Odčítání - Subtraction - Wikipedia

tento článek potřebuje další citace pro ověření. Prosím pomozte vylepšit tento článek podle přidávání citací ke spolehlivým zdrojům. Zdroj bez zdroje může být napaden a odstraněn. Najít zdroje: "Odčítání"  – zprávy  · noviny  · knihy  · učenec  · JSTOR (Květen 2018) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

"5 − 2 = 3 "(slovně," pět mínus dva se rovná tři ")

Štítek mimo obchod v Bordeaux reklamní odčítání 20% od ceny druhého zakoupeného parfému.

Odčítání je aritmetická operace který představuje operaci odebrání objektů ze sbírky. Výsledek odčítání se nazývá a rozdíl. Odečtení znamená znaménko minus, −. Například na vedlejším obrázku jsou 5 − 2 jablka - to znamená 5 jablek s 2 odebranými, což má za následek celkem 3 jablka. Proto rozdíl z 5 a 2 je 3, to znamená, 5 − 2 = 3. Zatímco primárně spojené s přirozenými čísly v aritmetický, odečítání může také představovat odstranění nebo snížení fyzických a abstraktních veličin pomocí různých druhů objektů včetně záporná čísla, zlomky, iracionální čísla, vektory, desetinná místa, funkce a matice.^[1][2]

Odečítání sleduje několik důležitých vzorců. to je antikomutativní, což znamená, že změna pořadí mění znaménko odpovědi. To také není asociativní, což znamená, že když jeden odečte více než dvě čísla, záleží na pořadí, ve kterém je odečítání provedeno. Protože 0 je aditivní identita, odčítání nezmění číslo. Odečítání se také řídí předvídatelnými pravidly týkajícími se souvisejících operací, jako je přidání a násobení. Všechna tato pravidla mohou být prokázáno, počínaje odečtením celá čísla a zobecnění prostřednictvím reálná čísla a za. Všeobecné binární operace které sledují tyto vzorce jsou studovány v abstraktní algebra.

Provádění odčítání přirozených čísel je jedním z nejjednodušších numerických úkolů. Odčítání velmi malého počtu je přístupné malým dětem. v základní vzdělání například se studenti učí odečítat čísla v desetinný systému, počínaje jednotlivými číslicemi a postupným řešením složitějších problémů.

V pokročilé algebře a v počítačová algebra, výraz zahrnující odčítání jako A − B se obecně považuje za zkratkovou notaci pro doplnění A + (−B). Tím pádem, A − B obsahuje dva pojmy, jmenovitě A a -B. To umožňuje snadnější použití asociativita a komutativita.

Zápis a terminologie

Odečtení čísel 0–10. Štítky řádků = minuend. Osa X = subtrahend. Osa Y = rozdíl.

Odečítání se obvykle zapisuje pomocí znaménko minus „-“ mezi podmínkami;^[3] to je v infixová notace. Výsledek je vyjádřen pomocí znaménko rovná se. Například,

${ displaystyle 2-1 = 1}$ (vyslovuje se jako „dva minus jeden se rovná jednomu“)

${ displaystyle 4-2 = 2}$ (vyslovuje se jako „čtyři minus dva se rovná dvěma“)

${ displaystyle 6-3 = 3}$ (vyslovuje se jako „šest minus tři se rovná tři“)

${ displaystyle 4-6 = -2}$ (vyslovuje se jako „čtyři minus šest se rovná záporné dvě“)

Existují také situace, kdy je odečtení „pochopeno“, přestože se neobjeví žádný symbol:

• Sloupec dvou čísel, s nižším červeným číslem, obvykle znamená, že spodní číslo ve sloupci má být odečteno, s rozdílem napsaným níže, pod řádkem. To je v účetnictví nejběžnější.

