Normální funkce - Normal function - Wikipedia

v axiomatická teorie množin, funkce F : Obj → Volá se Ord normální (nebo a normální funkce) právě když je kontinuální (s respektem k topologie objednávky ) a přísně monotónně rostoucí. To odpovídá následujícím dvěma podmínkám:

1. Pro každého mezní pořadové číslo y (tj. y není ani nula, ani nástupce), F(y) = sup {F(ν) : ν < y}.
2. Pro všechny řadové α < β, F(α) < F(β).

Příklady

Jednoduchá normální funkce je dána vztahem F(α) = 1 + α (vidět ordinální aritmetika ). Ale F(α) = α +1 je ne normální. Li β je pevný pořadový řádek, pak funkce F(α) = β + α, F(α) = β × α (pro β ≥ 1) a F(α) = β^α (pro β ≥ 2) jsou normální.

Více důležitých příkladů normálních funkcí uvádí aleph čísla ${ displaystyle f ( alpha) = aleph _ { alpha}}$ které spojují řadové a základní čísla a beth čísla ${ displaystyle f ( alpha) = beth _ { alpha}}$.

Vlastnosti

Li F je normální, pak pro všechny řadové α,

F(α) ≥ α.^[1]

Důkaz: Pokud ne, zvolte y minimální takové F(y) < y. Od té doby F přísně monotónně roste, F(F(y)) < F(y), což je v rozporu s minimem y.

Dále pro jakoukoli neprázdnou sadu S ordinálů máme

F(sup S) = sup F(S).

Důkaz: „≥“ vyplývá z monotónnosti F a definice supremum. Pro „≤“ nastavte δ = sup S a zvažte tři případy:

• -li δ = 0, tedy S = {0} a sup F(S) = F(0);
• -li δ = ν +1 je a nástupce, pak existuje s v S s ν < s, aby δ ≤ s. Proto, F(δ) ≤ F(s), což znamená F(δ) ≤ sup F(S);
• -li δ je nenulový limit, vyberte libovolný ν < δa s v S takové, že ν < s (možné od δ = sup S). Proto, F(ν) < F(s) aby F(ν) ^{F(S), poddajný F(δ) = sup {F(ν): ν < δ} ≤ sup F(S), podle přání.}

Každá normální funkce F má libovolně velké pevné body; viz lemma s pevným bodem pro normální funkce pro důkaz. Lze vytvořit normální funkci F' : Ord → Ord, nazvaný derivát z F, takový, že F' (α) je α-tý pevný bod F.^[2]

Poznámky

Reference

• Johnstone, Peter (1987), Poznámky k logice a teorii množin, Cambridge University Press, ISBN  978-0-521-33692-5.