Topologie podprostoru - Subspace topology

v topologie a související oblasti matematika, a podprostor a topologický prostor X je podmnožina S z X který je vybaven a topologie vyvolané z toho X volal topologie podprostoru (nebo relativní topologie, nebo indukovaná topologie, nebo trasovací topologie).

Definice

Vzhledem k topologickému prostoru ${ displaystyle (X, tau)}$ a a podmnožina ${ displaystyle S}$ z ${ displaystyle X}$ , topologie podprostoru na ${ displaystyle S}$ je definováno

{ displaystyle tau _ {S} = lbrace S cap U mid U in tau rbrace.}

To je podmnožina ${ displaystyle S}$ je otevřený v topologii podprostoru kdyby a jen kdyby to je průsečík z ${ displaystyle S}$ s otevřená sada v ${ displaystyle (X, tau)}$ . Li ${ displaystyle S}$ je vybaven topologií podprostoru, pak je to topologický prostor sám o sobě a nazývá se a podprostor z ${ displaystyle (X, tau)}$ . Pokud není uvedeno jinak, předpokládá se, že podmnožiny topologických prostorů jsou vybaveny topologií podprostoru.

Alternativně můžeme definovat topologii podprostoru pro podmnožinu ${ displaystyle S}$ z ${ displaystyle X}$ jako nejhrubší topologie pro které mapa zařazení

{ displaystyle iota: S hookrightarrow X}

je kontinuální.

Obecněji předpokládejme ${ displaystyle iota}$ je injekce ze sady ${ displaystyle S}$ do topologického prostoru ${ displaystyle X}$ . Potom je zapnuta topologie podprostoru ${ displaystyle S}$ je definována jako nejhrubší topologie, pro kterou ${ displaystyle iota}$ je spojitý. Otevřené množiny v této topologii jsou přesně ty z formy ${ displaystyle iota ^ {- 1} (U)}$ pro ${ displaystyle U}$ otevři to ${ displaystyle X}$ . ${ displaystyle S}$ je tedy homeomorfní na jeho obraz v ${ displaystyle X}$ (také s topologií podprostoru) a ${ displaystyle iota}$ se nazývá a topologické vkládání.

Podprostor ${ displaystyle S}$ se nazývá otevřený podprostor pokud je injekce ${ displaystyle iota}$ je otevřít mapu, tj. pokud je přední obraz otevřené sady ${ displaystyle S}$ je otevřen v ${ displaystyle X}$ . Podobně se tomu říká a uzavřený podprostor pokud je injekce ${ displaystyle iota}$ je uzavřená mapa.

Terminologie

Rozdíl mezi množinou a topologickým prostorem je často z důvodu pohodlí rozmazán, což může být zdrojem záměny, když se člověk poprvé setká s těmito definicemi. Tedy kdykoli ${ displaystyle S}$ je podmnožinou ${ displaystyle X}$ , a ${ displaystyle (X, tau)}$ je topologický prostor, pak neozdobené symboly " ${ displaystyle S}$ " a " ${ displaystyle X}$ "lze často použít k označení obou ${ displaystyle S}$ a ${ displaystyle X}$ považovány za dvě podskupiny ${ displaystyle X}$ , a také ${ displaystyle (S, tau _ {S})}$ a ${ displaystyle (X, tau)}$ jako topologické prostory, související, jak je popsáno výše. Fráze jako „ ${ displaystyle S}$ otevřený podprostor o ${ displaystyle X}$ „znamená to ${ displaystyle (S, tau _ {S})}$ je otevřený podprostor o ${ displaystyle (X, tau)}$ , v níže uvedeném smyslu - tedy: (i) ${ displaystyle S in tau}$ ; a (ii) ${ displaystyle S}$ je považována za dotovanou topologií podprostoru.

Příklady

V následujícím, ${ displaystyle mathbb {R}}$ představuje reálná čísla s jejich obvyklou topologií.

