Síť (matematika) - Net (mathematics)

v matematika, konkrétněji v obecná topologie a související pobočky, a síť nebo Moore-Smithova sekvence je zobecněním pojmu a sekvence. V podstatě je sekvence a funkce s doménou přirozená čísla a v kontextu topologie codomain této funkce je obvykle libovolná topologický prostor. V kontextu topologie však sekvence plně nekódují všechny informace o funkci mezi topologickými prostory. Zejména následující dvě podmínky nejsou obecně ekvivalentní pro mapu F mezi topologickými prostory X a Y:

1. Mapa F je kontinuální v topologickém smyslu;
2. Vzhledem k jakémukoli bodu X v Xa jakákoli sekvence v X konvergující k X, složení F s touto posloupností konverguje k F(X) (kontinuální v sekvenčním smyslu).

Je však pravda, že podmínka 1 implikuje podmínku 2. Potíž, se kterou se setkáte při pokusu dokázat, že podmínka 2 implikuje podmínku 1, spočívá ve skutečnosti, že topologické prostory obecně nejsou nejdříve spočítatelné Pokud by byl axiom první spočitatelnosti uložen na dané topologické prostory, obě výše uvedené podmínky by byly rovnocenné. Obzvláště tyto dvě podmínky jsou ekvivalentní pro metrické prostory.

Účel konceptu sítě, který poprvé představil E. H. Moore a Herman L. Smith v roce 1922,^[1] je zobecnit pojem posloupnosti tak, aby se potvrdila rovnocennost podmínek (přičemž podmínka 2 je nahrazena výrazem „posloupnost“ výrazem „net“). Zejména spíše než být definován na a počitatelný lineárně uspořádáno množina, síť je definována libovolně řízená sada. To zejména umožňuje, aby věty podobné těm, které tvrdí ekvivalenci podmínky 1 a podmínky 2, měly v kontextu topologických prostorů, které nemusí nutně spočítatelné nebo lineárně uspořádané, držet sousedství základ kolem bodu. Proto i když sekvence nekódují dostatečné informace o funkcích mezi topologickými prostory, sítě ano, protože kolekce otevřených sad v topologických prostorech jsou velmi podobné řízené sady v chování. Termín „net“ vytvořil John L. Kelley.^[2][3]

Sítě jsou jedním z mnoha nástrojů používaných v topologie zobecnit určité pojmy, které mohou být dostatečně obecné pouze v kontextu metrické prostory. Příbuzný pojem, pojem filtr, byl vyvinut v roce 1937 společností Henri Cartan.

Definice

Nechť A je řízená sada s předobjednávkou ≥ a X být topologickým prostorem s topologií T. Funkce f: A → X se říká, že je síť.

Li A je směrovaná množina, z níž často píšeme síť A na X ve formě (X_α), což vyjadřuje skutečnost, že prvek α v A je namapován na prvek X_α v X.

A podsíť není pouze omezením sítě F na řízenou podmnožinu A; viz odkazovaná stránka pro definici.

Příklady sítí

Každý neprázdný zcela objednaná sada je směrován. Proto je každá funkce na takové sadě sítí. Zejména přirozená čísla s obvyklým pořadím tvoří takovou množinu a posloupnost je funkcí přirozených čísel, takže každá posloupnost je síť.

Další důležitý příklad je následující. Daný bod X v topologickém prostoru, ať N_X označit množinu všech sousedství obsahující X. Pak N_X je směrovaná množina, kde směr je dán obrácenou inkluzí, takže S ≥ T kdyby a jen kdyby S je obsažen v T. Pro S v N_X, nechť X_S být bodem v S. Pak (X_S) je síť. Tak jako S zvyšuje s ohledem na ≥, body X_S v síti jsou nuceni ležet v zmenšujících se čtvrtích X, tak intuitivně řečeno, jsme vedeni k myšlence, že X_S musí směřovat k X v jistém smyslu. Můžeme tento omezující koncept zpřesnit.

