Sada Gδ - Gδ set
V matematické oblasti topologie, a Gδ soubor je podmnožina a topologický prostor to je počitatelný průsečík z otevřené sady. Zápis pochází z Němec s G pro Gebiet (Němec: oblast nebo sousedství), což znamená v tomto případě otevřenou množinu a δ pro Durchschnitt (Němec: křižovatka). Termín vnitřní omezující sada je také používán. Gδ množiny a jejich duální Fσ sady, jsou druhou úrovní Borelova hierarchie.
Definice
V topologickém prostoru a Gδ soubor je počitatelný průsečík z otevřené sady. Gδ sady jsou přesně na úrovni Π0
2 sady Borelova hierarchie.
Příklady
- Jakákoli otevřená sada je triviálně Gδ soubor.
- The iracionální čísla jsou G.δ v reálných číslech R. Mohou být zapsány jako spočetný průnik otevřených množin {q}C kde q je Racionální.
- Sada racionálních čísel Q je ne a G.δ stanovené v R. Li Q byly křižovatkou otevřených množin An, každý An bylo by hustý v R protože Q je hustá v R. Konstrukce nahoře však dala iracionální čísla jako spočítatelný průnik otevřených hustých podmnožin. Průnik obou těchto sad dává prázdná sada jako spočetná křižovatka otevřených hustých sad R, porušení zákona Věta o kategorii Baire.
- The sada kontinuity jakékoli funkce se skutečnou hodnotou je Gδ podmnožina jeho domény (viz část vlastnosti pro obecnější a úplnější prohlášení).
- Nulová množina a derivát všude diferencovatelné funkce se skutečnou hodnotou R je G.δ soubor; může to být hustá sada s prázdným interiérem, jak ukazuje Pompeiuova konstrukce.
Propracovanější příklad Gδ množina je dána následující větou:
Teorém: Sada obsahuje hustou Gδ podmnožina metrického prostoru . (Vidět Weierstrassova funkce § Hustota nikde nediferencovatelných funkcí.)
Vlastnosti
Pojem G.δ zapadá metrický (a topologické ) mezery souvisí s pojmem úplnost metrického prostoru i do Věta o kategorii Baire. Výsledek o zcela metrizovatelných prostorech najdete v seznamu vlastností níže.
sady a jejich doplňky jsou také důležité v skutečná analýza, zvláště teorie míry.
Základní vlastnosti
- The doplněk z G.δ sada je Fσ nastavena a naopak.
- Průsečík spočetně mnoha Gδ sady je Gδ soubor.
- Spojení konečně mnoho G.δ sady je Gδ soubor.
- Počítatelné spojení G.δ množiny (které by se nazývaly Gδσ set) není Gδ nastaveno obecně. Například racionální čísla Q netvoří Gδ stanovené v R.
- V topologickém prostoru nulová sada každé skutečné hodnotné spojité funkce je G.δ nastavit, protože je průsečík otevřených množin , .
- V měřitelný vesmír, každý uzavřená sada je G.δ množina a duálně je každá otevřená množina Fσ soubor.[1] Ve skutečnosti uzavřená sada je nulová množina spojité funkce , kde označuje vzdálenost od bodu k množině. Totéž platí pseudometrizovatelný mezery.
- V nejprve spočítatelné T1 prostor, každý jedináček je G.δ soubor.[2]
- A podprostor A a zcela měřitelný prostor X je sám o sobě zcela měřitelný, právě když A je G.δ stanovené v X.[3][4]
Následující výsledky berou v úvahu Polské prostory:[5]
- Nechat být polským prostorem. Pak podmnožina s topologie podprostoru je polský právě tehdy, pokud se jedná o Gδ stanovené v .
- Topologický prostor je polský, pokud a jen pokud je homeomorfní na G.δ podmnožina a kompaktní metrický prostor.
Sada kontinuity funkcí se skutečnou hodnotou
Vlastnost množiny je to, že jsou to možné množiny, ve kterých je funkce z topologického prostoru do metrického prostoru kontinuální. Formálně: Sada bodů, kde taková funkce je spojitý je a soubor. Důvodem je kontinuita v určitém bodě lze definovat a vzorec, jmenovitě: Pro všechna kladná celá čísla , existuje otevřená sada obsahující takhle pro všechny v . Pokud je hodnota je pevná, sada pro které existuje takový odpovídající otevřený je sama o sobě otevřenou množinou (je unií otevřených množin) a univerzální kvantifikátor na odpovídá (spočetnému) průniku těchto množin. Ve skutečné linii platí i konverzace; pro všechny Gδ podmnožina A reálné čáry je funkce F: R → R to je spojité přesně v bodech v A. V důsledku toho je možné, že iracionály jsou množinou bodů spojitosti funkce (viz funkce popcorn ), je nemožné sestrojit funkci spojitou pouze na racionálních číslech.
Gδ prostor
A Gδ prostor[6] je topologický prostor, ve kterém každý uzavřená sada je G.δ sada (Johnson 1970 ). A normální prostor to je také Gδ prostor se nazývá naprosto normální. Například každý měřitelný prostor je naprosto normální.
Viz také
- Fσ soubor, dvojí pojem; Všimněte si, že „G“ je němčina (Gebiet ) a „F“ je francouzština (fermé ).
- P-prostor, jakýkoli prostor s vlastností, že každý Gδ sada je otevřená
Poznámky
- ^ Willard, 15C, str. 105
- ^ https://math.stackexchange.com/questions/1882733
- ^ Willard, věta 24.12, s. 179
- ^ Engelking, věty 4.3.23 a 4.3.24 na str. 274. Z historických poznámek na str. 276, přímá implikace byla uvedena ve zvláštním případě S. Mazurkiewicze a v obecném případě M. Lavrentieff; obrácenou implikaci ukázal ve zvláštním případě P. Alexandroff a v obecném případě F. Hausdorff.
- ^ Fremlin, str. 334
- ^ Steen & Seebach, str. 162
Reference
- Engelking, Ryszard (1989). Obecná topologie. Heldermann Verlag, Berlín. ISBN 3-88538-006-4.
- Kelley, John L. (1955). Obecná topologie. van Nostrand. str.134.
- Steen, Lynn Arthur; Seebach, J. Arthur Jr. (1995) [1978]. Protiklady v topologii (Doveru dotisk z roku 1978 vyd.). Berlín, New York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-486-68735-3. PAN 0507446.
- Fremlin, D.H. (2003) [2003]. "4, Obecná topologie". Teorie měření, svazek 4. Petersburg, England: Digital Books Logostics. ISBN 0-9538129-4-4. Archivovány od originál dne 1. listopadu 2010. Citováno 1. dubna 2011.
- Willard, Stephen (2004) [1970], Obecná topologie (Doveru dotisk vydání z roku 1970), Addison-Wesley
- Johnson, Roy A. (1970). „Kompaktní neměřitelný prostor takový, že každá uzavřená podmnožina je G-Delta“. Americký matematický měsíčník. 77 (2): 172–176. doi:10.2307/2317335. JSTOR 2317335.