Metrické (matematika) - Metric (mathematics)

v matematika, a metrický nebo funkce vzdálenosti je funkce který definuje a vzdálenost mezi každou dvojicí bodových prvků a soubor. Sada s metrikou se nazývá a metrický prostor.[1] Metrika indukuje a topologie na množině, ale ne všechny topologie lze vygenerovat metrikou. A topologický prostor jehož topologie může být popsána metrikou se nazývá měřitelný.
Jeden důležitý zdroj metrik v diferenciální geometrie jsou metrické tenzory, bilineární formy které lze definovat z tečné vektory a diferencovatelné potrubí na skalární. Metrický tenzor umožňuje integraci určit vzdálenosti podél křivek a určuje tak metriku.
Definice
A metrický na setu X je funkce (volala funkce vzdálenosti nebo jednoduše vzdálenost)
- ,
kde je množina nezáporných reálná čísla a pro všechny , jsou splněny následující tři axiomy:
Tyto axiomy také znamenají nezápornost nebo podmínka oddělení:
- pro všechny
Konkrétně aplikace axiomů 1, 3 a 2 v uvedeném pořadí vede z čehož vyplývá .
Nezápornost a axiom 1 společně definují, co se nazývá a pozitivní-definitivní funkce.
Metrika se nazývá ultrametrický pokud splňuje následující silnější verzi nerovnost trojúhelníku kde body nikdy nemohou padnout „mezi“ jinými body:
pro všechny
Metrika d na X je nazýván vnitřní pokud nějaké dva body X a y v X lze se připojit pomocí a křivka s délka libovolně blízko d(X, y).
Metrika d ve skupině G (psáno multiplikativně) se říká, že je left-invariant (resp. pravý neměnný) pokud máme
- [resp. ]
pro všechny X, y, a z v G.
Poznámky
Tyto podmínky vyjadřují intuitivní představy o konceptu vzdálenost. Například vzdálenost mezi odlišnými body je kladná a vzdálenost od X na y je stejná jako vzdálenost od y na X. Nerovnost trojúhelníku znamená, že vzdálenost od X na z přes y je alespoň tak skvělý jako od X na z přímo. Euklid v jeho práce uvedl, že nejkratší vzdálenost mezi dvěma body je přímka; to byla nerovnost trojúhelníku pro jeho geometrii.
Příklady
- The diskrétní metrika: pokud X = y pak d(X,y) = 0. Jinak, d(X,y) = 1.
- The Euklidovská metrika je neměnný překlad a rotace.
- The metrika taxíku je překlad neměnný.
- Obecněji řečeno, jakákoli metrika vyvolaná a norma je překlad neměnný.
- Li je sekvence z semináře definování (lokálně konvexní ) topologický vektorový prostor E, pak
- je metrika definující totéž topologie. (Jeden může nahradit kterýmkoli shrnutelná sekvence přísně kladná čísla.)
- Metrika grafu, metrika definovaná jako vzdálenosti v určitém grafu.
- The Hammingova vzdálenost v teorii kódování.
- Riemannova metrika, typ metrické funkce, kterou je vhodné uložit každému diferencovatelné potrubí. U každého takového potrubí, jeden volí v každém bodě p symetrický, pozitivní určitý, bilineární tvar L: Tstr × T.str → ℝ na tečný prostor Tstr u p, a to hladkým způsobem. Tento formulář určuje délku libovolného tečného vektoru proti na potrubí prostřednictvím definice || v || = . Pak pro jakoukoli diferencovatelnou cestu na potrubí je jeho délka definována jako integrál délky vektoru tečny k cestě v kterémkoli bodě, kde je integrace provedena s ohledem na parametr cesty. Nakonec, abychom získali metriku definovanou na libovolném páru {x, y} bodů potrubí, vezmeme infimum množiny délek cest přes všechny cesty od x do y. Hladké potrubí vybavené Riemannovou metrikou se nazývá a Riemannovo potrubí.
- The Fubini – metrika studia na složitý projektivní prostor. Toto je příklad Riemannovy metriky.
- Řetězcové metriky, jako Levenshteinova vzdálenost a další vzdálenosti úprav řetězce, definujte metriku struny.
- Vzdálenost úpravy grafu definuje funkci vzdálenosti mezi grafy.
