Pronysova metoda - Pronys method - Wikipedia

Pronyho analýza signálu v časové doméně

Pronyho analýza (Pronyho metoda) byl vyvinut společností Gaspard Riche de Prony v roce 1795. Praktické využití metody však na digitální počítač čekalo.^[1] Podobně jako u Fourierova transformace Pronyho metoda extrahuje cenné informace z rovnoměrně vzorkovaného signálu a vytváří řadu tlumených komplexních exponenciálů nebo tlumené sinusoidy. To umožňuje odhadnout frekvenci, amplitudu, fázi a tlumicí složky signálu.

Metoda

Nechat ${ displaystyle f (t)}$ být signál skládající se z ${ displaystyle N}$ rovnoměrně rozmístěné vzorky. Pronyho metoda odpovídá funkci

${ displaystyle { hat {f}} (t) = součet _ {i = 1} ^ {M} A_ {i} e ^ { sigma _ {i} t} cos ( omega _ {i} t + phi _ {i})}$

k pozorovanému ${ displaystyle f (t)}$. Po nějaké manipulaci s využitím Eulerův vzorec, získá se následující výsledek. To umožňuje přímější výpočet výrazů.

${ displaystyle { begin {aligned} { hat {f}} (t) & = sum _ {i = 1} ^ {M} A_ {i} e ^ { sigma _ {i} t} cos ( omega _ {i} t + phi _ {i}) & = sum _ {i = 1} ^ {M} { frac {1} {2}} A_ {i} e ^ { pm j phi _ {i}} e ^ { lambda _ {i} t} end {zarovnáno}}}$

kde:

• ${ displaystyle lambda _ {i} = sigma _ {i} pm j omega _ {i}}$ jsou vlastní čísla systému,
• ${ displaystyle sigma _ {i} = - omega _ {0, i} xi _ {i}}$ jsou tlumicí komponenty,
• ${ displaystyle omega _ {i} = omega _ {0, i} { sqrt {1- xi _ {i} ^ {2}}}}$ jsou složky úhlové frekvence
• ${ displaystyle phi _ {i}}$ jsou fázové komponenty,
• ${ displaystyle f_ {i} = { omega _ {i} nad {2 pi}}}$ jsou frekvenční komponenty,
• ${ displaystyle A_ {i}}$ jsou amplitudové komponenty řady a
• ${ displaystyle j}$ je imaginární jednotka (${ displaystyle j ^ {2} = - 1}$).

Zastoupení

Pronyho metoda je v podstatě rozklad signálu s ${ displaystyle M}$ složité exponenciály pomocí následujícího procesu:

Pravidelně ochutnávejte ${ displaystyle { hat {f}} (t)}$ takže ${ displaystyle n}$-tého dne ${ displaystyle N}$ vzorky mohou být psány jako

${ displaystyle F_ {n} = { hat {f}} ( Delta _ {t} n) = součet _ {m = 1} ^ {M} mathrm {B} _ {m} e ^ { lambda _ {m} Delta _ {t} n}, quad n = 0, dots, N-1.}$

Li ${ displaystyle { hat {f}} (t)}$ stane se, že se skládá z tlumených sinusoidů, pak budou dvojice komplexních exponenciálů takových

${ displaystyle { begin {aligned} mathrm {B} _ {a} & = { frac {1} {2}} A_ {i} e ^ { phi _ {i} j}, mathrm {B} _ {b} & = { frac {1} {2}} A_ {i} e ^ {- phi _ {i} j}, lambda _ {a} & = sigma _ { i} + j omega _ {i}, lambda _ {b} & = sigma _ {i} -j omega _ {i}, end {zarovnáno}}}$

kde

${ displaystyle { begin {aligned} mathrm {B} _ {a} e ^ { lambda _ {a} t} + mathrm {B} _ {b} e ^ { lambda _ {b} t} & = { frac {1} {2}} A_ {i} e ^ { phi _ {i} j} e ^ {( sigma _ {i} + j omega _ {i}) t} + { frac {1} {2}} A_ {i} e ^ {- phi _ {i} j} e ^ {( sigma _ {i} -j omega _ {i}) t} & = A_ {i} e ^ { sigma _ {i} t} cos ( omega _ {i} t + phi _ {i}). End {zarovnáno}}}$