Meze sítí

Li X_• = (X_α)_{α ∈ A} je síť z řízené sady A do X, a pokud S je podmnožinou X, pak to říkáme X_• je nakonec v S (nebo zůstat v S) pokud nějaké existují α ∈ A tak, že pro každého β ∈ A s β ≥ α, bod X_β leží v S.

Li X_• = (X_α)_{α ∈ A} je síť v topologickém prostoru X a X ∈ X pak řekneme, že síť konverguje k / směrem k X, že to má limit X, voláme X A omezit (směřovat) z X_•, a piš

X_• → X        nebo        X_α → X        nebo        lim X_• → X        nebo        lim X_α → X

pokud (a pouze pokud)

pro každého sousedství U z X, X_• je nakonec v U.

Li lim X_• → X a pokud tento limit X je jedinečný (jedinečnost znamená, že pokud lim X_• → y pak nutně X = y) pak může být tato skutečnost označena písemně

lim X_• = X        nebo        lim X_α = X

namísto lim X_• → X.^[4] V Hausdorffův prostor, každá síť má maximálně jeden limit, takže limit konvergentní sítě v Hausdorffově prostoru je vždy jedinečný.^[4] Někteří autoři místo toho používají notaci „lim X_• = X " znamenat lim X_• → X sven rovněž požadavek, aby byl limit jedinečný; pokud je však tento zápis definován tímto způsobem, pak znaménko rovná se = již není zaručeno označení a tranzitivní vztah a tak již neoznačuje rovnost (např X, y ∈ X jsou odlišné a také oba limity X_• pak navzdory lim X_• = X a lim X_• = y psáno se znaménkem rovná se =, to je ne Pravda že X = y).

Intuitivně konvergence této sítě znamená, že hodnoty X_α přijďte a zůstaňte tak blízko, jak chceme X pro dostatečně velké α. Ukázková síť uvedená výše na internetu sousedský systém bodu X skutečně konverguje k X podle této definice.

Vzhledem k tomu, podklad B pro topologii na X (kde si všimněte, že každý základna pro topologii je také subbase) a dostal bod X ∈ X, síť (X_α) v X konverguje k X právě když je to nakonec v každém sousedství U ∈ B z X. Tato charakteristika se rozšiřuje na sousední podklady (a tak také sousedské základny ) daného bodu X.

Příklady omezení sítí

• Limit posloupnosti a limit funkce: viz. níže.
• Limity sítí Riemann součty, v definici Riemannův integrál. V tomto příkladu je směrovaná množina množina oddíly intervalu integrace, částečně nařízeno začleněním.

Doplňkové definice

Nechť φ je síť X na základě řízené sady D a nechte A být podmnožinou X, pak se říká, že φ často v (nebo konečně v) A pokud pro každý α in D existuje nějaký β ≥ α, β v D, takže φ (β) je v A.

Bod X v X se říká, že je akumulační bod nebo bod klastru sítě, pokud (a pouze pokud) pro každou čtvrť U z X, síť je často v U.

Síť φ na setu X je nazýván univerzální, nebo ultranet pokud pro každou podmnožinu A z X, buď φ je nakonec v A nebo φ je nakonec v X − A.

Příklady

Sekvence v topologickém prostoru

Sekvence (A₁, A₂, ...) v topologickém prostoru PROTI lze považovat za síť v PROTI definováno dne N.

Síť je nakonec v podmnožině Y z PROTI pokud existuje N v N tak, že pro každého n ≥ N, bod A_n je v Y.

Máme lim_n A_n = L jen a jen pro každou čtvrť Y z L, síť je nakonec v Y.

Síť je často v podmnožině Y z PROTI jen a jen pro každého N v N nějaké existují n ≥ N takhle A_n je v Y, to znamená, že a pouze tehdy, pokud je nekonečně mnoho prvků sekvence Y. Tedy bod y v PROTI je klastrový bod sítě právě tehdy, když každé sousedství Y z y obsahuje nekonečně mnoho prvků sekvence.

