Počáteční topologie - Initial topology

v obecná topologie a související oblasti matematika, počáteční topologie (nebo indukovaná topologie^[1]^[2] nebo slabá topologie nebo omezit topologii nebo projektivní topologie) na soubor ${ displaystyle X}$ , s ohledem na rodinu funkcí na ${ displaystyle X}$ , je nejhrubší topologie na X který dělá tyto funkce kontinuální.

The topologie podprostoru a topologie produktu konstrukce jsou oba speciální případy počátečních topologií. Ve skutečnosti lze počáteční konstrukci topologie považovat za jejich zobecnění.

The dvojí pojem je konečná topologie, které pro danou rodinu funkcí mapujících na množinu ${ displaystyle X}$ je nejlepší topologie na ${ displaystyle X}$ díky čemuž jsou tyto funkce spojité.

Definice

Vzhledem k sadě X a indexovaná rodina (Y_i)_i∈Já z topologické prostory s funkcemi

{ displaystyle f_ {i}: X až Y_ {i},}

počáteční topologie ${ displaystyle tau}$ na ${ displaystyle X}$ je nejhrubší topologie na X takové, že každý

{ displaystyle f_ {i} :( X, tau) na Y_ {i}}

je kontinuální.

Explicitně je počáteční topologií kolekce otevřených množin generováno všemi sadami formuláře ${ displaystyle f_ {i} ^ {- 1} (U)}$ , kde ${ displaystyle U}$ je otevřená sada v ${ displaystyle Y_ {i}}$ pro některé i ∈ Já, pod konečnými křižovatkami a libovolnými odbory. Sady ${ displaystyle f_ {i} ^ {- 1} (U)}$ jsou často nazývány sady válců.Li Já obsahuje přesně jeden prvek, všechny otevřené sady ${ displaystyle (X, tau)}$ jsou sady válců.

Příklady

Několik topologických konstrukcí lze považovat za zvláštní případy počáteční topologie.

The topologie podprostoru je počáteční topologie v podprostoru s ohledem na mapa zařazení.
The topologie produktu je počáteční topologie s ohledem na rodinu projekční mapy.
The inverzní limit ze všech inverzní systém prostorů a spojitých map je množinově-teoretická inverzní mez spolu s počáteční topologií určenou kanonickými morfismy.
The slabá topologie na lokálně konvexní prostor je počáteční topologie s ohledem na spojité lineární tvary jeho dvojí prostor.
Vzhledem k rodina topologií {τ_i} na pevnou sadu X počáteční topologie zapnuta X s ohledem na id funkcí_i : X → (X, τ_i) je supremum (nebo se připojte) topologií {τ_i} v mřížka topologií na X. To znamená, že počáteční topologie τ je topologie generovaná svaz topologií {τ_i}.
Topologický prostor je úplně normální právě když má počáteční topologii s ohledem na svou rodinu (ohraničený ) skutečné spojité funkce.
Každý topologický prostor X má počáteční topologii s ohledem na rodinu spojitých funkcí od X do Sierpiński prostor.

Vlastnosti

Charakteristická vlastnost

Počáteční topologie zapnuta X lze charakterizovat následující charakteristickou vlastností:
Funkce ${ displaystyle g}$ z nějakého prostoru ${ displaystyle Z}$ na ${ displaystyle X}$ je spojitý právě tehdy ${ displaystyle f_ {i} cirkus}$ je kontinuální pro každého i ∈ Já.

Všimněte si, že navzdory tomu, že vypadá docela podobně, nejde o univerzální vlastnost. Níže je uveden kategorický popis.

Hodnocení

Univerzálním majetkem topologie produktu, víme, že každá rodina spojitých map ${ displaystyle f_ {i} dvojtečka X až Y_ {i}}$ určuje jedinečnou souvislou mapu

{ displaystyle f tlustý X to prod _ {i} Y_ {i} ,.}

Tato mapa je známá jako hodnotící mapa.

Rodina map ${ displaystyle {f_ {i} dvojtečka X až Y_ {i} }}$ říká se samostatné body v X pokud pro všechny ${ displaystyle x neq y}$ v X nějaké existují i takhle ${ displaystyle f_ {i} (x) neq f_ {i} (y)}$ . Je zřejmé, že rodina ${ displaystyle {f_ {i} }}$ odděluje body právě tehdy, když je přidružená vyhodnocovací mapa F je injekční.

Mapa hodnocení F bude a topologické vkládání kdyby a jen kdyby X má počáteční topologii určenou mapami ${ displaystyle {f_ {i} }}$ a tato rodina map odděluje body v X.

Oddělující body od uzavřených množin

Pokud mezera X je vybaven topologií, je často užitečné vědět, zda je topologie zapnutá X je počáteční topologie vyvolaná nějakou rodinou map na X. Tato část poskytuje dostatečnou (ale není nutnou) podmínku.

Rodina map {F_i: X → Y_i} odděluje body od uzavřených množin v X pokud pro všechny uzavřené sady A v X a všechno X ne v A, existují nějaké i takhle

{ displaystyle f_ {i} (x) notin operatorname {cl} (f_ {i} (A))}

kde cl označuje operátor uzavření.

