Picard – Lindelöfova věta - Picard–Lindelöf theorem
Diferenciální rovnice | |||||
---|---|---|---|---|---|
![]() Navier – Stokesovy diferenciální rovnice slouží k simulaci proudění vzduchu kolem překážky. | |||||
Klasifikace | |||||
Typy
| |||||
Řešení | |||||
Obecná témata | |||||
Metody řešení | |||||
v matematika - konkrétně v diferenciální rovnice - Picard – Lindelöfova věta, Picardova věta o existenci, Cauchy – Lipschitzova větanebo existence a jedinečnost teorém poskytuje soubor podmínek, za kterých problém počáteční hodnoty má jedinečné řešení.
Věta je pojmenována po Émile Picard, Ernst Lindelöf, Rudolf Lipschitz a Augustin-Louis Cauchy.
Zvažte problém počáteční hodnoty
Předpokládat F je jednotně Lipschitz kontinuální v y (což znamená, že Lipschitzovu konstantu lze vzít nezávisle na t) a kontinuální v t, pak pro určitou hodnotu ε > 0, existuje jedinečné řešení y(t) k problému počáteční hodnoty v intervalu .[1]
Důkazní skica
Důkaz se opírá o transformaci diferenciální rovnice a aplikaci teorie pevných bodů. Integrováním obou stran musí jakákoli funkce splňující diferenciální rovnici vyhovovat také integrální rovnici
Jednoduchý důkaz existence řešení se získá postupnými aproximacemi. V této souvislosti je metoda známá jako Picardova iterace.
Soubor
a
To pak může být zobrazeno pomocí Banachova věta o pevném bodě, že sekvence "Picard iteruje" φk je konvergentní a to omezit je řešením problému. Aplikace Grönwallovo lemma na |φ(t) − ψ(t)|, kde φ a ψ jsou dvě řešení, ukazuje to φ(t) = ψ(t), což dokazuje globální jedinečnost (místní jedinečnost je důsledkem jedinečnosti pevného bodu Banacha).
Picardova metoda je nejčastěji uváděna bez důkazů nebo grafů. Vidět Newtonova metoda postupné aproximace pro výuku.
Příklad iterace Picard
Nechat řešení rovnice s počátečním stavem Začínání s iterujeme
aby :
a tak dále. Funkce evidentně počítají s rozšířením Taylorovy řady našeho známého řešení Od té doby má póly v to konverguje k lokálnímu řešení pouze pro ne na všech R.
Příklad nejedinečnosti
Abyste pochopili jedinečnost řešení, zvažte následující příklady.[2] Diferenciální rovnice může mít stacionární bod. Například pro rovnici dy/dt = ano (), stacionární řešení je y(t) = 0, který je získán pro počáteční stav y(0) = 0. Počínaje jinou počáteční podmínkou y(0) = y0 ≠ 0, řešení y(t) má sklon ke stacionárnímu bodu, ale dosahuje ho pouze na hranici nekonečného času, takže je zaručena jedinečnost řešení (ve všech konečných časech).
Pro rovnici, ve které je stacionární řešení dosaženo po a konečný čas, jedinečnost selže. To se děje například pro rovnici dy/dt = ano 2/3, který má alespoň dvě řešení odpovídající počáteční podmínce y(0) = 0 jako: y(t) = 0 nebo
takže předchozí stav systému není jednoznačně určen jeho stavem po t = 0. Věta o jedinečnosti neplatí, protože funkce F (y) = y 2/3 má nekonečný sklon v y = 0 a proto není Lipschitzův spojitý, což porušuje hypotézu věty.
Podrobný důkaz
Nechat
kde:
Toto je kompaktní válec, kde F je definováno. Nechat
to je maximální sklon funkce v modulu. Nakonec nechte L být Lipschitzovou konstantou F vzhledem k druhé proměnné.
Budeme pokračovat v podávání žádosti Banachova věta o pevném bodě pomocí metriky na vyvolané jednotnou normou
Definujeme operátor mezi dvěma funkčními prostory spojitých funkcí, Picardův operátor, takto:
definován:
Musíme ukázat, že tento operátor mapuje kompletní neprázdný metrický prostor X do sebe a také je mapování kontrakcí.
