Interiér (topologie) - Interior (topology)

Bod X je vnitřní bod S. Bod y je na hranici S.

v matematika, konkrétně v topologie, interiér a podmnožina S a topologický prostor X je svaz všech podskupin S to jsou otevřeno v X. Bod, který je ve vnitřku S je vnitřní bod z S.

Interiér S je doplněk z uzavření doplňku S. V tomto smyslu jsou interiér a uzavření dvojí pojmy.

The vnější sady S je doplňkem uzavření S; skládá se z bodů, které nejsou v množině ani v ní hranice. Interiér, hranice a exteriér podmnožiny dohromady rozdělit celý prostor do tří bloků (nebo méně, pokud je jeden nebo více z nich prázdných). Interiér a exteriér jsou vždy otevřeno zatímco hranice je vždy Zavřeno. Byly volány sady s prázdným vnitřkem hraniční množiny.[1]

Definice

Vnitřní bod

Li S je podmnožinou a Euklidovský prostor, pak X je vnitřní bod S pokud existuje otevřený míč se středem na X který je zcela obsažen v S. (To je znázorněno v úvodní části tohoto článku.)

Tato definice se zobecňuje na jakoukoli podmnožinu S a metrický prostor X s metrikou d: X je vnitřní bod S pokud existuje r > 0, takový, že y je v S kdykoli vzdálenost d(X, y) < r.

Tato definice zobecňuje na topologické prostory nahrazením slova „otevřená koule“ slovy „otevřená sada " S být podmnožinou topologického prostoru X. Pak X je vnitřní bod S -li X je obsažen v otevřené podskupině X který je zcela obsažen v S. (Ekvivalentně, X je vnitřní bod S -li S je sousedství z X.)

Interiér sady

The interiér podmnožiny S topologického prostoru X, označeno Int S nebo S°, lze definovat některým z následujících ekvivalentních způsobů:

  1. Int S je největší otevřená podmnožina X obsažené (jako podmnožina) v S;
  2. Int S je spojení všech otevřených souborů X obsaženo v S;
  3. Int S je sada všech vnitřních bodů S.

Příklady

A je vnitřní bod M, protože existuje ε-sousedství a, což je podmnožina M.
  • V každém prostoru je vnitřek prázdné sady prázdnou sadou.
  • V jakémkoli prostoru X, pokud S ⊆ X, pak int S ⊆ S.
  • Li X je euklidovský prostor ℝ z reálná čísla, pak int ([0, 1]) = (0, 1).
  • Li X je euklidovský prostor ℝ, pak vnitřek soupravy ℚ z racionální čísla je prázdný.
  • Li X je složité letadlo , pak
  • V jakémkoli euklidovském prostoru, vnitřku kteréhokoli konečná množina je prázdná množina.

Na množinu reálných čísel lze dát jiné topologie než standardní.

  • Li X = ℝ, kde ℝ má topologie spodního limitu, potom int ([0, 1]) = [0, 1).
  • Pokud někdo uvažuje o ℝ tedy topologii, ve které je otevřena každá sada int ([0, 1]) = [0, 1].
  • Pokud někdo uvažuje o ℝ topologie, ve které jsou jedinými otevřenými množinami prázdná množina a ℝ tedy sám int ([0, 1]) je prázdná množina.

Tyto příklady ukazují, že vnitřek množiny závisí na topologii podkladového prostoru. Poslední dva příklady jsou speciální případy následujících.

  • V každém diskrétní prostor, protože každá sada je otevřená, každá sada se rovná jejímu vnitřku.
  • V každém neurčitý prostor X, protože jediné otevřené množiny jsou prázdná množina a X sám, máme X = int X a pro každého správná podmnožina S z X, int S je prázdná množina.

Vlastnosti

Nechat X být topologickým prostorem a nechat S a T být podmnožinou X.