Formálně je odečítané číslo známé jako subhend,^[4][5] zatímco číslo, ze kterého je odečteno, je minuend.^[4][5] Výsledkem je rozdíl.^[4][5][2][6]

Všechna tato terminologie pochází z latinský. "Odčítání " je Angličtina slovo odvozené z latiny sloveso subtrahere, což je a sloučenina z sub „zespodu“ a tam "vytáhnout". Tedy odečíst znamená kreslit zdolanebo odnést.^[7] Za použití gerundivní přípona -nd má za následek "subtrahend", "věc, která má být odečtena".^[A] Stejně tak od minuere „zmenšit nebo zmenšit“ dostane člověk „minuend“, což znamená „věc se zmenší“.

Celých čísel a reálných čísel

Celá čísla

Představte si a úsečka z délka b s označeným levým koncem A a pravý konec označen C.Začínající od A, trvá to b kroky vpravo k dosažení C. Tento pohyb doprava je matematicky modelován pomocí přidání:

A + b = C.

Z C, trvá to b kroky k vlevo, odjet dostat se zpět A. Tento pohyb vlevo je modelován odečtením:

C − b = A.

Nyní úsečka označená čísly 1, 2, a 3. Z pozice 3 netrvá žádné kroky doleva, aby zůstal na 3, takže 3 − 0 = 3. Trvá 2 kroky doleva, než se dostanete do polohy 1, takže 3 − 2 = 1. Tento obrázek nestačí k popisu toho, co by se stalo po provedení 3 kroků nalevo od polohy 3. Aby představovala takovou operaci, musí být čára prodloužena.

Odečíst libovolně přirozená čísla, jeden začíná řádkem obsahujícím každé přirozené číslo (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...). Od 3 trvá 3 kroky doleva, než se dostanete na 0, takže 3 − 3 = 0. Ale 3 − 4 je stále neplatný, protože opět opouští řádek. Přirozená čísla nejsou užitečným kontextem pro odčítání.

Řešením je zvážit celé číslo číselná řada (..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...). Tímto způsobem trvá 4 kroky vlevo od 3, než se dostanete na -1:

3 − 4 = −1.

Přirozená čísla

Odečtení přirozená čísla není Zavřeno: rozdíl není přirozené číslo, pokud není minuend větší nebo roven subtrahendu. Například 26 nelze odečíst od 11, čímž získáme přirozené číslo. V takovém případě se používá jeden ze dvou přístupů:

1. Uzavřete, že 26 nelze odečíst od 11; odčítání se stává a částečná funkce.
2. Odpovězte jako celé číslo představující a záporné číslo, takže výsledek odečtení 26 od 11 je −15.

Skutečná čísla

Odečtení reálných čísel je definováno jako přidání čísel se znaménkem. Konkrétně se číslo odečte přidáním jeho aditivní inverzní, jako v případě 3 - π = 3 + (−π). To pomáhá udržet prsten reálných čísel „jednoduchých“ tím, že se vyhne zavedení „nových“ operátorů, jako je odčítání. Obvykle má prsten pouze dvě operace definované na něm; v případě celých čísel se jedná o sčítání a násobení. Prsten již má koncept aditivních inverzí, ale nemá žádnou představu o samostatné operaci odčítání, takže použití sčítání se znaménkem jako odčítání umožňuje aplikaci axiomů prstence na odčítání - aniž by bylo nutné něco dokazovat.

Vlastnosti

Anticommutativity

Odečtení je antikomutativní, což znamená, že pokud člověk převrátí výrazy v rozdílu zleva doprava, je výsledkem zápor původního výsledku. Symbolicky, pokud A a b jsou tedy libovolná dvě čísla

A − b = −(b − A).

Neasociativita

Odečtení je neasociativní, který se objeví, když se člověk pokusí definovat opakované odčítání. Obecně výraz

"A − b − C"

lze definovat tak, že znamená (A − b) − C nebo A − (b − C), ale tyto dvě možnosti vedou k odlišným odpovědím. Chcete-li tento problém vyřešit, musíte vytvořit pořadí operací, přičemž různé objednávky přinášejí odlišné výsledky.