Funkce z metrického prostoru do topologického prostoru

Zvažte funkci z metrického prostoru M do topologického prostoru PROTIa bod C z M. Řídíme soubor M{C} obráceně podle vzdálenosti od C, to znamená, že vztah je „má alespoň stejnou vzdálenost C jako „, takže„ dostatečně velký “ve vztahu ke vztahu znamená„ dostatečně blízko k “ C". Funkce F je síť v PROTI definováno dne M{C}.

Síť F je nakonec v podmnožině Y z PROTI pokud existuje A v M  {C} tak, že pro každého X v M  {C} s d (X,C) ≤ d (A,C), bod f (X) je v Y.

Máme lim_{X → C} F(X) = L jen a jen pro každou čtvrť Y z L, F je nakonec v Y.

Síť F je často v podmnožině Y z PROTI jen a jen pro každého A v M  {C} nějaké existují X v M  {C} s d(X,C) ≤ d (A,C) takové, že f (x) je v Y.

Bod y v PROTI je klastrový bod sítě F jen a jen pro každou čtvrť Y z y, síť je často v Y.

Funkce z dobře uspořádané množiny do topologického prostoru

Zvažte a dobře uspořádaná sada [0, C] s mezním bodem Ca funkce F od [0, C) do topologického prostoru PROTI. Tato funkce je síť na [0, C).

Nakonec je v podmnožině Y z PROTI pokud existuje A v [0,C) tak, že pro každého X ≥ A, bod F(X) je v Y.

Máme lim_{X → C} F(X) = L jen a jen pro každou čtvrť Y z L, F je nakonec v Y.

Síť F je často v podmnožině Y z PROTI jen a jen pro každého A v [0,C) existují nějaké X v [A, C) takové, že F(X) je v Y.

Bod y v PROTI je klastrový bod sítě F jen a jen pro každou čtvrť Y z y, síť je často v Y.

První příklad je zvláštní případ tohoto C = ω.

Viz také pořadová indexovaná sekvence.

Vlastnosti

Prakticky všechny pojmy topologie lze přeformulovat v jazyce sítí a limitů. To může být užitečné pro vedení intuice, protože pojem limit sítě je velmi podobný pojmu limit posloupnosti. Následující sada vět a lemmat pomáhá upevnit tuto podobnost:

• Subseteq S ⊆ X je otevřen právě tehdy, pokud v síti není síť X ∖ S konverguje k bodu S.^[5] Právě tato charakterizace otevřených podmnožin umožňuje sítím charakterizovat topologie.
• Li U je podmnožinou X, pak X je v uzavření z U právě když existuje síť (X_α) s omezením X a takhle X_α je v U pro všechny α.
• Podmnožina A z X je zavřeno právě tehdy, kdykoli (X_α) je síť s prvky v A a limit X, pak X je v A.
• Funkce F : X → Y mezi topologickými prostory je kontinuální na místě X právě když pro každou síť (X_α) s

lim X_α = X

my máme

lim F(X_α) = F(X).

Tato věta obecně není pravdivá, pokud nahradíme „net“ výrazem „sequence“. Musíme počítat s více směrovanými množinami než jen s přirozenými čísly, pokud X není nejdříve spočítatelné (nebo ne sekvenční ).

