_ {jk, i} & = ( mathbf {b} _ {j} cdot mathbf {b} _ {k}) _ {, i} = mathbf {b} _ {j, i} cdot mathbf {b} _ {k} + mathbf {b} _ {j} cdot mathbf {b} _ {k, i} = Gamma _ {kji} + Gamma _ {jki} konec {zarovnaný}}}

Od té doby

{ displaystyle mathbf {b} _ {i, j} = mathbf {b} _ {j, i} quad Rightarrow quad Gamma _ {kij} = Gamma _ {kji}}

jejich použití k uspořádání výše uvedených vztahů dává

{ displaystyle Gamma _ {kij} = { frac {1} {2}} (g_ {ik, j} + g_ {jk, i} -g_ {ij, k}) = { frac {1} { 2}} [( mathbf {b} _ {i} cdot mathbf {b} _ {k}) _ {, j} + ( mathbf {b} _ {j} cdot mathbf {b} _ {k}) _ {, i} - ( mathbf {b} _ {i} cdot mathbf {b} _ {j}) _ {, k}]}

Christoffel symboly druhého druhu ${ displaystyle Gamma ^ {k} {} _ {ji}}$

{ displaystyle Gamma ^ {k} {} _ {ij} = g ^ {kl} Gamma _ {lij} = Gamma ^ {k} {} _ {ji}, quad { cfrac { částečné mathbf {b} _ {i}} { částečné q ^ {j}}} = mathbf {b} _ {k} gama ^ {k} {} _ {ij}}

To z toho vyplývá

{ displaystyle Gamma ^ {k} {} _ {ij} = { cfrac { částečné mathbf {b} _ {i}} { částečné q ^ {j}}} cdot mathbf {b} ^ {k} = - mathbf {b} _ {i} cdot { cfrac { částečné mathbf {b} ^ {k}} { částečné q ^ {j}}} quad}

od té doby

{ displaystyle quad { cfrac { částečné} { částečné q ^ {j}}} ( mathbf {b} _ {i} cdot mathbf {b} ^ {k}) = 0}

.

Další vztahy, které následují, jsou

{ displaystyle { cfrac { částečné mathbf {b} ^ {i}} { částečné q ^ {j}}} = - Gamma ^ {i} {} _ {jk} mathbf {b} ^ { k}, quad { boldsymbol { nabla}} mathbf {b} _ {i} = Gamma ^ {k} {} _ {ij} mathbf {b} _ {k} otimes mathbf {b } ^ {j}, quad { boldsymbol { nabla}} mathbf {b} ^ {i} = - Gamma ^ {i} {} _ {jk} mathbf {b} ^ {k} otimes mathbf {b} ^ {j}}

Vektorové operace

Tečkovaný produkt:
Skalární součin dvou vektorů v křivočarých souřadnicích je^[2]^(p32)
${ displaystyle mathbf {u} cdot mathbf {v} = u ^ {i} v_ {i} = u_ {i} v ^ {i} = g_ {ij} u ^ {i} v ^ {j} = g ^ {ij} u_ {i} v_ {j}}$
Křížový produkt:
The křížový produkt dvou vektorů je dáno vztahem^[2]^(pp32–34)
${ displaystyle mathbf {u} times mathbf {v} = epsilon _ {ijk} {u} _ {j} {v} _ {k} mathbf {e} _ {i}}$
kde ${ displaystyle epsilon _ {ijk}}$ je symbol obměny a ${ displaystyle mathbf {e} _ {i}}$ je kartézský základní vektor. V křivočarých souřadnicích je ekvivalentní výraz
${ displaystyle mathbf {u} times mathbf {v} = [( mathbf {b} _ {m} times mathbf {b} _ {n}) cdot mathbf {b} _ {s} ] u ^ {m} v ^ {n} mathbf {b} ^ {s} = { mathcal {E}} _ {smn} u ^ {m} v ^ {n} mathbf {b} ^ {s }}$
kde ${ displaystyle { mathcal {E}} _ {ijk}}$ je střídavý tenzor třetího řádu.

Vektorový a tenzorový počet v trojrozměrných křivočarých souřadnicích

Poznámka: Konvence Einsteinova součtu sčítání na opakovaných indexech se používá níže.

Je třeba provést úpravy ve výpočtu čára, povrch a objem integrály. Pro zjednodušení platí následující omezení na tři rozměry a ortogonální křivočaré souřadnice. Platí však stejné argumenty n-dimenzionální mezery. Pokud souřadnicový systém není ortogonální, jsou ve výrazech některé další výrazy.

