Kubická funkce - Cubic function
v matematika, a kubická funkce je funkce formuláře
kde koeficienty A, b, C, a d jsou reálná čísla a proměnná X bere skutečné hodnoty a A ≠ 0. Jinými slovy, je to obojí polynomiální funkce stupně tři a skutečná funkce. Zejména doména a codomain jsou množina reálných čísel.
Nastavení F(X) = 0 vyrábí a kubická rovnice formuláře
jejichž řešení se nazývá kořeny funkce.
Kubická funkce má jeden nebo tři skutečné kořeny;[1] všechny polynomy lichého stupně mají alespoň jeden skutečný kořen.
The graf kubické funkce má vždy jeden inflexní bod. Může mít dva kritické body, místní minimum a místní maximum. Jinak je kubická funkce monotóní. Graf kubické funkce je symetrický vzhledem k jejímu inflexnímu bodu; to znamená, že je invariantní při rotaci půl otáčky kolem tohoto bodu. Až do an afinní transformace, existují pouze tři možné grafy pro kubické funkce.
Kubické funkce jsou pro kubická interpolace.
Dějiny
Kritické a inflexní body
The kritické body kubické funkce jsou její stacionární body, to jsou body, kde je sklon funkce nulový.[2] Tedy kritické body kubické funkce F definován
- F(X) = sekera3 + bx2 + cx + d,
vyskytují se při hodnotách X takové, že derivát
kubické funkce je nula.
Řešení této rovnice jsou X-hodnoty kritických bodů a jsou dány pomocí kvadratický vzorec tím, že
Znaménko výrazu uvnitř druhé odmocniny určuje počet kritických bodů. Pokud je kladná, pak existují dva kritické body, jeden je místní maximum a druhý je místní minimum. Li b2 – 3ac = 0, pak existuje pouze jeden kritický bod, kterým je inflexní bod. Li b2 – 3ac < 0, pak neexistují žádné (skutečné) kritické body. Ve dvou posledních případech, tj. Pokud b2 – 3ac je nonpositive, kubická funkce je přísně monotóní. Příklad případu je uveden na obrázku Δ0 > 0.
Inflexní bod funkce je místo, kde se tato funkce mění konkávnost.[3] Inflexní bod nastane, když druhá derivace je nula a třetí derivace je nenulová. Kubická funkce má tedy vždy jediný inflexní bod, který se vyskytuje v
Klasifikace
The graf kubické funkce je a kubická křivka, ačkoli mnoho kubických křivek nejsou grafy funkcí.
Ačkoli kubické funkce závisí na čtyřech parametrech, jejich graf může mít jen velmi málo tvarů. Ve skutečnosti je graf kubické funkce vždy podobný do grafu funkce formuláře
Tuto podobnost lze postavit jako složení překlady rovnoběžně s osami souřadnic, a homothecy (jednotné měřítko ), a případně a odraz (zrcadlový obraz ) s respektem k y-osa. Další nejednotné škálování může transformovat graf na graf jedné ze tří kubických funkcí
To znamená, že existují pouze tři grafy kubických funkcí až do an afinní transformace.
Výše geometrické transformace lze postavit následujícím způsobem, když vycházíme z obecné kubické funkce
Za prvé, pokud A < 0, změna proměnné X → –X umožňuje předpokládat A > 0. Po této změně proměnné je nový graf zrcadlovým obrazem předchozího grafu s ohledem na y-osa.
Poté změna proměnné X = X1 – b/3A poskytuje funkci formuláře
To odpovídá překladu paralelnímu s X-osa.
Změna proměnné y = y1 + q odpovídá překladu s ohledem na y-osa a dává funkci formy
Změna proměnné odpovídá jednotnému měřítku a po vynásobení číslem dát funkce formuláře
což je nejjednodušší forma, kterou lze získat podobností.
Pak, pokud p ≠ 0, nejednotné měřítko dává, po dělení
kde má hodnotu 1 nebo –1, v závislosti na znaménku p. Pokud jeden definuje druhá forma funkce platí pro všechny případy (s a ).
Symetrie
Pro kubickou funkci formuláře inflexní bod je tedy počátek. Jako taková funkce je lichá funkce, jeho graf je symetrický vzhledem k inflexnímu bodu a invariantní při rotaci půl otáčky kolem inflexního bodu. Protože tyto vlastnosti jsou neměnné od podobnost, platí pro všechny kubické funkce následující.
Graf kubické funkce je symetrický vzhledem k jejímu inflexnímu bodu a je invariantní při rotaci o půl otáčky kolem inflexního bodu.
Kolineárnosti
Tečny k grafu kubické funkce ve třech kolineární body zachytit kubický znovu v kolineárních bodech.[4] To lze vidět následovně.
Protože tato vlastnost je neměnná pod a tuhý pohyb, lze předpokládat, že funkce má formu
Li α je reálné číslo, pak tečna ke grafu F na místě (α, F(α)) je čára
- {(X, F(α) + (X − α)F ′(α)) : X ∈ R}.
Průsečík mezi touto přímkou a grafem F lze získat řešením rovnice F(X) = F(α) + (X − α)F ′(α), to je
které lze přepsat
a rozloženo na
Tangenta tedy zachytí kubický v
Funkce, která mapuje bod (X, y) grafu do druhého bodu, kde tečna zachycuje graf
Tohle je afinní transformace který transformuje kolineární body na kolineární body. To dokazuje nárokovaný výsledek.
Kubická interpolace
Vzhledem k hodnotám funkce a její derivaci ve dvou bodech existuje přesně jedna kubická funkce, která má stejné čtyři hodnoty, která se nazývá a kubický Hermitův spline.
Existují dva standardní způsoby použití této skutečnosti. Za prvé, pokud člověk ví, například fyzickým měřením, hodnoty funkce a její derivace v některých vzorkovacích bodech, může interpolovat funkce s a spojitě diferencovatelná funkce, což je po částech kubická funkce.
Pokud je hodnota funkce známa v několika bodech, kubická interpolace spočívá v aproximaci funkce a spojitě diferencovatelná funkce, který je po částech krychlový. Pro jedinečně definovanou interpolaci je třeba přidat další dvě omezení, například hodnoty derivací v koncových bodech nebo nulu zakřivení v koncových bodech.
Odkaz
- ^ Bostock, Linda; Chandler, Suzanne; Chandler, F. S. (1979). Čistá matematika 2. Nelson Thornes. str. 462. ISBN 978-0-85950-097-5.
Kubická rovnice má tedy buď tři skutečné kořeny ... nebo jeden skutečný kořen ...
- ^ Weisstein, Eric W. „Stacionární bod“. mathworld.wolfram.com. Citováno 2020-07-27.
- ^ Hughes-Hallett, Deborah; Lock, Patti Frazer; Gleason, Andrew M .; Flath, Daniel E .; Gordon, Sheldon P .; Lomen, David O .; Lovelock, David; McCallum, William G .; Osgood, Brad G. (11. 12. 2017). Aplikovaný počet. John Wiley & Sons. str. 181. ISBN 978-1-119-27556-5.
Bod, ve kterém graf funkce f mění konkávnost, se nazývá inflexní bod f
- ^ Whitworth, William Allen (1866), "Rovnice třetího stupně", Trilineární souřadnice a další metody moderní analytické geometrie dvou dimenzí, Cambridge: Deighton, Bell a Co., s. 425, vyvoláno 17. června 2016