Porovnání topologií - Comparison of topologies - Wikipedia

v topologie a související oblasti matematika, sada všech možných topologií na dané sadě tvoří a částečně objednaná sada. Tento objednávkový vztah lze použít pro srovnání topologií.

Definice

Topologii na sadě lze definovat jako soubor podmnožiny které jsou považovány za „otevřené“. Alternativní definice je, že se jedná o soubor podmnožin, které jsou považovány za „uzavřené“. Tyto dva způsoby definování topologie jsou v podstatě ekvivalentní, protože doplněk otevřené sady je uzavřen a naopak. V následujícím textu nezáleží na použité definici.

Nechť τ₁ a τ₂ být dvě topologie na sadě X takové, že τ₁ je obsaženo v τ₂:

${ displaystyle tau _ {1} subseteq tau _ {2}}$.

To znamená, že každý prvek τ₁ je také prvkem τ₂. Poté topologie τ₁ se říká, že je hrubší (slabší nebo menší) topologie než τ₂a τ₂ se říká, že je jemnější (silnější nebo větší) topologie než τ₁.^{[poznámka 1]}

Pokud navíc

${ displaystyle tau _ {1} neq tau _ {2}}$

říkáme τ₁ je přísně hrubší než τ₂ a τ₂ je přísně jemnější než τ₁.^[1]

The binární relace ⊆ definuje a vztah částečného objednání na množině všech možných topologií na X.

Příklady

Nejlepší topologie na X je diskrétní topologie; tato topologie otevírá všechny podmnožiny. Nejhrubší topologie zapnuta X je triviální topologie; tato topologie připouští pouze prázdnou množinu a celý prostor jako otevřené množiny.

v funkční prostory a prostory opatření často existuje řada možných topologií. Vidět topologie na množině operátorů v Hilbertově prostoru pro některé složité vztahy.

Všechno možné polární topologie na dvojitý pár jsou jemnější než slabá topologie a hrubší než silná topologie.

Vlastnosti

Nechť τ₁ a τ₂ být dvě topologie na sadě X. Pak jsou následující tvrzení ekvivalentní:

• τ₁ ⊆ τ₂
• the mapa identity id_X : (X, τ₂) → (X, τ₁) je průběžná mapa.
• ID mapy identity_X : (X, τ₁) → (X, τ₂) je otevřít mapu

Dva bezprostřední důsledky tohoto prohlášení jsou

• Souvislá mapa F : X → Y zůstává spojitá, pokud je topologie zapnutá Y se stává hrubší nebo zapnutá topologie X jemnější.
• Otevřená (resp. Uzavřená) mapa F : X → Y zůstane otevřená (resp. uzavřená), pokud je topologie zapnutá Y se stává jemnější nebo zapnutá topologie X hrubší.

Lze také porovnat topologie pomocí sousedské základny. Nechť τ₁ a τ₂ být dvě topologie na sadě X a nechte B_i(X) být lokální základnou pro topologii τ_i na X ∈ X pro i = 1,2. Pak τ₁ ⊆ τ₂ jen a jen pro všechny X ∈ X, každá otevřená sada U₁ v B₁(X) obsahuje nějakou otevřenou sadu U₂ v B₂(X). Intuitivně to dává smysl: jemnější topologie by měla mít menší čtvrti.

Mřížka topologií

Sada všech topologií v sadě X společně s dílčím objednávkovým vztahem ⊆ tvoří a úplná mříž který je také uzavřen pod libovolnými křižovatkami. To znamená, že každá kolekce topologií na X mít setkat (nebo infimum ) a a připojit se (nebo supremum ). Setkání kolekce topologií je průsečík těchto topologií. Spojení však obecně není svaz těchto topologií (spojení dvou topologií nemusí být topologie), ale spíše topologie generováno uživatelem unie.

Každá úplná mříž je také a ohraničená mříž, což znamená, že má největší a nejmenší prvek. V případě topologií je největším prvkem diskrétní topologie a nejmenším prvkem je triviální topologie.

Poznámky

Viz také

• Počáteční topologie, nejhrubší topologie sady, aby byla rodina mapování z této sady spojitá
• Konečná topologie, nejlepší topologie sady, aby se rodina mapování do této sady stala kontinuální

Reference