Simmonds,^[2] ve své knize o tenzorová analýza, citáty Albert Einstein rčení^[10]

Kouzlo této teorie se stěží nedokáže vnutit každému, kdo jí skutečně porozuměl; představuje skutečný triumf metody absolutního diferenciálního počtu, kterou založili Gauss, Riemann, Ricci a Levi-Civita.

Vektorový a tenzorový počet obecně křivočarých souřadnic se používá při tenzorové analýze na čtyřrozměrných křivočarých rozdělovače v obecná relativita,^[11] v mechanika zakřivené mušle,^[9] při zkoumání invariance vlastnosti Maxwellovy rovnice o který byl zájem metamateriály^[12]^[13] a v mnoha dalších oblastech.

Některé užitečné vztahy v počtu vektorů a tenzorech druhého řádu v křivočarých souřadnicích jsou uvedeny v této části. Notace a obsah jsou primárně z Ogdenu,^[14] Simmonds,^[2] Zelená a Zerna,^[5] Basar a Weichert,^[8] a Ciarlet.^[9]

Nechť φ = φ (X) být dobře definované skalární pole a proti = proti(X) dobře definované vektorové pole a λ₁, λ₂... být parametry souřadnic

Geometrické prvky

Tečný vektor: Li X(λ) parametrizuje křivku C tedy v kartézských souřadnicích
${ displaystyle { částečné mathbf {x} nad částečné lambda} = { částečné mathbf {x} nad částečné q ^ {i}} { částečné q ^ {i} nad částečné lambda} = left (h_ {ki} { cfrac { částečné q ^ {i}} { částečné lambda}} pravé) mathbf {b} _ {k}}$
je tečný vektor k C v křivočarých souřadnicích (pomocí řetězové pravidlo ). Pomocí definice Lamého koeficientů, a to pro metriku G_ij = 0 kdy i ≠ j, velikost je:
${ displaystyle left | { částečné mathbf {x} přes částečné lambda} pravé | = { sqrt {h_ {ki} h_ {kj} { cfrac { částečné q ^ {i}} { částečné lambda}} { cfrac { částečné q ^ {j}} { částečné lambda}}}} = { sqrt {g_ {ij} { cfrac { částečné q ^ {i}} { částečný lambda}} { cfrac { částečný q ^ {j}} { částečný lambda}}}} = { sqrt {h_ {i} ^ {2} vlevo ({ cfrac { částečný q ^ {i}} { částečné lambda}} vpravo) ^ {2}}}}$
Tečná rovina živel: Li X(λ₁, λ₂) parametrizuje povrch S v kartézských souřadnicích je následující následující součin tečných vektorů normálním vektorem S s velikostí infinitezimálního rovinného prvku v křivočarých souřadnicích. Pomocí výše uvedeného výsledku
${ displaystyle { částečné mathbf {x} nad částečné lambda _ {1}} krát { částečné mathbf {x} nad částečné lambda _ {2}} = vlevo ({ částečné mathbf {x} over částečné q ^ {i}} { částečné q ^ {i} nad částečné lambda _ {1}} pravé) časy levé ({ částečné mathbf {x} over částečné q ^ {j}} { částečné q ^ {j} nad částečné lambda _ {2}} vpravo) = { mathcal {E}} _ {kmp} vlevo (h_ {ki } { částečné q ^ {i} nad částečné lambda _ {1}} pravé) levé (h_ {mj} { částečné q ^ {j} nad částečné lambda _ {2}} vpravo) mathbf {b} _ {p}}$
kde ${ displaystyle { mathcal {E}}}$ je symbol obměny. V určující formě:
${ displaystyle { částečné mathbf {x} nad částečné lambda _ {1}} krát { částečné mathbf {x} nad částečné lambda _ {2}} = { začátek {vmatrix} mathbf {e} _ {1} & mathbf {e} _ {2} & mathbf {e} _ {3} h_ {1i} { dfrac { částečné q ^ {i}} { částečné lambda _ {1}}} & h_ {2i} { dfrac { částečné q ^ {i}} { částečné lambda _ {1}}} & h_ {3i} { dfrac { částečné q ^ {i} } { částečné lambda _ {1}}} h_ {1j} { dfrac { částečné q ^ {j}} { částečné lambda _ {2}}} & h_ {2j} { dfrac { částečné q ^ {j}} { částečné lambda _ {2}}} & h_ {3j} { dfrac { částečné q ^ {j}} { částečné lambda _ {2}}} konec {vmatrix} }}$