Důkaz

Jeden směr: Nechť f je spojitá v bodě x a nechť (xα) být síť taková, že lim (xα) = x. Pak pro každé otevřené sousedství U f (x) je jeho preimage f, V, sousedství x (kontinuitou f at x). Tak interiér z V, int (V), je otevřené okolí x, a tedy (xα) je nakonec v int (V). Proto f (xα) je nakonec v f (int (V)) a tedy také nakonec v f (V), což je podmnožina U. Lim tedy lim (xα) = f (x) a tento směr je prokázán. Druhý směr: Nechť x je bod takový, že pro každou síť (xα) takový, že lim (xα) = x, lim f (x.)α) = f (x). Nyní předpokládejme, že f není spojité na x. Pak je tu sousedství U f (x), jehož preimage pod f, V, není sousedství x. Všimněte si však, že protože f (x) je v U, x je ve V. Nyní sada otevřených sousedství x s zadržování předobjednávka je a řízená sada (protože průsečík každých dvou takových čtvrtí je také otevřeným sousedstvím x). Postavíme síť (xα) takový, že pro každé otevřené sousedství x, jehož index je α, xα je bod v tomto sousedství, který není ve V; že vždy existuje takový bod, vyplývá ze skutečnosti, že do V není zahrnuto žádné otevřené okolí x (protože podle našeho předpokladu V není sousedstvím x). Z toho vyplývá, že f (xα) není v U. Nyní je pro každé otevřené sousedství W z x toto sousedství členem směrované množiny, jejíž index označujeme α0. Pro každý β ≥ α0, člen směrované množiny, jehož index je β, je obsažen ve W; proto xβ je ve W. Tedy lim (xα) = x a podle našeho předpokladu lim f (xα) = f (x). Ale int (U) je otevřené okolí f (x) a tedy f (xα) je nakonec v int (U), a tedy i v U, v rozporu s f (xα) není v U pro každý α. Tak jsme dospěli k rozporu a jsme nuceni dojít k závěru, že f je spojité v x. Osvědčený je tedy i druhý směr.

• Obecně síť v prostoru X může mít více než jeden limit, ale pokud X je Hausdorffův prostor, limit sítě, pokud existuje, je jedinečný. Naopak, pokud X není Hausdorff, pak existuje síť na X se dvěma odlišnými limity. Jedinečnost limitu je tedy ekvivalent na Hausdorffův stav v prostoru, a to lze brát jako definici. Tento výsledek závisí na stavu směrovosti; množina indexovaná generálem předobjednávka nebo částečná objednávka může mít odlišné mezní body i v Hausdorffově prostoru.
• Sada shlukových bodů sítě se rovná množině limitů její konvergentní podsítě.

Důkaz

Nechat X být topologickým prostorem, A řízená sada, ${displaystyle langle x_ {alpha} angle _ {alpha in A}}$ být síť v X, a ${displaystyle yin X.}$ Je snadno vidět, že pokud y je limit podsítě ${displaystyle langle x_ {alpha} angle _ {alpha in A}}$, pak y je klastrový bod ${displaystyle langle x_ {alpha} angle _ {alpha in A}}$. Naopak, předpokládejme to y je klastrový bod ${displaystyle langle x_ {alpha} angle _ {alpha in A}}$.Nechat B být sada párů ${displaystyle (U, alfa)}$ kde U je otevřeným sousedstvím města y v X a ${displaystyle alpha v A}$ je takový ${displaystyle x_ {alpha} v U}$.Mapa ${displaystyle h: B o A}$ mapování ${displaystyle (U, alfa)}$ na ${displaystyle alpha}$ je pak cofinal. Navíc rozdávání B the objednávka produktu (sousedství y jsou řazeny podle zařazení) z něj dělá řízenou množinu a síť ${displaystyle langle y_ {eta} úhel _ {eta v B}}$ definován ${displaystyle y_ {eta} = x_ {h (eta)}}$ konverguje k y.

• Síť má limit právě tehdy, mají-li všechny její podsítě limity. V takovém případě je každý limit sítě také limitem každé podsítě.
• Prostor X je kompaktní právě když každá síť (X_α) v X má podsíť s limitem v X. To lze chápat jako zevšeobecnění Bolzano – Weierstrassova věta a Heine – Borelův teorém.

