Odnímatelná singularita - Removable singularity - Wikipedia

Graf a parabola s odnímatelná singularita naX = 2

v komplexní analýza, a odnímatelná singularita a holomorfní funkce je bod, ve kterém je funkce nedefinovaná, ale je možné ji v tomto bodě předefinovat tak, aby výsledná funkce byla pravidelný v sousedství toho bodu.

Například (unnormalized) funkce sinc

{ displaystyle { text {sinc}} (z) = { frac { sin z} {z}}}

má jedinečnost v z = 0. Tuto singularitu lze odstranit definováním ${ displaystyle { text {sinc}} (0): = 1}$ , který je omezit z ${ displaystyle { text {sinc}}}$ tak jako z má tendenci k 0. Výsledná funkce je holomorfní. V tomto případě byl problém způsoben ${ displaystyle { text {sinc}}}$ dostává neurčitá forma. Převzetí rozšíření řady výkonů pro ${ displaystyle { frac { sin (z)} {z}}}$ to ukazuje jednotný bod

{ displaystyle { text {sinc}} (z) = { frac {1} {z}} left ( sum _ {k = 0} ^ { infty} { frac {(-1) ^ { k} z ^ {2k + 1}} {(2k + 1)!}} vpravo) = součet _ {k = 0} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {k} z ^ {2k}} {(2k + 1)!}} = 1 - { frac {z ^ {2}} {3!}} + { Frac {z ^ {4}} {5!}} - { frac {z ^ {6}} {7!}} + cdots.}

Formálně, pokud ${ displaystyle U podmnožina mathbb {C}}$ je otevřená podmnožina z složité letadlo ${ displaystyle mathbb {C}}$ , ${ displaystyle a v U}$ bod ${ displaystyle U}$ , a ${ displaystyle f: U setminus {a } rightarrow mathbb {C}}$ je holomorfní funkce, pak ${ displaystyle a}$ se nazývá a odnímatelná singularita pro ${ displaystyle f}$ pokud existuje holomorfní funkce ${ displaystyle g: U rightarrow mathbb {C}}$ který se shoduje s ${ displaystyle f}$ na ${ displaystyle U setminus {a }}$ . Říkáme ${ displaystyle f}$ je holomorfně rozšířitelný ${ displaystyle U}$ pokud takový a ${ displaystyle g}$ existuje.

Riemannova věta

Riemannovo věta o vyměnitelných singularitách je následující:

Teorém. Nechat ${ displaystyle D podmnožina mathbb {C}}$ být otevřenou podmnožinou komplexní roviny, ${ displaystyle a v D}$ bod ${ displaystyle D}$ a ${ displaystyle f}$ holomorfní funkce definovaná na množině ${ displaystyle D setminus {a }}$ . Následující jsou ekvivalentní:

${ displaystyle f}$ je holomorfně rozšířitelný ${ displaystyle a}$ .
${ displaystyle f}$ je trvale rozšiřitelný ${ displaystyle a}$ .
Existuje a sousedství z ${ displaystyle a}$ na kterých ${ displaystyle f}$ je ohraničený.
${ displaystyle lim _ {z to a} (z-a) f (z) = 0}$ .

Důsledky 1 ⇒ 2 ⇒ 3 ⇒ 4 jsou triviální. Abychom dokázali 4 ⇒ 1, nejprve si připomeňme, že holomorfie funkce v ${ displaystyle a}$ je ekvivalentní analytickému ${ displaystyle a}$ (důkaz ), tj. které mají zastoupení řady sil. Definovat

{ displaystyle h (z) = { begin {cases} (z-a) ^ {2} f (z) & z neq a, 0 & z = a. end {cases}}}

Jasně, h je holomorfní D \ {A} a existuje

{ displaystyle h '(a) = lim _ {z to a} { frac {(za) ^ {2} f (z) -0} {za}} = lim _ {z to a} (za) f (z) = 0}

o 4, tedy h je holomorfní D a má Taylorovu sérii A:

{ displaystyle h (z) = c_ {0} + c_ {1} (za) + c_ {2} (za) ^ {2} + c_ {3} (za) ^ {3} + cdots ,. }

My máme C₀ = h(A) = 0 a C₁ = h'(A) = 0; proto

{ displaystyle h (z) = c_ {2} (z-a) ^ {2} + c_ {3} (z-a) ^ {3} + cdots ,.}

Proto, kde z ≠ A, my máme:

{ displaystyle f (z) = { frac {h (z)} {(z-a) ^ {2}}} = c_ {2} + c_ {3} (z-a) + cdots ,.}

Nicméně,

{ displaystyle g (z) = c_ {2} + c_ {3} (z-a) + cdots ,.}

je holomorfní D, tedy rozšíření o F.

Jiné druhy singularit

Na rozdíl od funkcí reálné proměnné jsou holomorfní funkce dostatečně tuhé, aby bylo možné zcela izolovat jejich izolované singularity. Singularita holomorfní funkce buď vůbec není singularita, tj. Odnímatelná singularita, nebo jeden z následujících dvou typů:

Ve světle Riemannovy věty, vzhledem k neodstranitelné singularitě, se můžeme ptát, zda existuje přirozené číslo ${ displaystyle m}$ takhle ${ displaystyle lim _ {z rightarrow a} (z-a) ^ {m + 1} f (z) = 0}$ . Pokud ano, ${ displaystyle a}$ se nazývá a pól z ${ displaystyle f}$ a nejmenší takový ${ displaystyle m}$ je objednat z ${ displaystyle a}$ . Takže odstranitelné singularity jsou přesně ty póly řádu 0. Holomorfní funkce vybuchne rovnoměrně poblíž ostatních pólů.
Pokud izolovaná singularita ${ displaystyle a}$ z ${ displaystyle f}$ není ani odnímatelný, ani tyč, nazývá se to zásadní singularita. The Velká Picardova věta ukazuje, že takový ${ displaystyle f}$ mapuje každé propíchnuté otevřené sousedství ${ displaystyle U setminus {a }}$ na celou složitou rovinu, s možnou výjimkou maximálně jednoho bodu.

Viz také

externí odkazy

Odnímatelný singulární bod na Encyclopedia of Mathematics