Trojitý produkt - Triple product

v vektorová algebra, pobočka matematika, trojitý produkt je produktem tří 3-dimenzionální vektory Euklidovské vektory. Název „trojitý produkt“ se používá pro dva různé produkty, skalární hodnotu skalární trojitý produkt a méně často s vektorovou hodnotou vektorový trojitý produkt.

Skalární trojitý produkt

Tři vektory definující rovnoběžnostěn

The skalární trojitý produkt (nazývané také smíšený produkt, krabicový produktnebo trojitý skalární součin) je definován jako Tečkovaný produkt jednoho z vektorů s křížový produkt dalších dvou.

Geometrická interpretace

Geometricky, skalární trojitý součin

{ displaystyle mathbf {a} cdot ( mathbf {b} krát mathbf {c})}

je (podepsaný) objem z rovnoběžnostěn definované třemi danými vektory. Zde je možné vynechat závorky, aniž by to způsobilo nejednoznačnost, protože tečkový produkt nelze vyhodnotit jako první. Pokud by to bylo, zanechalo by to křížový produkt skaláru a vektoru, který není definován.

Vlastnosti

Skalární trojitý produkt se nezmění pod a kruhový posun ze tří operandů (A, b, C):
${ displaystyle mathbf {a} cdot ( mathbf {b} times mathbf {c}) = mathbf {b} cdot ( mathbf {c} times mathbf {a}) = mathbf { c} cdot ( mathbf {a} times mathbf {b})}$
Výměna pozic operátorů bez nového uspořádání operandů ponechává trojitý produkt beze změny. To vyplývá z předchozí vlastnosti a komutativní vlastnosti tečkového produktu.
${ displaystyle mathbf {a} cdot ( mathbf {b} times mathbf {c}) = ( mathbf {a} times mathbf {b}) cdot mathbf {c}}$
Zaměnit libovolné dva ze tří operandů neguje trojitý produkt. To vyplývá z vlastnosti kruhového posunu a antikomutativita křížového produktu.
${ displaystyle { begin {zarovnáno} & mathbf {a} cdot ( mathbf {b} times mathbf {c}) = - & mathbf {a} cdot ( mathbf {c} times mathbf {b}) = - & mathbf {b} cdot ( mathbf {a} times mathbf {c}) = - & mathbf {c} cdot ( mathbf {b } times mathbf {a}) end {zarovnáno}}}$
Skalární trojný produkt lze také chápat jako určující z 3×3 matice, která má tři vektory buď jako své řádky nebo sloupce (matice má stejný determinant jako její přemístit ):
${ displaystyle mathbf {a} cdot ( mathbf {b} times mathbf {c}) = det { begin {bmatrix} a_ {1} & a_ {2} & a_ {3} b_ {1 } & b_ {2} & b_ {3} c_ {1} & c_ {2} & c_ {3} end {bmatrix}} = { rm {det}} left ( mathbf {a}, mathbf {b}, mathbf {c} vpravo).}$
Pokud se skalární trojitý produkt rovná nule, pak tři vektory A, b, a C jsou koplanární, protože nimi definovaný rovnoběžnostěn by byl plochý a neměl by žádný objem.
Pokud jsou libovolné dva vektory ve skalárním trojitém produktu stejné, pak jeho hodnota je nula:
${ displaystyle mathbf {a} cdot ( mathbf {a} times mathbf {b}) = mathbf {a} cdot ( mathbf {b} times mathbf {a}) = mathbf { a} cdot ( mathbf {b} times mathbf {b}) = mathbf {b} cdot ( mathbf {a} times mathbf {a}) = 0}$
Navíc,
${ displaystyle ( mathbf {a} cdot ( mathbf {b} times mathbf {c})) mathbf {a} = ( mathbf {a} times mathbf {b}) times ( mathbf {a} times mathbf {c})}$
The jednoduchý produkt dvou trojitých produktů (nebo čtverce trojitého produktu), lze rozšířit, pokud jde o tečkované produkty:^[1]
${ displaystyle (( mathbf {a} times mathbf {b}) cdot mathbf {c}) ; (( mathbf {d} times mathbf {e}) cdot mathbf {f} ) = det left [{ begin {pmatrix} mathbf {a} mathbf {b} mathbf {c} end {pmatrix}} cdot { begin {pmatrix} mathbf {d } & mathbf {e} & mathbf {f} end {pmatrix}} right] = det { begin {bmatrix} mathbf {a} cdot mathbf {d} & mathbf {a} cdot mathbf {e} & mathbf {a} cdot mathbf {f} mathbf {b} cdot mathbf {d} & mathbf {b} cdot mathbf {e} & mathbf { b} cdot mathbf {f} mathbf {c} cdot mathbf {d} & mathbf {c} cdot mathbf {e} & mathbf {c} cdot mathbf {f} konec {bmatrix}}}$
To opakuje ve vektorovém zápisu, že součin determinantů dvou matic 3 × 3 se rovná determinantu jejich maticového součinu. Ve zvláštním případě je čtverec trojitého produktu a Gram determinant.