- The Wassersteinova metrika je funkce vzdálenosti definovaná mezi dvěma rozdělení pravděpodobnosti.
- The Finslerova metrika je spojitá nezáporná funkce F: TM → [0, + ∞) definovaná na tangenciálním svazku.
Rovnocennost metrik
Pro danou sadu X, dvě metriky d1 a d2 jsou nazývány topologicky ekvivalentní (rovnoměrně ekvivalentní) pokud je mapování identity
- id: (X,d1) → (X,d2)
je homeomorfismus (jednotný izomorfismus ).
Například pokud je tedy metrika a jsou metriky ekvivalentní
Viz také pojmy ekvivalence metrického prostoru.
Metriky ve vektorových prostorech
Normy vektorových prostorů jsou ekvivalentní určitým metrikám, jmenovitě homogenním, překladově invariantním. Jinými slovy, každá norma určuje metriku a některé metriky určují normu.
Vzhledem k tomu, normovaný vektorový prostor můžeme definovat metriku na X podle
- .
Metrika d se říká, že je vyvolané normou .
Naopak, pokud jde o metriku d na vektorový prostor X splňuje vlastnosti
- (překladová invariance)
- (stejnorodost)
pak můžeme definovat a norma na X podle
Podobně, a seminář indukuje pseudometrickou (viz níže) a homogenní transometricky invariantní pseudometrická indukuje seminorm.
Metriky u multisetů
Můžeme zobecnit pojem metriky ze vzdálenosti mezi dvěma prvky na vzdálenost mezi dvěma neprázdnými konečnými multisety prvků. A multiset je zobecněním pojmu a soubor tak, že prvek se může vyskytnout vícekrát. Definovat -li je multiset skládající se z prvků multisetů a , tedy pokud nastane jednou za a jednou dovnitř pak se vyskytuje dvakrát dovnitř . Funkce vzdálenosti na množině neprázdných konečných multisetů je metrika[2] -li
- pokud všechny prvky jsou si rovni a v opačném případě (pozitivní definitivnost ), to znamená, (nezápornost Plus totožnost nerozporných )
- je neměnný pod všemi obměnami domény (symetrie )
- (nerovnost trojúhelníku )
Všimněte si, že známá metrika mezi dvěma prvky je výsledkem vícenásobné množiny má dva prvky v 1 a 2 a multisety mít každý po jednom prvku 3. Například pokud se skládá ze dvou výskytů , pak podle 1.
Jednoduchým příkladem je sada všech neprázdných konečných multisetů celých čísel s . Složitější příklady jsou informační vzdálenost v multisetech;[2] a normalizovaná kompresní vzdálenost (NCD) v multisetech.[3]
Zobecněné metriky
Existuje mnoho způsobů, jak uvolnit axiomy metrik, což vede k různým představám o zobecněných metrických prostorech. Tyto zobecnění lze také kombinovat. Terminologie použitá k jejich popisu není zcela standardizovaná. Nejvýznamnější je v funkční analýza pseudometrika často pochází semináře na vektorových prostorech, a proto je přirozené jim říkat „semimetrics“. To je v rozporu s použitím termínu v topologie.
Rozšířená metrika
Někteří autoři povolují funkci vzdálenosti d k dosažení hodnoty ∞, tj. vzdálenosti jsou nezáporná čísla na prodloužená řada reálných čísel. Taková funkce se nazývá rozšířená metrika nebo „∞-metrický“. Každá rozšířená metrika může být transformována na konečnou metriku, takže metrické prostory jsou ekvivalentní, pokud jde o pojmy topologie (jako kontinuita nebo konvergence ) jsou znepokojeni. To lze provést pomocí a subadditivní monotónně rostoucí omezená funkce, která je nula na nule, např. d′(X, y) = d(X, y) / (1 + d(X, y)) nebo d′′(X, y) = min (1, d(X, y)).
Požadavek, aby metrika nabývala hodnoty v [0, ∞), lze dokonce zmírnit, aby se zvážily metriky s hodnotami v jiných řízené sady. Přeformulování axiomů v tomto případě vede ke konstrukci jednotné prostory: topologické prostory s abstraktní strukturou umožňující porovnat místní topologie různých bodů.
