Lindelöfův prostor - Lindelöf space

v matematika, a Lindelöfův prostor^[1][2] je topologický prostor ve kterém každý otevřete kryt má počitatelný dílčí úkryt. Vlastnost Lindelöf je oslabením běžněji používaného pojmu kompaktnost, což vyžaduje existenci a konečný dílčí úkryt.

A dědičně Lindelöfův prostor^[3] je topologický prostor takový, že každý jeho podprostor je Lindelöf. Takový prostor se někdy nazývá silně Lindelöf, ale matoucí je, že terminologie se někdy používá se zcela odlišným významem.^[4]Termín dědičně Lindelöf je častější a jednoznačnější.

Lindelöfovy prostory jsou pojmenovány podle Finština matematik Ernst Leonard Lindelöf.

Vlastnosti Lindelöfových prostorů

• Každý kompaktní prostor a obecněji každý σ-kompaktní prostor, je Lindelöf. Každý spočítatelný prostor je zejména Lindelöf.
• Lindelöfův prostor je kompaktní právě tehdy, když je počítatelně kompaktní.
• Každý druhý spočetný prostor je Lindelöf,^[5] ale ne naopak. Například existuje mnoho kompaktních prostorů, které nejsou druhé spočetné.
• A metrický prostor je Lindelöf právě tehdy, když je oddělitelný, a pokud a pouze pokud ano druhý spočetný.^[6]
• Každý pravidelný Lindelöfův prostor je normální.^[7]
• Každý pravidelný Lindelöfův prostor je paracompact.^[8]
• Počitatelným spojením Lindelöfových podprostorů topologického prostoru je Lindelöf.
• Každý uzavřený podprostor prostoru Lindelöf je Lindelöf.^[9] V důsledku toho každý F_σ soubor v prostoru Lindelöf je Lindelöf.
• Libovolné podprostory Lindelöfova prostoru nemusí být Lindelöf.^[10]
• Kontinuální obraz Lindelöfova prostoru je Lindelöf.^[11]
• Produktem prostoru Lindelöf a kompaktního prostoru je Lindelöf.^[12]
• Produkt prostoru Lindelöf a σ-kompaktní prostor je Lindelöf. Toto je důsledek předchozí vlastnosti.
• Produktem dvou prostorů Lindelöf nemusí být Lindelöf. Například Sorgenfreyova linie ${ displaystyle S}$ je Lindelöf, ale Sorgenfreyovo letadlo ${ displaystyle S krát S}$ není Lindelöf.^[13]
• V prostoru Lindelöf každý místně konečné rodina neprázdných podmnožin je nanejvýš spočítatelná.

Vlastnosti dědičných Lindelöfových prostorů

• Prostor je dědičně Lindelöf tehdy a jen tehdy, je-li každý jeho otevřený podprostor Lindelöf.^[14]
• Dědičně jsou Lindelöfovy prostory uzavřeny při pořizování spočítatelných unií, podprostorů a souvislých obrazů.
• Pravidelný Lindelöfův prostor je dědičně Lindelöf tehdy a jen tehdy, je-li naprosto normální.^[15][16]
• Každý druhý spočetný prostor je dědičně Lindelöf.
• Každý spočítatelný prostor je dědičně Lindelöf.
• Každý Suslinův prostor je dědičně Lindelöf.
• Každý Radonová míra na dědičně je Lindelöfův prostor moderován.

Příklad: Sorgenfreyovo letadlo není Lindelöf

The produkt Lindelöfových prostorů nemusí být nutně Lindelöf. Obvyklým příkladem je Sorgenfreyovo letadlo ${ displaystyle mathbb {S}}$, který je produktem skutečná linie ${ displaystyle mathbb {R}}$ pod polootevřená intervalová topologie sám se sebou. Otevřené sady v rovině Sorgenfrey jsou svazky napůl otevřených obdélníků, které zahrnují jižní a západní okraj a vynechávají severní a východní okraj, včetně severozápadních, severovýchodních a jihovýchodních rohů. The antidiagonální z ${ displaystyle mathbb {S}}$ je množina bodů ${ displaystyle (x, y)}$ takhle ${ displaystyle x + y = 0}$.