Integrace

Operátor	Skalární pole	Vektorové pole
Čára integrální	${ displaystyle int _ {C} varphi ( mathbf {x}) ds = int _ {a} ^ {b} varphi ( mathbf {x} ( lambda)) vlevo \| { částečné mathbf {x} přes částečné lambda} vpravo \| d lambda}$	${ displaystyle int _ {C} mathbf {v} ( mathbf {x}) cdot d mathbf {s} = int _ {a} ^ {b} mathbf {v} ( mathbf {x } ( lambda)) cdot left ({ částečné mathbf {x} přes částečné lambda} pravé) d lambda}$
Plošný integrál	${displaystyle int _{S}varphi (mathbf {x} )dS=iint _{T}varphi (mathbf {x} (lambda _{1},lambda _{2}))left\|{partial mathbf {x} over partial lambda _{1}} imes {partial mathbf {x} over partial lambda _{2}} ight\|dlambda _{1}dlambda _{2}}$	${displaystyle int _{S}mathbf {v} (mathbf {x} )cdot dS=iint _{T}mathbf {v} (mathbf {x} (lambda _{1},lambda _{2}))cdot left({partial mathbf {x} over partial lambda _{1}} imes {partial mathbf {x} over partial lambda _{2}} ight)dlambda _{1}dlambda _{2}}$
Objemový integrál	${displaystyle iiint _{V}varphi (x,y,z)dV=iiint _{V}chi (q_{1},q_{2},q_{3})Jdq_{1}dq_{2}dq_{3}}$	${displaystyle iiint _{V}mathbf {u} (x,y,z)dV=iiint _{V}mathbf {v} (q_{1},q_{2},q_{3})Jdq_{1}dq_{2}dq_{3}}$

Diferenciace

Výrazy pro přechod, divergenci a laplacián lze přímo rozšířit na n-dimensions, however the curl is only defined in 3d.

Vektorové pole b_i je tečna k qⁱ souřadnicová křivka a tvoří a přírodní základ v každém bodě křivky. Tento základ, jak je popsán na začátku tohoto článku, se také nazývá kovariantní křivočarý základ. Můžeme také definovat a vzájemný základnebo kontrariantní křivočarý základ, bⁱ. Všechny algebraické vztahy mezi bazickými vektory, jak jsou popsány v části o tenzorové algebře, platí pro přirozený základ a jeho reciproční v každém bodě X.

Operátor	Skalární pole	Vektorové pole	2nd order tensor field
Spád	${displaystyle abla varphi ={cfrac {1}{h_{i}}}{partial varphi over partial q^{i}}mathbf {b} ^{i}}$	${displaystyle abla mathbf {v} ={cfrac {1}{h_{i}^{2}}}{partial mathbf {v} over partial q^{i}}otimes mathbf {b} _{i}}$	${ displaystyle { boldsymbol { nabla}} { boldsymbol {S}} = { cfrac { částečný { boldsymbol {S}}} { částečný q ^ {i}}} otimes mathbf {b} ^ {i}}$
Divergence	N / A	${displaystyle abla cdot mathbf {v} ={cfrac {1}{prod _{j}h_{j}}}{frac {partial }{partial q^{i}}}(v^{i}prod _{j eq i}h_{j})}$	${ displaystyle ({ boldsymbol { nabla}} cdot { boldsymbol {S}}) cdot mathbf {a} = { boldsymbol { nabla}} cdot ({ boldsymbol {S}} cdot mathbf {a})}$ kde A is an arbitrary constant vector.In curvilinear coordinates, ${displaystyle {oldsymbol { abla }}cdot {oldsymbol {S}}=left[{cfrac {partial S_{ij}}{partial q^{k}}}-Gamma _{ki}^{l}S_{lj}-Gamma _{kj}^{l}S_{il} ight]g^{ik}mathbf {b} ^{j}}$
Laplacian	${displaystyle abla ^{2}varphi ={cfrac {1}{prod _{j}h_{j}}}{frac {partial }{partial q^{i}}}left({cfrac {prod _{j}h_{j}}{h_{i}^{2}}}{frac {partial varphi }{partial q^{i}}} ight)}$
Kučera	N / A	For vector fields in 3d only, ${displaystyle abla imes mathbf {v} ={frac {1}{h_{1}h_{2}h_{3}}}mathbf {e} _{i}epsilon _{ijk}h_{i}{frac {partial (h_{k}v_{k})}{partial q^{j}}}}$ kde ${ displaystyle epsilon _ {ijk}}$ je Symbol Levi-Civita.	Vidět Curl of a tensor field

