Konstantní funkce - Constant function

v matematika, a konstantní funkce je funkce jehož (výstupní) hodnota je pro každou vstupní hodnotu stejná.^[1][2][3] Například funkce y(X) = 4 je konstantní funkce, protože hodnota y(X) je 4 bez ohledu na vstupní hodnotu X (viz obrázek).

Základní vlastnosti

Jako skutečná funkce argumentu se skutečnou hodnotou má konstantní funkce obecnou formu y(X) = c nebo prostě y = C.^[4]

Příklad: Funkce y(X) = 2 nebo prostě y = 2 je specifická konstantní funkce, kde je výstupní hodnota C = 2. The doména této funkce je množina všech reálných čísel ℝ. The codomain této funkce je jen {2}. Nezávislá proměnná X nezobrazí se na pravé straně výrazu funkce, a proto je jeho hodnota „vakuově nahrazena“. A to y(0) = 2, y(−2.7) = 2, y(π) = 2, a tak dále. Bez ohledu na to, jakou hodnotu má X je vstup, výstup je „2“.

Příklad ze skutečného světa: Obchod, kde se každá položka prodává za cenu 1 dolaru.

Graf konstantní funkce y = C je vodorovná čára v letadlo který prochází bodem (0, C).^[5]

V kontextu a polynomiální v jedné proměnné X, nenulová konstantní funkce je polynom stupně 0 a jeho obecná forma je F(X) = c kde C je nenulová. Tato funkce nemá žádný průsečík s X-os, to znamená, že nemá kořen (nula). Na druhou stranu polynom F(X) = 0 je identicky nulová funkce. Je to (triviální) konstantní funkce a každá X je kořen. Jeho graf je X-osa v rovině.^[6]

Konstantní funkce je sudá funkce, tj. graf konstantní funkce je symetrický vzhledem k y-osa.

V kontextu, kde je definován, derivát funkce je míra rychlosti změny funkčních hodnot s ohledem na změnu vstupních hodnot. Protože konstantní funkce se nemění, je její derivace 0.^[7] Toto se často píše:${ displaystyle (x mapsto c) '= 0}$ . Opak je také pravdivý. Jmenovitě, pokud y'(X) = 0 pro všechna reálná čísla X, pak y je konstantní funkce.^[8]

Příklad: Vzhledem k konstantní funkci ${ displaystyle y (x) = - { sqrt {2}}}$. Derivát y je identicky nulová funkce ${ displaystyle y '(x) = (x mapsto - { sqrt {2}})' = 0}$.

Další vlastnosti

Pro funkce mezi předobjednané sady, konstantní funkce jsou obě zachování objednávek a reverzní objednávka; naopak, pokud F je jak zachování objednávek, tak i jejich zrušení, a pokud doména z F je mříž, pak F musí být konstantní.

• Každá konstantní funkce, jejíž doména a codomain jsou stejná množina X je a levá nula z plný transformační monoid na X, což znamená, že je také idempotentní.
• Každá konstantní funkce mezi topologické prostory je kontinuální.
• Konstantní funkce ovlivňuje jednobodová sada, koncový objekt v kategorie sad. Toto pozorování slouží k F. William Lawvere Axiomatizace teorie množin, elementární teorie kategorie množin (ETCS).^[9]
• Každá sada X je izomorfní do množiny konstantních funkcí. Pro každý prvek x a libovolnou množinu Y existuje jedinečná funkce ${ displaystyle { tilde {x}}: Y rightarrow X}$ takhle ${ displaystyle { tilde {x}} (y) = x}$ pro všechny ${ displaystyle y v Y}$. Naopak, pokud funkce ${ displaystyle f: Y rightarrow X}$ splňuje ${ displaystyle f (y) = f (y ')}$ pro všechny ${ displaystyle y, y ' v Y}$, ${ displaystyle f}$ je ze své podstaty konstantní funkcí.
  • Jako důsledek je jednobodová množina a generátor v kategorii souprav.
  • Každá sada ${ displaystyle X}$ je kanonicky izomorfní se sadou funkcí ${ displaystyle X ^ {1}}$nebo domácí sada ${ displaystyle operatorname {hom} (1, X)}$ v kategorii množin, kde 1 je jednobodová množina. Z tohoto důvodu a přídavku mezi kartézskými produkty a hom v kategorii množin (tedy existuje kanonický izomorfismus mezi funkcemi dvou proměnných a funkcemi jedné proměnné oceněný ve funkcích jiné (jediné) proměnné, ${ displaystyle operatorname {hom} (X krát Y, Z) cong operatorname {hom} (X ( operatorname {hom} (Y, Z))}$) kategorie sad je a uzavřená monoidní kategorie s kartézský součin sad jako tenzorový součin a jednobodová sada jako tenzorová jednotka. V izomorfismech ${ Displaystyle lambda: 1 krát X cong X cong X krát 1: rho}$ přirozené v X, levý a pravý unitor jsou projekce ${ displaystyle p_ {1}}$ a ${ displaystyle p_ {2}}$ the objednané páry ${ displaystyle (*, x)}$ a ${ displaystyle (x, *)}$ respektive k prvku ${ displaystyle x}$, kde ${ displaystyle *}$ je jedinečný směřovat v jednobodové sadě.

Funkce na a připojená sada je místně konstantní právě když je konstantní.

Reference

• Herrlich, Horst a Strecker, George E., Teorie kategorie, Heldermann Verlag (2007).

externí odkazy

• Weisstein, Eric W. "Konstantní funkce". MathWorld.
• "Konstantní funkce". PlanetMath.