Předchůdce

V kontextu celých čísel odečtení jeden také hraje zvláštní roli: pro jakékoli celé číslo A, celé číslo (A − 1) je největší celé číslo menší než A, známý také jako předchůdce A.

Jednotky měření

Při odečtení dvou čísel s měrnými jednotkami, jako je kilogramů nebo liber, musí mít stejnou jednotku. Ve většině případů bude mít rozdíl stejnou jednotku jako původní čísla.

Procenta

Změny v procenta lze nahlásit nejméně ve dvou formách, procentuální změna a procentní bod změna. Procentní změna představuje relativní změna mezi těmito dvěma množstvími v procentech, zatímco procentní bod změna je jednoduše číslo získané odečtením dvou procent.^[8][9][10]

Jako příklad předpokládejme, že 30% widgetů vyrobených v továrně je vadných. O šest měsíců později je vadných 20% widgetů. Procentuální změna je 20% − 30%/30% = −1/3 = −33+1/3%, zatímco změna procentního bodu je −10 procentních bodů.

Ve výpočetní technice

The metoda doplňků je technika používaná k odečtení jednoho čísla od druhého pouze s použitím kladných čísel. Tato metoda byla běžně používána v mechanické kalkulačky, a je stále používán v moderní počítače.

Odečíst binární číslo y (subtrahend) z jiného čísla X (minuend), doplněk těch y je přidán do X a jedna se přičte k součtu. Úvodní číslice „1“ výsledku je poté zahozena.

Metoda doplňků je obzvláště užitečná v binárních (radix 2), protože jejich doplňků lze velmi snadno získat převrácením každého bitu (změnou „0“ na „1“ a naopak). A přidání 1 k získání dvojkového doplňku lze provést simulací přenosu do nejméně významného bitu. Například:

  01100100 (x, rovná se desetinná čárka 100) - 00010110 (y, rovná se desetinná čárka 22)

stává se součtem:

  01100100 (x) + 11101001 (doplněk jednotek y) + 1 (pro získání doplňku dvou) —————————— 101001110

Zrušením počáteční hodnoty „1“ získáte odpověď: 01001110 (rovná se desetinná čárka 78)

Výuka odečítání ve školách

Metody používané k výuce odčítání základní škola liší se od země k zemi a v rámci země se v různé době používají různé metody. V čem je ve Spojených státech známo jako tradiční matematika, se konkrétní proces učí studenty na konci 1. ročníku (nebo během 2. ročníku) pro použití s ​​vícecifernými celými čísly a je rozšířen ve čtvrtém nebo pátém ročníku o desetinná vyjádření zlomkových čísel.

V Americe

Téměř všechny americké školy v současné době vyučují metodu odčítání pomocí výpůjčky nebo přeskupení (algoritmus rozkladu) a systému značení zvaného berle.^[11][12] Ačkoli metoda půjčování byla známa a publikována v učebnicích dříve, používání berlí v amerických školách se rozšířilo po William A. Brownell zveřejnil studii - prohlašoval, že berle jsou pro studenty používající tuto metodu prospěšné.^[13] Tento systém se rychle uchytil a vytlačil ostatní metody odčítání používané v té době v Americe.

V Evropě

Některé evropské školy používají metodu odčítání, která se nazývá rakouská metoda, známá také jako metoda sčítání. V této metodě není půjčování. Existují také berle (značení na podporu paměti), které se liší podle země.^[14][15]

Porovnání dvou hlavních metod

Obě tyto metody rozdělují odčítání jako proces odčítání jedné číslice podle hodnoty místa. Počínaje nejméně významnou číslicí, odečtením subtrahendu:

s_j s_j−1 ... s₁

z minuendy

m_k m_k−1 ... m₁,

kde každý s_i a m_i je číslice, probíhá zápisem m₁ − s₁, m₂ − s₂, a tak dále, pokud s_i nepřesahuje m_i. V opačném případě, m_i se zvýší o 10 a některé další číslice se upraví tak, aby toto zvýšení opravily. Americká metoda koriguje pokusem snížit číslici minuendy m_i+1 o jednu (nebo pokračovat ve výpůjčce doleva, dokud nebude nenulová číslice, ze které si půjčíte). Evropská metoda koriguje zvýšením číslice subtrahend s_i+1 jedním.

