Diagram (teorie kategorií) - Diagram (category theory)

v teorie kategorií, pobočka matematika, a diagram je kategorický analog z indexovaná rodina v teorie množin. Hlavní rozdíl spočívá v tom, že v kategorickém nastavení má jeden morfismy které také potřebují indexování. Indexovaná rodina sad je kolekce sad indexovaných pevnou sadou; ekvivalentně, a funkce z pevného indexu soubor do třídy sady. Diagram je sbírka objektů a morfismů indexovaných pevnou kategorií; ekvivalentně, a funktor z pevného indexu kategorie některým kategorie.

Univerzálním funktorem diagramu je diagonální funktor; své pravý adjoint je omezit diagramu a jeho levé adjoint je colimit.^[1] The přirozená transformace od diagonálního funktoru po libovolný diagram se nazývá a kužel.

Definice

Formálně, a diagram typu J v kategorie C je (kovariantní ) funktor

D : J → C.

Kategorie J se nazývá kategorie indexu nebo systém diagramu D; funktoru se někdy říká a Jve tvaru diagramu.^[2] Skutečné objekty a morfismy v J jsou do značné míry irelevantní; pouze způsob, jakým spolu souvisejí. Schéma D je považován za indexování kolekce objektů a morfismů v C vzorováno J.

I když technicky neexistuje rozdíl mezi jednotlivcem diagram a a funktor nebo mezi a systém a a kategorie, změna v terminologii odráží změnu v perspektivě, stejně jako v teoretickém případě množiny: jedna fixuje kategorii indexu a umožňuje, aby se funktor (a sekundárně cílová kategorie) lišil.

Jeden se nejčastěji zajímá o případ, kdy je schéma J je malý nebo dokonce konečný kategorie. Schéma se říká, že je malý nebo konečný kdykoli J je.

Morfismus typových diagramů J v kategorii C je přirozená transformace mezi funktory. Jeden pak může interpretovat kategorie diagramů typu J v C jako kategorie funktorů C^J, a diagram je pak objektem v této kategorii.

Příklady

Vzhledem k jakémukoli předmětu A v C, jeden má konstantní diagram, což je diagram, který mapuje všechny objekty J na Aa všechny morfismy J k morfismu identity A. Notationally, one often uses a underbar to denote the constant diagram: tedy, for any object ${displaystyle A}$ v C, jeden má konstantní diagram ${displaystyle {underline {A}}}$ .
Li J je (malý) diskrétní kategorie, pak schéma typu J je v podstatě jen indexovaná rodina předmětů v C (indexováno J). Při použití při stavbě omezit, výsledkem je produkt; za colimit dostane jeden koprodukt. Například, když J je diskrétní kategorie se dvěma objekty, výsledný limit je pouze binární součin.
Li J = −1 ← 0 → +1, pak schéma typu J (A ← B → C) je rozpětí a jeho kolimit je vystrčit. Pokud by někdo „zapomněl“, že diagram má předmět B a dvě šipky B → A, B → C, výsledný diagram by byl jednoduše diskrétní kategorií s těmito dvěma objekty A a Ca kolimita by byla jednoduše binárním koproduktem. Tento příklad tedy ukazuje důležitý způsob, jakým myšlenka diagramu zobecňuje myšlenku diagramu sada indexů v teorii množin: zahrnutím morfismů B → A, B → C, jeden objeví další strukturu ve stavbách postavených z diagramu, strukturu, která by nebyla evidentní, kdyby měl pouze index nastavený bez vztahů mezi objekty v indexu.
Dvojí k výše uvedenému, pokud J = −1 → 0 ← +1, pak schéma typu J (A → B ← C) je cospan a jeho limit je a zarazit.
Index ${displaystyle J = 0ightrightarrows 1}$ se nazývá "dva paralelní morfismy", nebo někdy toulec zdarma nebo chodící toulec. Schéma typu ${displaystyle J}$ ${displaystyle (f, gcolon X o Y)}$ je pak a toulec; jeho limit je ekvalizér a jeho kolimit je ekvalizér.
Li J je kategorie poset, pak schéma typu J je rodina předmětů D_i společně s jedinečným morfismem F_ij : D_i → D_j kdykoli i ≤ j. Li J je režie pak schéma typu J se nazývá a přímý systém předmětů a morfismů. Pokud je diagram kontrariantní pak se tomu říká inverzní systém.

