Izolovaný bod - Isolated point - Wikipedia

„0“ je izolovaný bod A = {0} ∪ [1, 2]

v matematika, a směřovat X se nazývá izolovaný bod podmnožiny S (v topologický prostor X) pokud X je prvek S ale existuje a sousedství z X který neobsahuje žádné další body z S. To je ekvivalentní tomu, že singleton {X} je otevřená množina v topologickém prostoru S (považováno za podprostor z X). Pokud prostor X je Euklidovský prostor (nebo jakýkoli jiný metrický prostor ), pak X je izolovaný bod S pokud existuje otevřený míč kolem X který neobsahuje žádné další body S. (Představíme-li pojem sekvence a limity, lze ekvivalentně říci, že prvek X z S je izolovaný bod S právě když to není a mezní bod z S.)

Diskrétní sada

Soubor, který je tvořen pouze izolovanými body, se nazývá a diskrétní sada (viz také diskrétní prostor ). Libovolná diskrétní podmnožina S euklidovského prostoru musí být počitatelný, protože izolace každého z jeho bodů spolu se skutečností, že racionální jsou hustý v realita znamená, že body S mohou být mapovány do množiny bodů s racionálními souřadnicemi, kterých je jen počitatelně mnoho. Ne každá spočetná množina je však diskrétní, přičemž kanonickým příkladem jsou racionální čísla podle obvyklé euklidovské metriky.

O sadě bez izolovaného bodu se říká, že je sám o sobě hustý (každé sousedství bodu obsahuje další body množiny). A uzavřená sada bez izolovaného bodu se nazývá a perfektní sada (má všechny své mezní body a žádný z nich není izolován).

Počet izolovaných bodů je a topologický invariant, tj. pokud dva topologické prostory ${ displaystyle X}$ a ${ displaystyle Y}$ jsou homeomorfní, počet izolovaných bodů v každém je stejný.

Standardní příklady

Topologické prostory v následujících příkladech jsou považovány za podprostory z skutečná linie se standardní topologií.

• Pro sadu ${ displaystyle S = {0 } pohár [1,2]}$, bod 0 je izolovaný bod.
• Pro sadu ${ displaystyle S = {0 } šálek {1,1 / 2,1 / 3, tečky }}$, každý z bodů 1 / k je izolovaný bod, ale 0 není izolovaný bod, protože v něm jsou další body S tak blízko k 0, jak je požadováno.
• Sada ${ displaystyle { mathbb {N}} = {0,1,2, ldots }}$ z přirozená čísla je diskrétní sada.
• The Morseovo lemma tvrdí, že nedegenerované kritické body některých funkcí jsou izolovány.

Protiintuitivní příklad

Zvažte sadu ${ displaystyle F}$ bodů ${ displaystyle x}$ ve skutečném intervalu ${ displaystyle (0,1)}$ tak, že každá jejich číslice binární zastoupení ${ displaystyle x_ {i}}$ splňuje následující podmínky:

• Buď ${ displaystyle x_ {i} = 0}$ nebo ${ displaystyle x_ {i} = 1}$.
• ${ displaystyle x_ {i} = 1}$ jen pro konečně mnoho indexů ${ displaystyle i}$.
• Li ${ displaystyle m}$ označuje největší index takový, že ${ displaystyle x_ {m} = 1}$, pak ${ displaystyle x_ {m-1} = 0}$.
• Li ${ displaystyle x_ {i} = 1}$ a ${ displaystyle i$, platí přesně jedna z následujících dvou podmínek: ${ displaystyle x_ {i-1} = 1}$, ${ displaystyle x_ {i + 1} = 1}$. Neformálně tato podmínka znamená, že každá číslice binární reprezentace ${ displaystyle x}$ což se rovná 1 patří páru ... 0110 ..., až na ... 010 ... na samém konci.

Nyní, ${ displaystyle F}$ je explicitní množina skládající se výhradně z izolovaných bodů^[1] který má proti-intuitivní vlastnost, že jeho uzavření je nespočetná sada.^[2]

Další sada ${ displaystyle F}$ se stejnými vlastnostmi lze získat následujícím způsobem. Nechat ${ displaystyle C}$ být prostřední třetiny Cantor set, nechť ${ displaystyle I_ {1}, I_ {2}, I_ {3}, ldots}$ být součástka intervaly ${ displaystyle [0,1] -C}$a nechte ${ displaystyle F}$ být množina skládající se z jednoho bodu od každého ${ displaystyle I_ {k}}$. Protože každý ${ displaystyle I_ {k}}$ obsahuje pouze jeden bod z ${ displaystyle F}$, každý bod ${ displaystyle F}$ je izolovaný bod. Pokud však ${ displaystyle p}$ je jakýkoli bod v sadě Cantor, pak každé sousedství ${ displaystyle p}$ obsahuje alespoň jeden ${ displaystyle I_ {k}}$, a tedy alespoň jeden bod ${ displaystyle F}$. Z toho vyplývá, že každý bod sady Cantor leží v uzavření ${ displaystyle F}$, a proto ${ displaystyle F}$ má nespočetné uzavření.

Viz také

• Acnode
• Přívrženec
• Mezní bod

Reference

• Gomez-Ramirez, Danny (2007), "Explicitní sada izolovaných bodů v R s nespočetným uzavřením", Matemáticas: Enseñanza universitaria, Escuela Regional de Matemáticas. Universidad del Valle, Kolumbie, 15: 145–147

externí odkazy

• Weisstein, Eric W. "Izolovaný bod". MathWorld.