Příklad: 704 − 512.

${ displaystyle { begin {array} {rrrr} & color {Red} -1 & C & D & U & 7 & 0 & 4 & 5 & 1 & 2 hline & 1 & 9 & 2 end {pole}} { begin {pole} {l } { color {Red} longleftarrow { rm {carry}}} \ longleftarrow ; { rm {Minuend}} longleftarrow ; { rm {Subtrahend}} longleftarrow { rm {Odpočinek nebo ; Rozdíl}} konec {pole}}}$

Minulost je 704, podtržení je 512. Číslice minuendy jsou m₃ = 7, m₂ = 0 a m₁ = 4. Číslice podtržítka jsou s₃ = 5, s₂ = 1 a s₁ = 2. Počínaje u něčího místa, 4 není menší než 2, takže rozdíl 2 je zapsán na místo výsledku. Na místě deseti je 0 menší než 1, takže 0 se zvýší o 10 a rozdíl s 1, což je 9, se zapíše na místo deseti. Americká metoda koriguje nárůst o deset snížením číslice na stovkách minuendových stovek o jednu. To znamená, že 7 je přeškrtnuto a nahrazeno 6. Odčítání pak pokračuje na místě stovek, kde 6 není menší než 5, takže rozdíl je zapsán na místo sta výsledku. Nyní jsme hotovi, výsledek je 192.

Rakouská metoda nesnižuje 7 na 6. Spíše zvyšuje subtrahendovou stovku o jednu. Vedle nebo pod touto číslicí je vytvořena malá značka (v závislosti na škole). Potom odčítání pokračuje dotazem, jaké číslo se při zvýšení o 1 a přidá 5, což znamená 7. Odpověď je 1 a zapíše se na místo sta výsledku.

Existuje další jemnost v tom, že student vždy používá americkou metodu tabulky mentálního odčítání. Rakouská metoda často povzbuzuje studenta, aby mentálně použil sčítací tabulku obráceně. Ve výše uvedeném příkladu, místo přidání 1 až 5, získání 6 a odečtení od 7, je student požádán, aby zvážil, jaké číslo, když se zvýší o 1 a přidá se 5, bude 7.

Ruční odečtení

Rakouská metoda

Příklad:

• 

  1 + ... = 3

• 

  Rozdíl je zapsán pod řádek.

• 

  9 + ... = 5
  Požadovaný součet (5) je příliš malý.

• 

  Přidáme tedy 10 a vložíme 1 pod další vyšší místo v subhendu.

• 

  9 + ... = 15
  Nyní můžeme najít rozdíl jako předtím.

• 

  (4 + 1) + ... = 7

• 

  Rozdíl je zapsán pod řádek.

• 

  Celkový rozdíl.

Odčítání zleva doprava

Příklad:

• 

  7 − 4 = 3
  Tento výsledek je pouze tužkou.

• 

  Protože další číslice minulosti je menší než odčítání, odečteme jednu z našeho tužkou a mentálně přidáme deset k další.

• 

  15 − 9 = 6

• 

  Protože další číslice v minuendě není menší než subtrend, ponecháme si toto číslo.

• 

  3 − 1 = 2

Americká metoda

V této metodě se každá číslice podtrhu odečte od číslice nad ní počínaje zprava doleva. Pokud je horní číslo příliš malé na to, abychom od něj odečetli spodní číslo, přidáme k němu 10; tato 10 je „vypůjčena“ od horní číslice doleva, od které odečteme 1. Poté přejdeme k odečtení další číslice a půjčování podle potřeby, dokud nebude každá číslice odečtena. Příklad:

• 

  3 − 1 = ...

• 

  Rozdíl zapíšeme pod řádek.