Nejprve to ukážeme, vzhledem k určitým omezením na bere do sebe v prostoru spojitých funkcí s jednotnou normou. Tady, je uzavřená koule v prostoru spojitých (a ohraničených) funkcí "vycentrovaných" na konstantní funkci . Proto to musíme ukázat
naznačuje
kde je nějaké číslo v kde je dosaženo maxima. Poslední krok je pravdivý, pokud uložíme požadavek A < b/M.
Nyní se pokusme dokázat, že tento operátor je kontrakce.
Vzhledem k tomu, dvě funkce , za účelem použití Banachova věta o pevném bodě chceme
pro některé q <1. Takže nechte t být takový, že
poté pomocí definice Γ
Toto je kontrakce, pokud
Zjistili jsme, že Picardův operátor je kontrakce na Banachových prostorech s metrikou vyvolanou jednotnou normou. To nám umožňuje použít Banachovu větu o pevném bodě k závěru, že operátor má jedinečný pevný bod. Zejména existuje jedinečná funkce
takhle Γφ = φ. Tato funkce je jedinečným řešením problému počáteční hodnoty, platným pro daný interval JáA kde A splňuje podmínku
Optimalizace intervalu řešení
Přesto existuje důsledek Banachovy věty o pevném bodě: jestliže operátor Tn je pro některé kontrakce n v N, pak T má jedinečný pevný bod. Před použitím této věty na Picardův operátor si zapamatujte následující:
Lemma:
Důkaz. Indukce zapnuta m. Pro základnu indukce (m = 1) už jsme to viděli, takže předpokládejme, že nerovnost platí m − 1, pak máme:
Tato nerovnost to zajišťuje pro některé velké m,
a tedy Γm bude kontrakce. Takže předchozí důsledek Γ bude mít jedinečný pevný bod. Nakonec jsme byli schopni optimalizovat interval řešení pomocí α = min {A, b/M}.
Tento výsledek nakonec ukazuje, že interval definice řešení nezávisí na Lipschitzově konstantě pole, ale pouze na intervalu definice pole a jeho maximální absolutní hodnotě.
Věty o jiné existenci
Picard – Lindelöfova věta ukazuje, že řešení existuje a že je jedinečné. The Věta o Peanově existenci ukazuje pouze existenci, ne jedinečnost, ale předpokládá pouze to F je nepřetržitý v y, namísto Lipschitz kontinuální. Například pravá strana rovnice dy/dt = y 1/3 s počátečním stavem y(0) = 0 je spojitý, ale ne Lipschitzův spojitý. Namísto toho, aby byla jedinečná, má tato rovnice tři řešení:[3]
- .
Ještě obecnější je Carathéodoryho věta o existenci, což dokazuje existenci (v obecnějším smyslu) za slabších podmínek dne F . I když jsou tyto podmínky pouze dostatečné, existují také nezbytné a dostatečné podmínky pro to, aby řešení problému počáteční hodnoty bylo jedinečné, například Okamura věta.[4]
Viz také
- Frobeniova věta (diferenciální topologie)
- Podmínky integrovatelnosti pro diferenciální systémy
- Newtonova metoda
- Eulerova metoda
- Trapézové pravidlo
Poznámky
- ^ Coddington a Levinson (1955) Věta I.3.1
- ^ Arnold, V. I. (1978). Obyčejné diferenciální rovnice. MIT Press. ISBN 0-262-51018-9.
- ^ Coddington a Levinson (1955), str. 7
- ^ Agarwal, Ravi P .; Lakshmikantham, V. (1993). Kritéria jedinečnosti a neurčitosti pro běžné diferenciální rovnice. World Scientific. str. 159. ISBN 981-02-1357-3.
Reference
- Coddington, hrabě A.; Levinson, Norman (1955). Teorie obyčejných diferenciálních rovnic. New York: McGraw-Hill..
- Lindelöf, E. (1894). „Sur l'application de la méthode des aproximations successives aux équations différentielles ordinaires du premier ordre“. Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences. 116: 454–457. (V tomto článku Lindelöf popisuje generalizaci dřívějšího přístupu Picarda.)
- Teschl, Gerald (2012). „2.2. Výsledek základní existence a jedinečnosti“ (PDF). Obyčejné diferenciální rovnice a dynamické systémy. Postgraduální studium matematiky. Providence, Rhode Island: Americká matematická společnost. str. 38. eISSN 2376-9203. ISBN 978-0-8218-8328-0. ISSN 1065-7339. Zbl 1263.34002.