Důkaz

Nejprve předpokládejme, že X je kompaktní. Budeme potřebovat následující pozorování (viz Vlastnost konečné křižovatky ). Nechat Já být libovolná sada a ${displaystyle {C_ {i}} _ {iin I}}$ být souborem uzavřených podskupin X takhle ${displaystyle igcap _ {iin J} C_ {i} eq emptyset}$ pro každou konečnou ${displaystyle Jsubseteq I}$. Pak ${displaystyle igcap _ {iin I} C_ {i} eq emptyset}$ také. V opačném případě, ${displaystyle {C_ {i} ^ {c}} _ {iin I}}$ by byl otevřeným krytem pro X na rozdíl od kompaktnosti X. Nechat A být řízenou sadou a ${displaystyle langle x_ {alpha} angle _ {alpha in A}}$ být síť v X. Pro každého ${displaystyle alpha v A}$ definovat ${displaystyle E_ {alpha} riangleq {x_ {eta}: eta geq alpha}.}$ Sbírka ${displaystyle {operatorname {cl} (E_ {alpha}): alfa v A}}$ má vlastnost, že každá konečná podkolekce má neprázdný průnik. Podle výše uvedené poznámky to tedy máme ${displaystyle igcap _ {alpha in A} operatorname {cl} (E_ {alpha}) eq varnothing}$ a to je přesně ta sada klastrových bodů ${displaystyle langle x_ {alpha} angle _ {alpha in A}}$. Podle výše uvedené vlastnosti se rovná množině limitů konvergentních podsítí ${displaystyle langle x_ {alpha} angle _ {alpha in A}}$. Tím pádem ${displaystyle langle x_ {alpha} angle _ {alpha in A}}$ má konvergentní podsíť. Naopak předpokládejme, že každá síť v X má konvergentní podsíť. Kvůli rozporu, ať ${displaystyle {U_ {i}: iin I}}$ být otevřeným krytem X bez konečné subkryty. Zvážit ${displaystyle D riangleq {Jsubset I: | J |$. Dodržujte to D je směrovaná množina pro zahrnutí a pro každou ${displaystyle Cin D}$, existuje ${displaystyle x_ {C} v X}$ takhle ${displaystyle x_ {C} otin U_ {a}}$ pro všechny ${displaystyle ain C}$. Zvažte síť ${displaystyle langle x_ {C} úhel _ {Cin D}}$. Tato síť nemůže mít konvergentní podsíť, protože pro každou z nich ${displaystyle xin X}$ tady existuje ${displaystyle cin I}$ takhle ${displaystyle U_ {c}}$ je sousedství města X; ale pro všechny ${displaystyle Bsupseteq {c}}$, máme to ${displaystyle x_ {B} otin U_ {c}}$. To je rozpor a doplňuje důkaz.

• Síť v produktový prostor má limit právě tehdy, pokud má každá projekce limit. Symbolicky, pokud (X_α) je síť v produktu X = π_iX_i, pak konverguje k X kdyby a jen kdyby ${displaystyle pi _ {i} (x_ {alpha}) o pi _ {i} (x)}$ pro každého i. Vyzbrojeni tímto pozorováním a výše uvedenou charakteristikou kompaktnosti, pokud jde o sítě, lze poskytnout úhledný důkaz Tychonoffova věta.
• Li F : X → Y a (X_α) je ultranet na X, pak (F(X_α)) je ultranet na Y.

Cauchyovy sítě

A Cauchy síť zobecňuje pojem Cauchyova posloupnost do sítí definovaných dne jednotné prostory.^[6]

Síť (X_α) je Cauchyova síť, pokud pro každého doprovod PROTI existuje γ takové, že pro všechna α, β ≥ γ, (X_α, X_β) je členem PROTI.^[6][7] Obecněji v a Cauchyho prostor, síť (X_α) je Cauchy, pokud je filtr generovaný sítí a Cauchyho filtr.

Vztah k filtrům

A filtr je další myšlenka v topologii, která umožňuje obecnou definici konvergence v obecných topologických prostorech. Tyto dvě myšlenky jsou rovnocenné v tom smyslu, že poskytují stejný koncept konvergence.^[8] Přesněji pro každého základna filtru an sdružená síť lze sestrojit a konvergence základny filtru znamená konvergenci přidružené sítě — a naopak (pro každou síť existuje základna filtru a konvergence sítě znamená konvergenci základny filtru).^[9] Například libovolná síť ${displaystyle (x_ {alpha}) _ {alfa v A}}$ v ${displaystyle X}$ indukuje filtrační základnu ocasů ${displaystyle {{x_ {alpha}: alfa v A, alpha _ {0} leq alpha}: alpha _ {0} v A}}$ kde je filtr dovnitř ${displaystyle X}$ generovaný touto základnou filtru se nazývá síť filtr eventualit. Tato korespondence umožňuje, aby každá věta, kterou lze dokázat jedním konceptem, byla prokázána druhým.^[9] Například kontinuitu funkce z jednoho topologického prostoru do druhého lze charakterizovat buď konvergencí sítě v doméně implikující konvergenci odpovídající sítě v doméně, nebo stejným výrokem s bázemi filtrů.