• 

  5 − 9 = ...
  Minulost (5) je příliš malá!

• 

  Takže k tomu přidáme 10. 10 je „vypůjčeno“ z číslice vlevo, která klesá o 1.

• 

  15 − 9 = ...
  Nyní odečítání funguje a rozdíl zapíšeme pod řádek.

• 

  6 − 4 = ...

• 

  Rozdíl zapíšeme pod řádek.

• 

  Celkový rozdíl.

Nejprve obchodujte

Varianta americké metody, kdy se všechny výpůjčky provádějí před odečtením.^[16]

Příklad:

• 

  1 - 3 = není možné.
  Přidáme 10 k 1. Protože 10 je „vypůjčeno“ z blízkých 5, je 5 sníženo o 1.

• 

  4 - 9 = není možné.
  Postupujeme tedy jako v kroku 1.

• 

  Práce zprava doleva:
  11 − 3 = 8

• 

  14 − 9 = 5

• 

  6 − 4 = 2

Dílčí rozdíly

Metoda částečných rozdílů se liší od ostatních metod vertikálního odečítání, protože se neprovádí výpůjčka ani přenos. Na jejich místo lze umístit znaménka plus nebo minus podle toho, zda je minuend větší nebo menší než subtrahend. Součet dílčích rozdílů je celkový rozdíl.^[17]

Příklad:

• 

  Menší číslo se odečte od většího:
  700 − 400 = 300
  Protože minuend je větší než subtrahend, má tento rozdíl znaménko plus.

• 

  Menší číslo se odečte od většího:
  90 − 50 = 40
  Protože je minuend menší než subtrahend, má tento rozdíl znaménko minus.

• 

  Menší číslo se odečte od většího:
  3 − 1 = 2
  Protože minuend je větší než subtrahend, má tento rozdíl znaménko plus.

• 

  +300 − 40 + 2 = 262

Nonvertikální metody

Počítám

Místo hledání rozdílu číslice po číslici lze spočítat čísla mezi podtrendem a minuendou.^[18]

Příklad: 1234 - 567 = lze najít pomocí následujících kroků:

• 567 + 3 = 570
• 570 + 30 = 600
• 600 + 400 = 1000
• 1000 + 234 = 1234

Sečtením hodnoty z každého kroku získáte celkový rozdíl: 3 + 30 + 400 + 234 = 667.

Rozdělení odčítání

Další metoda, která je užitečná pro mentální aritmetika je rozdělit odčítání na malé kroky.^[19]

Příklad: 1234 - 567 = lze vyřešit následujícím způsobem:

• 1234 − 500 = 734
• 734 − 60 = 674
• 674 − 7 = 667

Stejná změna

Stejná metoda změny využívá skutečnost, že přidání nebo odečtení stejného čísla od minuendu a subtrahend nezmění odpověď. Jeden jednoduše přidá částku potřebnou k získání nul v subhendu.^[20]

Příklad:

„1234 - 567 =“ lze vyřešit následovně:

• 1234 − 567 = 1237 − 570 = 1267 − 600 = 667

Viz také

• Snížení
• Elementární aritmetika
• Způsob doplňování
• Záporné číslo
• Znaménka plus a minus

Poznámky

Reference

Bibliografie

• Brownell, W.A. (1939). Učení jako reorganizace: Experimentální studie aritmetiky třetího ročníku, Duke University Press.
• Odčítání ve Spojených státech: Historická perspektiva, Susan Ross, Mary Pratt-Cotter, Matematický pedagog, Sv. 8, č. 1 (původní publikace) a sv. 10, č. 1 (dotisk) PDF

externí odkazy

• "Odčítání", Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS, 2001 [1994]
• Tisknutelné pracovní listy: Odečítání pracovních listů, Odečtení jedné číslice, Odečítání dvou číslic, Odčítání čtyř číslic, a Více listů odčítání
• Odčítání hry na cut-the-uzel
• Odečtení japonského počítadla vybráno z Abacus: Mystery of the Bead