Kužele a limity

A kužel s vrcholem N diagramu D : J → C je morfismus z konstantního diagramu Δ (N) až D. Konstantní diagram je diagram, který odesílá každý objekt J k objektu N z C a každý morfismus k morfismu identity N.

The omezit diagramu D je univerzální kužel na D. To znamená, že kužel, jehož prostřednictvím všechny ostatní kužele jedinečně faktor. Pokud limit existuje v kategorii C pro všechny diagramy typu J jeden získá funktor

lim: C^J → C

který posílá každý diagram na svůj limit.

Dvojitě colimit diagramu D je univerzální kužel z D. Pokud existuje colimit pro všechny diagramy typu J jeden má funktor

colim: C^J → C

který posílá každý diagram na jeho colimit.

Komutativní diagramy

Schémata a kategorie funktorů jsou často vizualizovány pomocí komutativní diagramy, zvláště pokud je kategorie indexu konečná kategorie poset s několika prvky: jeden nakreslí komutativní diagram s uzlem pro každý objekt v kategorii indexu a šipku pro generující sadu morfismů, přičemž vynechá mapy identity a morfismy, které lze vyjádřit jako kompozice. Komutativita odpovídá jedinečnosti mapy mezi dvěma objekty v kategorii posetů. Naopak, každý komutativní diagram tímto způsobem představuje diagram (funktor z kategorie indexů posetů).

Ne každý diagram dojíždí, protože ne každá kategorie indexů je kategorie posetů: nejjednodušší je diagram jediného objektu s endomorfismem ( ${displaystyle fcolon X o X}$ ), nebo dvěma rovnoběžnými šipkami ( ${displaystyle ullet ightrightarrows ullet}$ ; ${displaystyle f, gcolon X o Y}$ ) nemusí dojíždět. Dále nemusí být možné nakreslit diagramy (protože jsou nekonečné) nebo jednoduše chaotické (protože existuje příliš mnoho objektů nebo morfismů); k objasnění těchto složitých diagramů se však používají schematické komutativní diagramy (pro podkategorie kategorie indexů nebo s elipsami, například pro řízený systém).

Viz také

Reference

^ Mac Lane, Saunders; Moerdijk, Ieke (1992). Snopy v geometrii a logice první úvod do teorie topos. New York: Springer-Verlag. str.20 –23. ISBN 9780387977102.
^ May, J. P. (1999). Stručný kurz v algebraické topologii (PDF). University of Chicago Press. str. 16. ISBN 0-226-51183-9.

Adámek, Jiří; Horst Herrlich; George E. Strecker (1990). Abstraktní a konkrétní kategorie (PDF). John Wiley & Sons. ISBN 0-471-60922-6. Nyní k dispozici jako bezplatná online edice (4,2 MB PDF).
Barr, Michael; Wells, Charlesi (2002). Topózy, trojice a teorie (PDF). ISBN 0-387-96115-1. Revidovaná a opravená bezplatná online verze Grundlehren der mathematischen Wissenschaften (278) Springer-Verlag, 1983).
diagram v nLab

externí odkazy

Pronásledování diagramu na MathWorld
Divoké kočky je balíček teorie kategorií pro Mathematica. Manipulace a vizualizace objektů, morfismy komutativní diagramy, kategorie, funktory, přirozené transformace.

[1] Mac Lane, Saunders; Moerdijk, Ieke (1992). Snopy v geometrii a logice první úvod do teorie topos. New York: Springer-Verlag. str.20 –23. ISBN 9780387977102.

[2] May, J. P. (1999). Stručný kurz v algebraické topologii (PDF). University of Chicago Press. str. 16. ISBN 0-226-51183-9.

[1]

[2]