Teorém. Rodina souvislých map {F_i: X → Y_i} odděluje body od uzavřených množin právě tehdy, když se nastaví válec

{ displaystyle f_ {i} ^ {- 1} (U)}

, pro U otevři to Y_i, tvoří a základ pro topologii na X.

Z toho vyplývá, že kdykoli {F_i} odděluje body od uzavřených množin, prostoru X má počáteční topologii vyvolanou mapami {F_i}. Konverzace selže, protože sady válců obecně vytvoří pouze subbase (a nikoli základ) pro počáteční topologii.

Pokud prostor X je T₀ prostor, pak libovolná sbírka map {F_i}, který odděluje body od uzavřených množin v X musí také oddělit body. V tomto případě bude vyhodnocovací mapa vložením.

Kategorický popis

V jazyce teorie kategorií lze počáteční konstrukci topologie popsat následovně. Nechat ${ displaystyle Y}$ být funktor od a diskrétní kategorie ${ displaystyle J}$ do kategorie topologických prostorů ${ displaystyle mathrm {začátek}}$ které mapy ${ displaystyle j mapsto Y_ {j}}$ . Nechat ${ displaystyle U}$ být obvyklý zapomnětlivý funktor z ${ displaystyle mathrm {začátek}}$ na ${ displaystyle mathrm {sada}}$ . Mapy ${ displaystyle f_ {j}: X až Y_ {j}}$ pak lze považovat za kužel z ${ displaystyle X}$ na ${ displaystyle UY}$ . To znamená ${ displaystyle (X, f)}$ je předmětem ${ displaystyle mathrm {kužel} (UY): = ( Delta downarrow {UY})}$ —The kategorie šišek na ${ displaystyle UY}$ . Přesněji řečeno, tento kužel ${ displaystyle (X, f)}$ definuje a ${ displaystyle U}$ - strukturovaný kosink dovnitř ${ displaystyle mathrm {sada}}$ .

Zapomnětlivý funktor ${ displaystyle U: mathrm {začátek} to mathrm {sada}}$ indukuje funktor ${ displaystyle { bar {U}}: mathrm {kužel} (Y) do mathrm {kužel} (UY)}$ . Charakteristická vlastnost počáteční topologie je ekvivalentní s tvrzením, že existuje a univerzální morfismus z ${ displaystyle { bar {U}}}$ na ${ displaystyle (X, f)}$ tj. koncový objekt v kategorii ${ displaystyle ({ bar {U}} downarrow (X, f))}$ .
Výslovně se skládá z objektu ${ displaystyle I (X, f)}$ v ${ displaystyle mathrm {kužel} (Y)}$ spolu s morfismem ${ displaystyle varepsilon: { bar {U}} I (X, f) do (X, f)}$ takový, že pro jakýkoli objekt ${ displaystyle (Z, g)}$ v ${ displaystyle mathrm {kužel} (Y)}$ a morfismus ${ displaystyle varphi: { bar {U}} (Z, g) až (X, f)}$ existuje jedinečný morfismus ${ displaystyle zeta: (Z, g) až I (X, f)}$ tak, že dojíždí následující diagram:

Zadání ${ displaystyle (X, f) mapsto I (X, f)}$ umístění počáteční topologie na ${ displaystyle X}$ se vztahuje na funktor ${ displaystyle I: mathrm {Cone} (UY) to mathrm {Cone} (Y)}$ který je pravý adjoint zapomnětlivému funktoru ${ displaystyle { bar {U}}}$ . Ve skutečnosti, ${ displaystyle I}$ je obráceně doprava ${ displaystyle { bar {U}}}$ ; od té doby ${ displaystyle { bar {U}} já}$ je funktor identity ${ displaystyle mathrm {kužel} (UY)}$ .

Viz také

Reference

^ Rudin, Walter (1991). Funkční analýza. International Series in Pure and Applied Mathematics. 8 (Druhé vydání.). New York, NY: McGraw-Hill Science / Engineering / Math. ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC 21163277.
^ Adamson, Iain T. (1996). „Indukované a koindukované topologie“. Sešit obecné topologie. Birkhäuser, Boston, MA. str. 23. doi:10.1007/978-0-8176-8126-5_3. Citováno 21. července 2020. ... topologie indukovaná na E rodinou mapování ...

Zdroje

Willard, Stephen (1970). Obecná topologie. Reading, Massachusetts: Addison-Wesley. ISBN 0-486-43479-6.
"Počáteční topologie". PlanetMath.
"Topologie produktu a topologie podprostoru". PlanetMath.

[Rudin-1] Rudin, Walter (1991). Funkční analýza. International Series in Pure and Applied Mathematics. 8 (Druhé vydání.). New York, NY: McGraw-Hill Science / Engineering / Math. ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC 21163277.

[ad-2] Adamson, Iain T. (1996). „Indukované a koindukované topologie“. Sešit obecné topologie. Birkhäuser, Boston, MA. str. 23. doi:10.1007/978-0-8176-8126-5_3. Citováno 21. července 2020. ... topologie indukovaná na E rodinou mapování ...

[1]

[2]