Scottova kontinuita - Scott continuity - Wikipedia

v matematika, vzhledem k tomu dva částečně objednané sady P a Q, a funkce F: P → Q mezi nimi je Scott kontinuální (pojmenoval podle matematika Dana Scott ) Pokud si to konzervuje Všechno řízená suprema. To znamená pro každého řízená podmnožina D z P s supremum v P, své obraz má nadřazenost Q, a to supremum je obrazem supremum of D, tj. , kde je směrované spojení.[1] Když je poset pravdivostních hodnot, tj. Sierpiński prostor, pak jsou Scottovy spojité funkce charakteristické funkce, a tedy Sierpińského prostor je klasifikace topos pro otevřené sady.[2]

Podmnožina Ó částečně objednané sady P je nazýván Scott-open pokud je horní sada a pokud ano nepřístupný přímým spojením, tj. pokud jsou všechny směrované sady D se supremem v Ó mít neprázdné průsečík s Ó. Scott-open podmnožiny částečně objednané sady P tvoří a topologie na P, Scottova topologie. Funkce mezi částečně uspořádanými množinami je Scottova spojitá, právě když je kontinuální s ohledem na Scottovu topologii.[1]

Scottova topologie byla poprvé definována Danou Scottovou pro kompletní mříže a později definované pro libovolné částečně uspořádané množiny.[3]

Scottovy spojité funkce se objevují při studiu modelů pro lambda kameny[3] a denotační sémantika počítačových programů.

Vlastnosti

Scottova spojitá funkce je vždy monotóní.

Podmnožina částečně uspořádané množiny je Zavřeno s ohledem na Scottovu topologii vyvolanou částečným řádem právě tehdy, pokud se jedná o a spodní sada a uzavřena pod suprema řízených podmnožin.[4]

A řízená úplná částečná objednávka (dcpo) se Scottovou topologií je vždy a Kolmogorovův prostor (tj. splňuje T0 separační axiom ).[4] DCpo se Scottovou topologií je však Hausdorffův prostor právě když je objednávka triviální.[4] Scott-open sady tvoří a úplná mříž na objednávku zařazení.[5]

Pro každý Kolmogorovův prostor topologie indukuje relační vztah v tomto prostoru, specializační objednávka: X ≤ y jen a jen pokud každý otevřené sousedství z X je také otevřeným sousedstvím města y. Řádový vztah dcpo D lze rekonstruovat ze Scott-open sad jako specializační řád vyvolaný Scottovou topologií. DCpo vybavené Scottovou topologií však nemusí být střízlivý: specializační řád vyvolaný topologií střízlivého prostoru dělá z tohoto prostoru dcpo, ale Scottova topologie odvozená z tohoto řádu je jemnější než původní topologie.[4]

Příklady

Otevřené množiny v daném topologickém prostoru, pokud jsou nařízeny zařazení tvoří a mříž na kterém lze definovat Scottovu topologii. Podmnožina X topologického prostoru T je kompaktní s ohledem na topologii na T (v tom smyslu, že každý otevřete kryt z X obsahuje a konečný subcover z X) pouze a pouze v případě, že soubor otevřené čtvrti z X je otevřený s ohledem na Scottovu topologii.[5]

Pro CPO, kartézská uzavřená kategorie z dcpo, dva zvláště pozoruhodné příklady Scottových spojitých funkcí jsou kari a aplikovat.[6]

Nuel Belnap použil Scottovu kontinuitu k prodloužení logické spojky do a čtyřhodnotová logika.[7]

Viz také

Poznámky pod čarou

  1. ^ A b Vickers, Steven (1989). Topologie pomocí logiky. Cambridge University Press. ISBN  978-0-521-36062-3.
  2. ^ Scottova topologie v nLab
  3. ^ A b Scott, Dana (1972). "Spojité mřížky". v Lawvere, Bille (vyd.). Topózy, algebraická geometrie a logika. Přednášky z matematiky. 274. Springer-Verlag.
  4. ^ A b C d Abramsky, S .; Jung, A. (1994). "Teorie domény" (PDF). In Abramsky, S .; Gabbay, D.M .; Maibaum, T.S.E. (eds.). Příručka logiky v informatice. Sv. III. Oxford University Press. ISBN  978-0-19-853762-5.
  5. ^ A b Bauer, Andrej & Taylor, Paul (2009). „Dedekind se realizuje v abstraktní kamenné dualitě“. Matematické struktury v informatice. 19 (4): 757–838. CiteSeerX  10.1.1.424.6069. doi:10.1017 / S0960129509007695. Citováno 8. října 2010.
  6. ^ Barendregt, H.P. (1984). Lambda kalkul. Severní Holandsko. ISBN  978-0-444-87508-2. (Viz věty 1.2.13, 1.2.14)
  7. ^ N. Belnap (1975) „Jak by měly počítače myslet“, strany 30 až 56 v Současné aspekty filozofie, Gilbert Ryle editor, Oriel Press ISBN  0-85362-161-6

Reference