Robert G. Bartle tvrdí, že navzdory jejich rovnocennosti je užitečné mít oba pojmy.^[9] Tvrdí, že sítě jsou dost jako sekvence, aby se vytvořily přirozené důkazy a definice analogicky se sekvencemi, zejména ty, které používají sekvenční prvky, jako je to běžné v analýza, zatímco filtry jsou nejužitečnější v algebraická topologie. V každém případě ukazuje, jak lze tyto dvě kombinace použít k prokázání různých vět v obecná topologie.

Limit superior

Limit superior a limit nižší než síť reálných čísel lze definovat podobným způsobem jako pro sekvence.^[10][11][12] Někteří autoři pracují dokonce s obecnějšími strukturami než je skutečná linie, jako jsou úplné mřížky.^[13]

Pro síť ${displaystyle (x_ {alpha}) _ {alpha in I}}$ vložili jsme

${displaystyle limsup x_ {alpha} = lim _ {alpha in I} sup _ {eta succeq alpha} x_ {eta} = inf _ {alpha in I} sup _ {eta succeq alpha} x_ {eta}.}$

Limit vyšší než síť reálných čísel má mnoho vlastností analogických s posloupností, např.

${displaystyle limsup (x_ {alpha} + y_ {alpha}) leq limsup x_ {alpha} + limsup y_ {alpha},}$

kde rovnost platí vždy, když je jedna ze sítí konvergentní.

Viz také

• Charakterizace kategorie topologických prostorů
• Filtry v topologii
• Předobjednávka
• Sekvenční prostor

Citace

Reference

• Sundström, Manya Raman (2010). „Pedagogická historie kompaktnosti“. arXiv:1006.4131v1 [matematika ].CS1 maint: ref = harv (odkaz)
• Aliprantis, Charalambos D.; Border, Kim C. (2006). Nekonečná dimenzionální analýza: Stopařův průvodce (3. vyd.). Berlín: Springer. str. xxii, 703. ISBN  978-3-540-32696-0. PAN  2378491.
• Pivo, Gerald (1993). Topologie na uzavřených a uzavřených konvexních sadách. Matematika a její aplikace 268. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers Group. str. xii, 340. ISBN  0-7923-2531-1. PAN  1269778.
• Howes, Norman R. (23. června 1995). Moderní analýza a topologie. Postgraduální texty z matematiky. New York: Springer-Verlag Věda a obchodní média. JAKO V  0387979867. ISBN  978-0-387-97986-1. OCLC  31969970.CS1 maint: datum a rok (odkaz) CS1 maint: ASIN používá ISBN (odkaz)
• Kelley, John L. (1975). Obecná topologie. Postgraduální texty z matematiky. 27. New York: Springer Science & Business Media. ISBN  978-0-387-90125-1. OCLC  338047.
• Kelley, John L. (1991). Obecná topologie. Springer. ISBN  3-540-90125-6.
• Megginson, Robert E. (1998). Úvod do teorie Banachova prostoru. Postgraduální texty z matematiky. 193. New York: Springer. ISBN  0-387-98431-3.
• Schechter, Eric (1997). Příručka pro analýzu a její základy. San Diego: Academic Press. ISBN  9780080532998. Citováno 22. června 2013.
• Schechter, Eric (1996). Příručka pro analýzu a její základy. San Diego, CA: Academic Press. ISBN  978-0-12-622760-4. OCLC  175294365.
• Willard, Stephen (2004) [1970]. Obecná topologie. Dover knihy o matematice (První vydání). Mineola, NY: Dover Publications. ISBN  978-0-486-43479-7. OCLC  115240.
• "síť". PlanetMath.