Fictitious forces in general curvilinear coordinates

By definition, if a particle with no forces acting on it has its position expressed in an inertial coordinate system, (X₁, X₂, X₃, t), then there it will have no acceleration (d²X_j/ dt² = 0).^[15] In this context, a coordinate system can fail to be “inertial” either due to non-straight time axis or non-straight space axes (or both). In other words, the basis vectors of the coordinates may vary in time at fixed positions, or they may vary with position at fixed times, or both. When equations of motion are expressed in terms of any non-inertial coordinate system (in this sense), extra terms appear, called Christoffel symbols. Strictly speaking, these terms represent components of the absolute acceleration (in classical mechanics), but we may also choose to continue to regard d²X_j/ dt² as the acceleration (as if the coordinates were inertial) and treat the extra terms as if they were forces, in which case they are called fictitious forces.^[16] The component of any such fictitious force normal to the path of the particle and in the plane of the path's curvature is then called odstředivá síla.^[17]

This more general context makes clear the correspondence between the concepts of centrifugal force in rotating coordinate systems and in stationary curvilinear coordinate systems. (Both of these concepts appear frequently in the literature.^[18]^[19]^[20]) For a simple example, consider a particle of mass m moving in a circle of radius r with angular speed w relative to a system of polar coordinates rotating with angular speed Ž. The radial equation of motion is pan” = F_r + pan(w + Ž)². Thus the centrifugal force is pan times the square of the absolute rotational speed A = w + Ž of the particle. If we choose a coordinate system rotating at the speed of the particle, then Ž = A a w = 0, in which case the centrifugal force is mrA², whereas if we choose a stationary coordinate system we have Ž = 0 a w = A, in which case the centrifugal force is again mrA². The reason for this equality of results is that in both cases the basis vectors at the particle's location are changing in time in exactly the same way. Hence these are really just two different ways of describing exactly the same thing, one description being in terms of rotating coordinates and the other being in terms of stationary curvilinear coordinates, both of which are non-inertial according to the more abstract meaning of that term.

When describing general motion, the actual forces acting on a particle are often referred to the instantaneous osculating circle tangent to the path of motion, and this circle in the general case is not centered at a fixed location, and so the decomposition into centrifugal and Coriolis components is constantly changing. This is true regardless of whether the motion is described in terms of stationary or rotating coordinates.

Viz také

Reference

^ J.A. Wheeler; C. Misner; K.S. Thorne (1973). Gravitace. W.H. Freeman & Co. ISBN 0-7167-0344-0.
^ ^A ^b ^C ^d ^E ^F Simmonds, J. G. (1994). Stručný přehled tenzorové analýzy. Springer. ISBN 0-387-90639-8.
^ Boothby, W. M. (2002). An Introduction to Differential Manifolds and Riemannian Geometry (přepracované vydání). New York, NY: Academic Press.
^ McConnell, A. J. (1957). Application of Tensor Analysis. New York, NY: Dover Publications, Inc. Ch. 9, sec. 1. ISBN 0-486-60373-3.
^ ^A ^b ^C Green, A.E .; Zerna, W. (1968). Teoretická pružnost. Oxford University Press. ISBN 0-19-853486-8.
^ Ogden, R. W. (2000). Nelineární elastické deformace. Doveru.
^ Naghdi, P. M. (1972). "Teorie mušlí a talířů". V S. Flügge (ed.). Příručka fyziky. VIa / 2. str. 425–640.
^ ^A ^b Basar, Y .; Weichert, D. (2000). Numerická mechanika kontinua těles: základní pojmy a perspektivy. Springer.
^ ^A ^b ^C Ciarlet, P. G. (2000). Teorie mušlí. 1. Elsevierova věda.
^ Einstein, A. (1915). „Příspěvek k teorii obecné relativity“. V Laczos, C. (ed.). Einsteinova dekáda. p. 213. ISBN 0-521-38105-3.
^ Misner, C. W .; Thorne, K. S .; Wheeler, J. A. (1973). Gravitace. W. H. Freeman and Co. ISBN 0-7167-0344-0.
^ Greenleaf, A .; Lassas, M .; Uhlmann, G. (2003). Msgstr "Anizotropní vodivosti, které ETI nemůže detekovat". Fyziologické měření. 24 (2): 413–419. doi:10.1088/0967-3334/24/2/353. PMID 12812426.
^ Leonhardt, U .; Philbin, T.G. (2006). "Obecná relativita v elektrotechnice". New Journal of Physics. 8 (10): 247. arXiv:cond-mat / 0607418. doi:10.1088/1367-2630/8/10/247.
^ Ogden
^ Friedman, Michael (1989). The Foundations of Space–Time Theories. Princeton University Press. ISBN 0-691-07239-6.
^ Stommel, Henry M.; Moore, Dennis W. (1989). Úvod do Coriolisovy síly. Columbia University Press. ISBN 0-231-06636-8.
^ Beer; Johnston (1972). Statics and Dynamics (2. vyd.). McGraw – Hill. p. 485. ISBN 0-07-736650-6.
^ Hildebrand, Francis B. (1992). Methods of Applied Mathematics. Doveru. p.156. ISBN 0-13-579201-0.
^ McQuarrie, Donald Allan (2000). Statistická mechanika. University Science Books. ISBN 0-06-044366-9.
^ Weber, Hans-Jurgen; Arfken, George Brown (2004). Essential Mathematical Methods for Physicists. Akademický tisk. p. 843. ISBN 0-12-059877-9.