  • Int S je otevřeno v X.
  • Li T je otevřen v X pak T ⊆ S kdyby a jen kdyby T ⊆ Int S.
  • Int S je otevřená podmnožina S když S je dána topologie podprostoru.
  • S je otevřená podmnožina X kdyby a jen kdyby S = int S.
  • Intenzivní: Int S ⊆ S.
  • Idempotence: Int (Int S) = Int S.
  • Zachovává/distribuuje přes binární křižovatka: Int (S ∩ T) = (Int S) ∩ (Int T).
  • Monotónní/neklesající s ohledem na ⊆: Pokud S ⊆ T pak Int S ⊆ Int T.

Výše uvedená tvrzení zůstanou pravdivá, pokud budou všechny instance symbolů / slov

„interiér“, „Int“, „otevřít“, „podmnožina“ a „největší“

jsou nahrazeny

„uzavření“, „Cl“, „zavřeno“, „nadmnožina“ a „nejmenší“

a jsou zaměněny následující symboly:

  1. „⊆“ vyměněno za „⊇“
  2. „∪“ vyměněno za „∩“

Další podrobnosti o této záležitosti viz operátor interiéru níže nebo článek Kuratowského uzavírací axiomy.

Mezi další vlastnosti patří:

  • Li S je uzavřen X a Int T = ∅ pak Int (S ∪ T) = Int S.[2]

Provozovatel interiéru

The operátor interiéru Ó je dvojí uzavření operátor —, V tom smyslu, že

,

a také

,

kde X je topologický prostor obsahující Sa zpětné lomítko odkazuje na set-teoretický rozdíl.

Proto je abstraktní teorie operátorů uzavírání a Kuratowského uzavírací axiomy lze snadno přeložit do jazyka obsluhy interiérů nahrazením sad jejich doplňky.

Provozovatel interiéru obecně nedojíždí s odbory. Avšak v a kompletní metrický prostor platí následující výsledek:

Teorém[3] (C. Ursescu) — Nechat X být kompletní metrický prostor a nechte být posloupností podmnožin X.

  • Pokud každý Si je uzavřen X pak .
  • Pokud každý Si je otevřen v X pak .

Exteriér sady

Hlavní článek: Exteriér (topologie)

The vnější podmnožiny S topologického prostoru X, označeno ext S nebo Ext S, je interiér int (X \ S) jeho relativního doplňku. Alternativně jej lze definovat jako X \ S—, doplněk uzavření S. Mnoho vlastností následuje přímým způsobem od vlastností interiérového operátora, například následující.

  • ext S je otevřená množina, se kterou nesouvisí S.
  • ext S je spojení všech otevřených množin, které jsou disjunktní s S.
  • ext S je největší otevřená množina, se kterou nesouvisí S.
  • Li S ⊆ T, pak ext (S) je nadmnožinou ext T.

Na rozdíl od operátora interiéru ext není idempotentní, ale platí následující:

  • ext (ext S) je nadmnožinou int S.

Tvarově nesouvislé tvary

Červené tvary nejsou vnitřně disjunktní s modrým trojúhelníkem. Zelený a žlutý tvar jsou vnitřně nesouvislé s modrým trojúhelníkem, ale pouze žlutý tvar je zcela nesouvislý s modrým trojúhelníkem.

Dva tvary A a b jsou nazývány interiér-disjunktní pokud je průnik jejich interiérů prázdný. Vnitřní nesouvislé tvary se mohou nebo nemusí protínat v jejich hranici.

Viz také

Reference

  1. ^ Kuratowski, Kazimierz (1922). „Sur l'Operation Ā de l'Analysis Situs“ (PDF). Fundamenta Mathematicae. Varšava: Polská akademie věd. 3: 182–199. ISSN  0016-2736.
  2. ^ Narici & Beckenstein 2011, str. 371-423.
  3. ^ Zalinescu, C (2002). Konvexní analýza v obecných vektorových prostorech. River Edge, NJ London: World Scientific. p. 33. ISBN  981-238-067-1. OCLC  285163112.

Bibliografie

externí odkazy