Quantale - Quantale

v matematika, kvantové jsou si jistí částečně objednané algebraické struktury které zobecňují národní prostředí (bodové topologie zdarma ), stejně jako různé multiplikativní mříže z ideály z teorie prstenů a funkční analýzy (C * -algebry, von Neumannovy algebry ). Quantales jsou někdy označovány jako kompletní zbytkové poloskupiny.

Přehled

A kvantale je úplná mříž Q s asociativní binární operace ∗ : Q × Q → Q, volal jeho násobení, uspokojující takovou distribuční vlastnost

${ displaystyle x * left ( bigvee _ {i in I} {y_ {i}} right) = bigvee _ {i in I} (x * y_ {i})}$

a

${ displaystyle left ( bigvee _ {i in I} {y_ {i}} right) * {x} = bigvee _ {i in I} (y_ {i} * x)}$

pro všechny X, y_i v Q, i v Já (tady Já je jakýkoli sada indexů ). Kvantita je unital pokud má prvek identity E pro jeho množení:

${ displaystyle x * e = x = e * x}$

pro všechny X v Q. V tomto případě je kvanta přirozeně a monoidní s ohledem na jeho množení ∗.

Unital quantale může být definován ekvivalentně jako a monoidní v kategorii Sup úplných spojovacích semi-mřížek.

Unital quantale je idempotent semiring pod spojením a násobením.

Unital quantale, ve kterém je identita horní prvek spodní mřížky se říká, že je přísně oboustranný (nebo jednoduše integrální).

A komutativní kvanta je kvantale, jejíž násobení je komutativní. A rám, s jeho násobením daným setkat operace je typickým příkladem přísně oboustranného komutativního kvantalu. Další jednoduchý příklad poskytuje jednotkový interval společně s jeho obvyklým násobení.

An idempotentní kvanta je kvantale, jejíž násobení je idempotentní. A rám je totéž jako idempotentní přísně dvoustranný kvantant.

An involutivní kvanta je kvanta s involucí

${ displaystyle (xy) ^ { circ} = y ^ { circ} x ^ { circ}}$

který zachovává spojení:

${ displaystyle { biggl (} bigvee _ {i in I} {x_ {i}} { biggr)} ^ { circ} = bigvee _ {i in I} (x_ {i} ^ { circ}).}$

A kvantale homomorfismus je mapa F : Q₁ → Q₂ který zachovává spojení a násobení pro všechny X, y, X_i v Q₁, a i v Já:

${ displaystyle f (xy) = f (x) f (y),}$

${ displaystyle f left ( bigvee _ {i in I} {x_ {i}} right) = bigvee _ {i in I} f (x_ {i}).}$

Viz také

• Vztahová algebra

Reference

• C. J. Mulvey (2001) [1994], „Quantale“, Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS [1]
• J. Paseka, J. Rosický, Quantales, in: B. Coecke, D. Moore, A. Wilce, (Eds.), Aktuální výzkum v operativní kvantové logice: Algebry, kategorie a jazyky, Fond. Theories Phys., Sv. 111, Kluwer Academic Publishers, 2000, s. 245–262.
• M. Piazza, M. Castellan, Kvantály a strukturální pravidla. Journal of Logic and Computation, 6 (1996), 709–724.
• K. Rosenthal, Quantales a jejich aplikace, Pitman Research Notes in Mathematics Series 234, Longman Scientific & Technical, 1990.