Pseudometrie
A pseudometrické na X je funkce d : X × X → R který splňuje axiomy pro metriku, kromě toho, že místo druhého (identita indiscernibles) pouze d(X,X) = 0 pro všechny X je požadováno. Jinými slovy, axiomy pro pseudometrii jsou:
- d(X, y) ≥ 0
- d(X, X) = 0 (ale možná d(X, y) = 0 pro některé odlišné hodnoty X ≠ y.)
- d(X, y) = d(y, X)
- d(X, z) ≤ d(X, y) + d(y, z).
V některých kontextech se pseudometrie označují jako semimetrics kvůli jejich vztahu k semináře.
Kvazimetrika
Občas, a kvazimetrický je definována jako funkce, která splňuje všechny axiomy pro metriku s možnou výjimkou symetrie:[4][5]. Název této generalizace není zcela standardizovaný.[6]
- d(X, y) ≥ 0 (pozitivita)
- d(X, y) = 0 pouze a jen tehdy X = y (pozitivní definitivnost)
d(X, y) = d(y, X)(symetrie, upustil)- d(X, z) ≤ d(X, y) + d(y, z) (nerovnost trojúhelníku)
Kvazimetrika je v reálném životě běžná. Například vzhledem k sadě X horských vesnic, typické doby chůze mezi prvky X tvoří quasimetric, protože cestování do kopce trvá déle než cestování z kopce. Dalším příkladem je a geometrie taxíku topologie s jednosměrnými ulicemi, kde je cesta z bodu A ukazovat B zahrnuje jinou sadu ulic než cestu z B na A.
Kvazimetrický údaj o realitách lze definovat nastavením
- d(X, y) = X − y -li X ≥ y, a
- d(X, y) = 1 jinak. 1 může být nahrazeno nekonečnem nebo .
Topologický prostor pod tímto kvazimetrickým prostorem je Sorgenfreyova linie. Tento prostor popisuje proces registrace dolů kovová tyč: je snadné zmenšit její velikost, ale je obtížné nebo nemožné ji vypěstovat.
Li d je kvazimetrický X, metrika d ' na X může být vytvořen tím, že
- d '(X, y) = 1⁄2(d(X, y) + d(y, X)).
Metametrics
V metametrické, jsou splněny všechny axiomy metriky, kromě toho, že vzdálenost mezi identickými body není nutně nulová. Jinými slovy, axiomy pro metametrické jsou:
- d(X, y) ≥ 0
- d(X, y) = 0 znamená X = y (ale ne naopak.)
- d(X, y) = d(y, X)
- d(X, z) ≤ d(X, y) + d(y, z).
Metametrics se objeví ve studiu Gromovovy hyperbolické metrické prostory a jejich hranice. The vizuální metametrická na takovém prostoru vyhovuje d(X, X) = 0 pro body X na hranici, ale jinak d(X, X) je přibližně vzdálenost od X na hranici. Metametrics byly poprvé definovány Jussi Väisälä.[7]
Semimetrics
A semimetrický na X je funkce d : X × X → R který splňuje první tři axiomy, ale ne nutně nerovnost trojúhelníku:
- d(X, y) ≥ 0
- d(X, y) = 0 pouze a jen tehdy X = y
- d(X, y) = d(y, X)
Někteří autoři pracují se slabší formou nerovnosti trojúhelníku, například:
- d(X, z) ≤ ρ (d(X, y) + d(y, z)) (nerovnost trojúhelníku ρ-uvolněná)
- d(X, z) ≤ ρ max (d(X, y), d(y, z)) (ρ-inframetrická nerovnost).
Ρ-inframetrická nerovnost implikuje ρ-uvolněnou trojúhelníkovou nerovnost (za předpokladu prvního axiomu), a ρ-uvolněná trojúhelníková nerovnost znamená 2ρ-inframetrickou nerovnost. Semimetrics splňující tyto rovnocenné podmínky byly někdy označovány jako "quasimetrics",[8] "nearmetrics"[9] nebo inframetrics.[10]
Do modelu byly zavedeny ρ-inframetrické nerovnosti doby zpáteční zpoždění v Internet.[10] Nerovnost trojúhelníku implikuje 2-inframetrickou nerovnost a ultrametrická nerovnost je přesně 1-inframetrická nerovnost.