Zvažte otevřená krytina z ${ displaystyle mathbb {S}}$ který se skládá z:

1. Sada všech obdélníků ${ displaystyle (- infty, x) krát (- infty, y)}$, kde ${ displaystyle (x, y)}$ je na antidiagonální.
2. Sada všech obdélníků ${ displaystyle [x, + infty) krát [y, + infty)}$, kde ${ displaystyle (x, y)}$ je na antidiagonální.

Zde je třeba si všimnout, že každý bod na antidiagonálu je obsažen přesně v jedné sadě krytiny, takže jsou všechny tyto sady potřeba.

Další způsob, jak to vidět ${ displaystyle S}$ není Lindelöf je třeba poznamenat, že antidiagonální definuje uzavřený a nespočet oddělený podprostor ${ displaystyle S}$. Tento podprostor není Lindelöf, a tak nemůže být ani Lindelöf celý prostor (protože uzavřené podprostory Lindelöfových prostorů jsou také Lindelöf).

Zobecnění

Následující definice zobecňuje definice compact a Lindelöf: topologický prostor je ${ displaystyle kappa}$-kompaktní (nebo ${ displaystyle kappa}$-Lindelöf), kde ${ displaystyle kappa}$ je jakýkoli kardinál, pokud je každý otevřený Pokrýt má dílčí podobu mohutnosti přísně méně než ${ displaystyle kappa}$. Pak je kompaktní ${ displaystyle aleph _ {0}}$-kompaktní a Lindelöf je tedy ${ displaystyle aleph _ {1}}$-kompaktní.

The Stupeň Lindelöfnebo Lindelöfovo číslo ${ displaystyle l (X)}$, je nejmenší kardinál ${ displaystyle kappa}$ tak, že každý otevřený kryt prostoru ${ displaystyle X}$ má maximální velikost dílčí kryptoměny ${ displaystyle kappa}$. V této notaci ${ displaystyle X}$ je Lindelöf pokud ${ displaystyle l (X) = aleph _ {0}}$. Lindelöfovo číslo, jak je definováno výše, nerozlišuje mezi kompaktními prostory a Lindelöfovými nekompaktními prostory. Někteří autoři dali jméno Lindelöfovo číslo k jiné představě: nejmenší kardinál ${ displaystyle kappa}$ tak, že každý otevřený kryt prostoru ${ displaystyle X}$ má dílčí velikost přesně menší než ${ displaystyle kappa}$.^[17] V tomto druhém (a méně používaném) smyslu je Lindelöfovo číslo nejmenším kardinálem ${ displaystyle kappa}$ takový, že topologický prostor ${ displaystyle X}$ je ${ displaystyle kappa}$-kompaktní. Tento pojem se někdy nazývá také stupeň kompaktnosti prostoru ${ displaystyle X}$.^[18]

Viz také

• Axiomy spočitatelnosti
• Lindelöfovo lema

Poznámky

Reference

• Engelking, Ryszard, Obecná topologie, Heldermann Verlag Berlin, 1989. ISBN  3-88538-006-4
• I. Juhász (1980). Kardinální funkce v topologii - o deset let později. Matematika. Center Tracts, Amsterdam. ISBN  90-6196-196-3.
• Munkres, James. Topologie, 2. vyd.
• Steen, Lynn Arthur; Seebach, J. Arthur Jr. (1995) [1978]. Protiklady v topologii (Doveru dotisk z roku 1978 vyd.). Berlín, New York: Springer-Verlag. ISBN  978-0-486-68735-3. PAN  0507446.
• Willard, Stephen. Obecná topologiePublikace Dover (2004) ISBN  0-486-43479-6