Protože součet komplexních exponenciálů je homogenním řešením lineárního rozdílová rovnice, bude existovat následující rozdílová rovnice:

${ displaystyle { hat {f}} ( Delta _ {t} n) = součet _ {m = 1} ^ {M} { hat {f}} [ Delta _ {t} (nm)] P_ {m}, quad n = M, dots, N-1.}$

Klíčem k Pronyho metodě je, že koeficienty v diferenciální rovnici souvisí s následujícím polynomem:

${ displaystyle z ^ {M} -P_ {1} z ^ {M-1} - dots -P_ {M} = prod _ {m = 1} ^ {M} left (ze ^ { lambda _ {m}} vpravo).}$

Tato fakta vedou k následujícím třem krokům k Pronyho metodě:

1) Vytvořte a vyřešte maticovou rovnici pro ${ displaystyle P_ {m}}$ hodnoty:

${ displaystyle { begin {bmatrix} F_ {M} vdots F_ {N-1} end {bmatrix}} = { begin {bmatrix} F_ {M-1} & dots & F_ {0 } vdots & ddots & vdots F_ {N-2} & dots & F_ {NM-1} end {bmatrix}} { begin {bmatrix} P_ {1} vdots P_ {M} end {bmatrix}}.}$

Všimněte si, že pokud ${ displaystyle N neq 2M}$, k nalezení hodnot může být zapotřebí generalizovaná inverze matice ${ displaystyle P_ {m}}$.

2) Po nalezení ${ displaystyle P_ {m}}$ hodnoty naleznou kořeny polynomu (je-li to nutné)

${ displaystyle z ^ {M} -P_ {1} z ^ {M-1} - tečky -P_ {M},}$

The ${ displaystyle m}$-tá kořen tohoto polynomu bude roven ${ displaystyle e ^ { lambda _ {m}}}$.

3) S ${ displaystyle e ^ { lambda _ {m}}}$ hodnoty ${ displaystyle F_ {n}}$ hodnoty jsou součástí systému lineárních rovnic, které lze použít k řešení pro ${ displaystyle mathrm {B} _ {m}}$ hodnoty:

${ displaystyle { begin {bmatrix} F_ {k_ {1}} vdots F_ {k_ {M}} end {bmatrix}} = { begin {bmatrix} (e ^ { lambda _ { 1}}) ^ {k_ {1}} & dots & (e ^ { lambda _ {M}}) ^ {k_ {1}} vdots & ddots & vdots (e ^ { lambda _ {1}}) ^ {k_ {M}} & dots & (e ^ { lambda _ {M}}) ^ {k_ {M}} end {bmatrix}} { begin {bmatrix} mathrm {B} _ {1} vdots mathrm {B} _ {M} end {bmatrix}},}$

kde ${ displaystyle M}$ jedinečné hodnoty ${ displaystyle k_ {i}}$ Jsou používány. Je možné použít zobecněnou inverzní matici, pokud je větší než ${ displaystyle M}$ jsou použity vzorky.

Všimněte si, že řešení pro ${ displaystyle lambda _ {m}}$ přinese nejasnosti, protože pouze ${ displaystyle e ^ { lambda _ {m}}}$ byl vyřešen pro a ${ displaystyle e ^ { lambda _ {m}} = e ^ { lambda _ {m} , + , q2 pi j}}$ pro celé číslo ${ displaystyle q}$. To vede ke stejným Nyquistovým kritériím vzorkování, kterým podléhají diskrétní Fourierovy transformace:

${ displaystyle left | operatorname {Im} ( lambda _ {m}) right | = left | omega _ {m} right | <{ frac { pi} { Delta _ {t} }}.}$

Viz také

• Zobecněná metoda tužky

Poznámky

Reference