Premetrics
Uvolnění posledních tří axiomů vede k představě a premetrický, tj. funkce splňující následující podmínky:
- d(X, y) ≥ 0
- d(X, X) = 0
- d(X, y) = d(y, X)
Nejedná se o standardní termín. Někdy se používá k označení jiných zobecnění metrik, jako je pseudosemimetrie[11] nebo pseudometrie;[12] v překladech ruských knih se někdy jeví jako „prametrický“.[13] Říká se tomu také vzdálenost.[14]
Jakákoli premetrická vede k topologii následovně. Pro pozitivní skutečný r, r-ball soustředěný do bodu str je definován jako
- Br(str) = { X | d(X, str)
Sada se nazývá otevřeno pokud pro jakýkoli bod str v sadě je r-ball se středem na str který je obsažen v sadě. Každý premetrický prostor je topologický prostor a ve skutečnosti a sekvenční prostor Obecně platí, že r- samotné koule nemusí být s ohledem na tuto topologii otevřené sady. Pokud jde o metriky, vzdálenost mezi dvěma sadami A a B, je definován jako
- d(A, B) = infX∊A, y∊B d(X, y).
To definuje premetric na napájecí sada premetrického prostoru. Pokud začneme s (pseudosemi-) metrickým prostorem, dostaneme pseudosemimetrický, tj. Symetrický premetrický. operátor předběžného uzavření tř jak následuje:
- tř(A) = { X | d(X, A) = 0 }.
Pseudoquasimetrics
Předpony pseudo-, kvazi- a polo- lze také kombinovat, např pseudoquasimetric (někdy nazývané hemimetrický) uvolňuje jak axiom nerozeznatelnosti, tak i axiom symetrie a je jednoduše premetrický, který uspokojuje nerovnost trojúhelníku. U pseudokazimetrických prostorů otevřené r- koule tvoří základ otevřených sad. Velmi základním příkladem pseudokvasimetrického prostoru je množina {0,1} s premetrickou hodnotou danou d(0,1) = 1 a d(1,0) = 0. Přidružený topologický prostor je Sierpiński prostor.
Sady vybavené rozšířeným pseudoquasimetric byly studovány William Lawvere jako „zobecněné metrické prostory“.[15][16] Od a kategorický Z hlediska metrických prostorů se nejlépe chovají rozšířené pseudometrické prostory a rozšířené pseudokvasimetrické prostory spolu s jejich odpovídajícími nepřesnými mapami. Lze vzít libovolné produkty a koprodukty a vytvářet kvocientové objekty v rámci dané kategorie. Pokud kapky „vysunete“, můžete si vzít pouze konečné produkty a koprodukty. Pokud někdo upustí „pseudo“, nemůže si vzít kvocienty. Přibližte se k prostorům jsou zobecněním metrických prostorů, které udržuje tyto dobré kategorické vlastnosti.
Důležité případy zobecněné metriky
v diferenciální geometrie, jeden zvažuje a metrický tenzor, o kterém lze uvažovat jako o „nekonečně malé“ kvadratické metrické funkci. To je definováno jako nedegenerovat symetrický bilineární forma na tečný prostor a potrubí s příslušným rozlišitelnost požadavek. Nejedná se o metrické funkce definované v tomto článku, ale indukují to, čemu se říká pseudo-semimetrická funkce integrace druhé odmocniny po cestě skrz potrubí. Pokud někdo uloží požadavek kladné jednoznačnosti vnitřní produkt na metrickém tenzoru se to omezuje na případ a Riemannovo potrubí a integrace cesty poskytuje metriku.
v obecná relativita související koncept je a metrický tenzor (obecná relativita) který vyjadřuje strukturu a pseudo-Riemannovo potrubí. Ačkoli se používá termín „metrický“, základní myšlenka je jiná, protože existují nenulové nulové vektory v tangenciálním prostoru těchto variet a vektory mohou mít negativní čtvercové normy. Tento zobecněný pohled na „metriky“, ve kterém se používá nulová vzdálenost ne naznačují identitu, vkradl se také do nějakého matematického psaní:[17][18]
Viz také
Poznámky
- ^ Čech, Eduard (1969). Sady bodů. New York: Academic Press. str. 42.