Topologie podprostoru přirozená čísla, jako podprostor ${ displaystyle mathbb {R}}$ , je diskrétní topologie.
The racionální čísla ${ displaystyle mathbb {Q}}$ považováno za podprostor o ${ displaystyle mathbb {R}}$ nemají diskrétní topologii (například {0} není otevřená množina v ${ displaystyle mathbb {Q}}$ ). Li A a b jsou racionální, pak intervaly (A, b) a [A, b] jsou otevřené a uzavřené, ale pokud A a b jsou iracionální, pak množina všech racionálních X s A < X < b je otevřený i uzavřený.
Sada [0,1] jako podprostor o ${ displaystyle mathbb {R}}$ je otevřená i uzavřená, zatímco jako podmnožina ${ displaystyle mathbb {R}}$ je pouze zavřený.
Jako podprostor ${ displaystyle mathbb {R}}$ „[0, 1] ∪ [2, 3] se skládá ze dvou disjunktních otevřeno podmnožiny (které se také uzavřou), a je tedy a odpojený prostor.
Nechat S = [0, 1) být podprostor skutečné linie ${ displaystyle mathbb {R}}$ . Pak [0,¹⁄₂) je otevřen v S ale ne v ${ displaystyle mathbb {R}}$ . Podobně [¹⁄₂, 1) je uzavřen S ale ne v ${ displaystyle mathbb {R}}$ . S je otevřená i uzavřená jako podmnožina sebe sama, ale ne jako podmnožina ${ displaystyle mathbb {R}}$ .

Vlastnosti

Topologie podprostoru má následující charakteristickou vlastnost. Nechat ${ displaystyle Y}$ být podprostorem ${ displaystyle X}$ a nechte ${ displaystyle i: Y až X}$ být mapou začlenění. Pak pro jakýkoli topologický prostor ${ displaystyle Z}$ mapa ${ displaystyle f: Z až Y}$ je spojitý kdyby a jen kdyby složená mapa ${ displaystyle i circ f}$ je spojitý.

Charakteristická vlastnost topologie podprostoru

Tato vlastnost je charakteristická v tom smyslu, že ji lze použít k definování topologie podprostoru ${ displaystyle Y}$ .

Uvádíme některé další vlastnosti topologie podprostoru. V následujícím textu ${ displaystyle S}$ být podprostorem ${ displaystyle X}$ .

Li ${ displaystyle f: X až Y}$ je kontinuální omezení na ${ displaystyle S}$ je spojitý.
Li ${ displaystyle f: X až Y}$ je tedy spojitý ${ displaystyle f: X až f (X)}$ je spojitý.
Uzavřené sady ${ displaystyle S}$ jsou přesně průsečíky ${ displaystyle S}$ s uzavřenými sadami ${ displaystyle X}$ .
Li ${ displaystyle A}$ je podprostor o ${ displaystyle S}$ pak ${ displaystyle A}$ je také podprostorem ${ displaystyle X}$ se stejnou topologií. Jinými slovy subprostorová topologie, která ${ displaystyle A}$ dědí z ${ displaystyle S}$ je stejný jako ten, od kterého dědí ${ displaystyle X}$ .
Předpokládat ${ displaystyle S}$ je otevřený podprostor o ${ displaystyle X}$ (tak ${ displaystyle S in tau}$ ). Pak podmnožina ${ displaystyle S}$ je otevřen v ${ displaystyle S}$ právě když je otevřený v ${ displaystyle X}$ .
Předpokládat ${ displaystyle S}$ je uzavřený podprostor o ${ displaystyle X}$ (tak ${ displaystyle X setminus S in tau}$ ). Pak podmnožina ${ displaystyle S}$ je uzavřen ${ displaystyle S}$ pouze tehdy, když je uzavřen ${ displaystyle X}$ .
Li ${ displaystyle B}$ je základ pro ${ displaystyle X}$ pak ${ displaystyle B_ {S} = {U cap S: U v B }}$ je základem pro ${ displaystyle S}$ .
Topologie indukovaná na podmnožině a metrický prostor omezením metrický do této podmnožiny se shoduje s topologií podprostoru pro tuto podmnožinu.

Zachování topologických vlastností

Pokud má topologický prostor nějaké topologická vlastnost znamená, že jeho podprostory mají tuto vlastnost, pak říkáme, že vlastnost je dědičný. Pokud vlastnost, kterou nazýváme, musí sdílet pouze uzavřené podprostory slabě dědičná.

Každý otevřený a každý uzavřený podprostor a zcela měřitelný prostor je zcela měřitelný.
Každý otevřený podprostor a Baireův prostor je prostor Baire.
Každý uzavřený podprostor a kompaktní prostor je kompaktní.
Být a Hausdorffův prostor je dědičná.
Být a normální prostor je slabě dědičná.
Celková omezenost je dědičná.
Bytost úplně odpojen je dědičná.
První spočitatelnost a druhá spočetnost jsou dědičné.

Viz také

Reference

Bourbaki, Nicolas, Základy matematiky: Obecná topologie, Addison-Wesley (1966)
Steen, Lynn Arthur; Seebach, J. Arthur Jr. (1995) [1978], Protiklady v topologii (Doveru dotisk z roku 1978 vyd.), Berlín, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-486-68735-3, PAN 0507446
Willard, Stephen. Obecná topologiePublikace Dover (2004) ISBN 0-486-43479-6