Nejprve spočítatelné místo - First-countable space

v topologie, pobočka matematika, a první spočetný prostor je topologický prostor uspokojení „prvního axiom spočitatelnosti ". Konkrétně mezera X se říká, že je nejprve spočítatelný, pokud má každý bod a počitatelný sousedství základ (místní základna). To znamená pro každý bod X v X existuje a sekvence N1, N2,… Ze dne sousedství z X takové, že pro jakékoli sousedství N z X existuje celé číslo i s Ni obsaženo v NProtože každé sousedství kteréhokoli bodu obsahuje otevřené sousedství tohoto bodu, sousedství základ lze zvolit bez ztráty obecnosti skládat se z otevřených čtvrtí.

Příklady a protiklady

Většina „každodenních“ prostorů v matematika jsou nejdříve spočítatelné. Zejména každý metrický prostor je nejdříve spočítatelné. Chcete-li to vidět, nezapomeňte, že sada otevřené koule se středem na X s poloměrem 1 /n pro celá čísla n > 0 tvoří spočetnou místní základnu v X.

Příkladem prostoru, který není nejdříve spočítatelný, je cofinite topologie na nespočetné množině (např skutečná linie ).

Dalším protikladem je ordinální prostor ω1+1 = [0, ω1] kde ω1 je první nespočetné pořadové číslo číslo. Prvek ω1 je mezní bod podmnožiny [0, ω1), i když v [0, ω není žádná sekvence prvků1) má prvek ω1 jako jeho limit. Zejména bod ω1 v prostoru ω1+1 = [0, ω1] nemá započítatelnou místní základnu. Protože ω1 je jediný takový bod, nicméně, podprostor ω1 = [0, ω1) je nejprve spočítatelný.

The kvocientový prostor kde jsou přirozená čísla na reálné linii identifikována jako jeden bod, nelze nejprve spočítat.[1] Tento prostor má však vlastnost, že pro jakoukoli podmnožinu A a každý prvek x v závěru A existuje sekvence v A konvergující k x. Prostor s touto vlastností sekvence se někdy nazývá a Fréchet-Urysohn prostor.

První spočitatelnost je přísně slabší než druhá spočitatelnost. Každý druhý spočetný prostor je nejprve spočítatelný, ale jakýkoli nepočítatelný diskrétní prostor je spočítatelný jako první, ale ne jako druhý.

Vlastnosti

Jednou z nejdůležitějších vlastností prvních spočítatelných prostorů je daná podmnožina A, bod X leží v uzavření z A jen tehdy, pokud existuje a sekvence {Xn} v A který konverguje na X. (Jinými slovy, každý první spočítatelný prostor je a Fréchet-Urysohn prostor.) To má důsledky pro limity a kontinuita. Zejména pokud F je funkce na prvním spočítatelném prostoru F má limit L na místě X právě když pro každou sekvenci Xn → X, kde Xn ≠ X pro všechny n, my máme F(Xn) → L. Také pokud F je funkce na prvním spočítatelném prostoru F je spojitý právě tehdy, kdykoli Xn → X, pak F(Xn) → F(X).

V prvních spočítatelných prostorech sekvenční kompaktnost a spočítatelná kompaktnost jsou ekvivalentní vlastnosti. Existují však příklady postupně kompaktních, nejprve spočítatelných prostorů, které nejsou kompaktní (jedná se nutně o nemetrické prostory). Jedním z takových prostor je ordinální prostor [0, ω1). Každý první spočítatelný prostor je kompaktně generované.

Každý podprostor prvního spočetného prostoru je nejdříve spočítatelné. Jakékoli spočítatelné produkt prvního započítatelného prostoru je nejprve spočítatelné, i když nepočítatelné produkty nemusí být.

Viz také

Reference

  1. ^ (Engelking, 1989 a příklad 2.4.11 )
  • "první axiom spočitatelnosti", Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS, 2001 [1994]
  • Engelking, Ryszard (1989). Obecná topologie. Sigma Series in Pure Mathematics, sv. 6 (přepracované a dokončené vydání). Heldermann Verlag, Berlín. ISBN  3885380064.