Konečná topologie - Final topology

v obecná topologie a související oblasti matematika, konečná topologie (nebo coinduced,^[1] silný, colimitnebo induktivní topologie) na a soubor ${ displaystyle X}$, s ohledem na rodinu funkcí do ${ displaystyle X}$, je nejlepší topologie na ${ displaystyle X}$ který dělá tyto funkce kontinuální.

Dvojí představa je počáteční topologie, který pro danou rodinu funkcí ze sady ${ displaystyle X}$ je nejhrubší topologie na ${ displaystyle X}$ díky čemuž jsou tyto funkce spojité.

Definice

Vzhledem k sadě ${ displaystyle X}$ a rodina topologické prostory ${ displaystyle Y_ {i}}$ s funkcemi

${ displaystyle f_ {i} dvojtečka Y_ {i} až X,}$

the konečná topologie ${ displaystyle tau}$ na ${ displaystyle X}$ je nejlepší topologie takové, že každý

${ displaystyle f_ {i} dvojtečka Y_ {i} to (X, tau)}$

je kontinuální. Konečnou topologii lze výslovně popsat takto: podmnožina U z X je otevřeno kdyby a jen kdyby ${ displaystyle f_ {i} ^ {- 1} (U)}$ je otevřen v ${ displaystyle Y_ {i}}$ pro každého ${ displaystyle i in I}$.

Příklady

• The kvocient topologie je konečná topologie prostoru kvocientu s ohledem na kvocientová mapa.
• The disjunktní unie je konečná topologie s ohledem na rodinu kanonické injekce.
• Obecněji topologický prostor je koherentní s rodinou podprostorů, pokud má konečnou topologii společně vytvořenou mapami začlenění.
• The přímý limit ze všech přímý systém prostorů a spojitých map je set-teoretický přímý limit spolu s konečnou topologií určenou kanonickými morfismy.
• Vzhledem k tomu, rodina topologií ${ displaystyle { tau _ {i} }}$ na pevnou sadu X, konečná topologie na X s ohledem na funkce ${ displaystyle operatorname {id} _ {X} dvojtečka (X, tau _ {i}) až X}$ je infimum (nebo se setkejte) s topologiemi ${ displaystyle { tau _ {i} }}$ v mřížka topologií na X. To znamená, že konečná topologie τ je průsečík topologií ${ displaystyle { tau _ {i} }}$.
• The étalé prostor svazku je topologizováno konečnou topologií.

Vlastnosti

Podmnožina ${ displaystyle X}$ je zavřený / otevřený kdyby a jen kdyby jeho preimage pod F_i je zavřený / otevřený v ${ displaystyle Y_ {i}}$ pro každého i ∈ Já.

Konečná topologie na X lze charakterizovat následující charakteristickou vlastností: funkcí ${ displaystyle g}$ z ${ displaystyle X}$ do nějakého prostoru ${ displaystyle Z}$ je spojitý právě tehdy ${ displaystyle g circ f_ {i}}$ je kontinuální pro každého i ∈ Já.

Univerzálním majetkem disjunktní odborová topologie víme, že vzhledem k jakékoli rodině spojitých map F_i : Y_i → X, existuje jedinečná souvislá mapa

${ displaystyle f colon coprod _ {i} Y_ {i} až X.}$

Pokud je to rodina map F_i kryty X (tj. každý X v X spočívá v obrazu některých F_i) pak mapa F bude kvocientová mapa kdyby a jen kdyby X má konečnou topologii určenou mapami F_i.

Kategorický popis

V jazyce teorie kategorií lze finální konstrukci topologie popsat následovně. Nechat Y být funktor od a diskrétní kategorie J do kategorie topologických prostorů Horní který vybírá mezery Y_i pro i v J. Nechť Δ je diagonální funktor z Horní do kategorie funktorů Horní^J (tento funktor odešle každý prostor X do stálého funktoru do X). The kategorie čárky (Y ↓ Δ) je pak kategorie šišek z Y, tj. objekty v (Y ↓ Δ) jsou páry (X, F) kde F_i : Y_i → X je rodina souvislých map X. Li U je zapomnětlivý funktor z Horní na Soubor a Δ ′ je diagonální funktor z Soubor na Soubor^J pak kategorie čárky (UY ↓ Δ ′) je kategorie všech šišek z UY. Finální konstrukci topologie lze potom popsat jako funktor z (UY ↓ Δ ′) do (Y ↓ Δ). Tento funktor je vlevo adjoint k odpovídajícímu zapomnětlivému funktoru.

Viz také

• Počáteční topologie
• Indukovaná topologie
• LB-prostor
• LF-prostor

Reference

Zdroje

• Willard, Stephen (1970). Obecná topologie. Addison-Wesley Series v matematice. Reading, MA: Addison-Wesley. Zbl  0205.26601.. (Poskytuje krátký obecný úvod v části 9 a cvičení 9H)