- ^ A b Vitanyi, Paul M. B. (2011). "Informační vzdálenost v násobcích". Transakce IEEE na teorii informací. 57 (4): 2451–2456. arXiv:0905.3347. doi:10.1109 / TIT.2011.2110130. S2CID 6302496.
- ^ Cohen, Andrew R .; Vitanyi, Paul M. B. (2012). "Normalizovaná kompresní vzdálenost multisetů s aplikacemi". Transakce IEEE na analýze vzorů a strojové inteligenci. 37 (8): 1602–1614. arXiv:1212.5711. doi:10.1109 / TPAMI.2014.2375175. PMC 4566858. PMID 26352998.
- ^ Např. Steen & Seebach (1995).
- ^ Smyth, M. (1987). M.Hlavní; A. Melton; M.Mislove; D. Schmidt (eds.). Kvazi uniformity: sladění domén s metrickými prostory. 3. konference o matematických základech sémantiky programovacího jazyka. Springer-Verlag, Přednášky z informatiky 298. s. 236–253. doi:10.1007/3-540-19020-1_12.
- ^ Rolewicz, Stefan (1987), Teorie funkční analýzy a řízení: Lineární systémy, Springer, ISBN 90-277-2186-6, OCLC 13064804 Tato kniha jim říká „semimetrie“. Stejný termín se také často používá pro dvě další zobecnění metrik.
- ^ Väisälä, Jussi (2005), „Hyperbolické prostory Gromov“ (PDF), Expositiones Mathematicae, 23 (3): 187–231, doi:10.1016 / j.exmath.2005.01.010, PAN 2164775
- ^ Xia, Q. (2009), „The Geodesic Problem in Quasimetric Spaces“, Journal of Geometric Analysis, 19 (2): 452–479, arXiv:0807.3377, doi:10.1007 / s12220-008-9065-4, S2CID 17475581
- ^ Qinglan Xia (2008), „Geodetický problém v nearmetrických prostorech“, Journal of Geometric Analysis, 19 (2): 452–479, arXiv:0807.3377, Bibcode:2008arXiv0807.3377X.
- ^ A b * Fraigniaud, P .; Lebhar, E .; Viennot, L. (2008). "Inframetrický model pro internet". 2008 IEEE INFOCOM - 27. konference o počítačové komunikaci. IEEE INFOCOM 2008. 27. konference o počítačové komunikaci. str. 1085–1093. CiteSeerX 10.1.1.113.6748. doi:10.1109 / INFOCOM.2008.163. ISBN 978-1-4244-2026-1. S2CID 5733968..
- ^ Buldygin, V.V .; Kozachenko, I.U.V. (2000), Metrická charakterizace náhodných proměnných a náhodných procesů, ISBN 9780821897911.
- ^ Khelemskiĭ (2006), Přednášky a cvičení z funkční analýzy.
- ^ Arkhangel'skii & Pontryagin (1990). Aldrovandi, R .; Pereira, J.G. (1995), Úvod do geometrické fyziky.
- ^ Deza, M. M.; Laurent, M. (1997), Geometrie řezů a metrik.
- ^ Lawvere, F.W. (2002) [1973], Metrické prostory, zobecněná logika a uzavřené kategorie (PDF), Dotisky v teorii a aplikacích kategorií, 1, s. 1–37.
- ^ Vickers, Steven (2005), "Lokální dokončení obecných metrických prostorů I", Teorie a aplikace kategorií, 14: 328–356
- ^ S. Parrott (1987) Relativistická elektrodynamika a diferenciální geometrie, strana 4, Springer-Verlag ISBN 0-387-96435-5 : "Tato bilineární forma se různě nazývá Lorentzova metrikanebo Minkowského metrika nebo metrický tenzor."
- ^ Thomas E. Cecil (1992) Geometrie Lie Sphere, strana 9, Springer-Verlag ISBN 0-387-97747-3 : „Tento skalární produkt nazýváme Lorentzova metrika"
Reference
- Arkhangel'skii, A. V .; Pontryagin, L. S. (1990), Obecná topologie I: Základní koncepty a konstrukce teorie dimenzíEncyklopedie matematických věd, Springer, ISBN 3-540-18178-4
- Steen, Lynn Arthur; Seebach, J. Arthur Jr. (1995) [1978], Protiklady v topologii, Doveru, ISBN 978-0-486-68735-3, PAN 0507446, OCLC 32311847