Další čtení

Spiegel, M. R. (1959). Vektorová analýza. New York: Schaum's Outline Series. ISBN 0-07-084378-3.
Arfken, George (1995). Matematické metody pro fyziky. Akademický tisk. ISBN 0-12-059877-9.

externí odkazy

[1] J.A. Wheeler; C. Misner; K.S. Thorne (1973). Gravitace. W.H. Freeman & Co. ISBN 0-7167-0344-0.

[Simmonds-2] A ^b ^C ^d ^E ^F Simmonds, J. G. (1994). Stručný přehled tenzorové analýzy. Springer. ISBN 0-387-90639-8.

[3] Boothby, W. M. (2002). An Introduction to Differential Manifolds and Riemannian Geometry (přepracované vydání). New York, NY: Academic Press.

[4] McConnell, A. J. (1957). Application of Tensor Analysis. New York, NY: Dover Publications, Inc. Ch. 9, sec. 1. ISBN 0-486-60373-3.

[Green-5] A ^b ^C Green, A.E .; Zerna, W. (1968). Teoretická pružnost. Oxford University Press. ISBN 0-19-853486-8.

[Ogden00-6] Ogden, R. W. (2000). Nelineární elastické deformace. Doveru.

[Naghdi-7] Naghdi, P. M. (1972). "Teorie mušlí a talířů". V S. Flügge (ed.). Příručka fyziky. VIa / 2. str. 425–640.

[Basar-8] A ^b Basar, Y .; Weichert, D. (2000). Numerická mechanika kontinua těles: základní pojmy a perspektivy. Springer.

[Ciarlet-9] A ^b ^C Ciarlet, P. G. (2000). Teorie mušlí. 1. Elsevierova věda.

[Lanczos-10] Einstein, A. (1915). „Příspěvek k teorii obecné relativity“. V Laczos, C. (ed.). Einsteinova dekáda. p. 213. ISBN 0-521-38105-3.

[Misner-11] Misner, C. W .; Thorne, K. S .; Wheeler, J. A. (1973). Gravitace. W. H. Freeman and Co. ISBN 0-7167-0344-0.

[Greenleaf-12] Greenleaf, A .; Lassas, M .; Uhlmann, G. (2003). Msgstr "Anizotropní vodivosti, které ETI nemůže detekovat". Fyziologické měření. 24 (2): 413–419. doi:10.1088/0967-3334/24/2/353. PMID 12812426.

[Leonhardt-13] Leonhardt, U .; Philbin, T.G. (2006). "Obecná relativita v elektrotechnice". New Journal of Physics. 8 (10): 247. arXiv:cond-mat / 0607418. doi:10.1088/1367-2630/8/10/247.

[14] Ogden

[15] Friedman, Michael (1989). The Foundations of Space–Time Theories. Princeton University Press. ISBN 0-691-07239-6.

[16] Stommel, Henry M.; Moore, Dennis W. (1989). Úvod do Coriolisovy síly. Columbia University Press. ISBN 0-231-06636-8.

[17] Beer; Johnston (1972). Statics and Dynamics (2. vyd.). McGraw – Hill. p. 485. ISBN 0-07-736650-6.

[18] Hildebrand, Francis B. (1992). Methods of Applied Mathematics. Doveru. p.156. ISBN 0-13-579201-0.

[19] McQuarrie, Donald Allan (2000). Statistická mechanika. University Science Books. ISBN 0-06-044366-9.

[20] Weber, Hans-Jurgen; Arfken, George Brown (2004). Essential Mathematical Methods for Physicists. Akademický tisk. p. 843. ISBN 0-12-059877-9.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

Ortogonální souřadnicové systémy
Dvourozměrný	Kartézský Polární Parabolický Bipolární Eliptický
Trojrozměrný	Kartézský Válcový Sférické Parabolický Paraboloidní Obláte sféroidní Prolate sféroidní Elipsoidní Eliptický válcový Toroidní Bispherical Bipolární válcový Kuželovitý 6-koule