Skalární nebo pseudoskalární

Ačkoli skalární trojitý produkt udává objem rovnoběžnostěnu, jedná se o podepsaný svazek, znaménko v závislosti na orientace rámu nebo parita permutace vektorů. To znamená, že produkt je negován, pokud je orientace obrácena, například pomocí a paritní transformace, a proto je vhodněji popsán jako a pseudoskalární pokud se orientace může změnit.

To se týká také předání křížového produktu; křížový produkt se transformuje jako a pseudovektor pod paritními transformacemi a tak je správně popsán jako pseudovektor. Tečkový produkt dvou vektorů je skalární, ale tečkový produkt pseudovektoru a vektoru je pseudoskalární, takže skalární trojitý produkt musí mít pseudoskalární hodnotu.

Li T je operátor rotace, pak

{ displaystyle mathbf {Ta} cdot ( mathbf {Tb} times mathbf {Tc}) = mathbf {a} cdot ( mathbf {b} times mathbf {c}),}

ale pokud T je nesprávná rotace, pak

{ displaystyle mathbf {Ta} cdot ( mathbf {Tb} times mathbf {Tc}) = - mathbf {a} cdot ( mathbf {b} times mathbf {c}).}

Jako vnější produkt

Tři vektory překlenující rovnoběžnostěn mají trojný produkt rovný jeho objemu.

v vnější algebra a geometrická algebra vnější produkt dvou vektorů je a bivektor, zatímco vnější produkt tří vektorů je a trivector. Bivektor je prvek orientované roviny a trivektor je orientovaný objemový prvek, stejně jako vektor je prvek orientované čáry. Dané vektory A, b a C, produkt

{ displaystyle mathbf {a} klín mathbf {b} klín mathbf {c}}

je trivektor s velikostí rovnající se skalárnímu trojnému součinu a je Hodge dual skalárního trojitého produktu. Protože vnější produkt je asociativní, závorky nejsou nutné, protože nezáleží na tom, který z nich A ∧ b nebo b ∧ C se počítá jako první, ačkoli na pořadí vektorů v produktu záleží. Geometricky trivektor A ∧ b ∧ C odpovídá rovnoběžnostěnu překlenutou o A, b, a C, s bivektory A ∧ b, b ∧ C a A ∧ C odpovídající rovnoběžník tváře rovnoběžnostěnu.

Jako trilineární funkční

Trojitý produkt je totožný s produktem objemová forma euklidovského 3-prostoru aplikovaného na vektory pomocí vnitřní produkt. Lze jej také vyjádřit jako a kontrakce vektorů s tenzorem hodnosti 3 ekvivalentním tvaru (nebo a pseudotenzor ekvivalent objemové pseudoformy); vidět níže.

Vektorový trojitý produkt

The vektorový trojitý produkt je definován jako křížový produkt jednoho vektoru s křížovým součinem ostatních dvou. Platí následující vztah:

{ displaystyle mathbf {a} times ( mathbf {b} times mathbf {c}) = ( mathbf {a} cdot mathbf {c}) mathbf {b} - ( mathbf {a } cdot mathbf {b}) mathbf {c}}

.

Toto je známé jako trojnásobné rozšíření produktunebo Lagrangeův vzorec,^[2]^[3] ačkoli toto druhé jméno je také používáno pro několik dalších vzorců. Jeho pravou stranu si lze zapamatovat pomocí mnemotechnická pomůcka „ACB - ABC“, za předpokladu, že si člověk pamatuje, které vektory jsou spolu tečkované. Je poskytnut důkaz níže. Některé učebnice zapisují identitu jako ${ displaystyle mathbf {a} times ( mathbf {b} times mathbf {c}) = mathbf {b} ( mathbf {a} cdot mathbf {c}) - mathbf {c} ( mathbf {a} cdot mathbf {b})}$ tak, že známější mnemotechnická pomůcka se získá „BAC - CAB“, jako v „zadní části kabiny“.

Protože křížový produkt je anticommutative, tento vzorec může být také psán (až do permutace písmen) jako:

{ displaystyle ( mathbf {a} times mathbf {b}) times mathbf {c} = - mathbf {c} times ( mathbf {a} times mathbf {b}) = - ( mathbf {c} cdot mathbf {b}) mathbf {a} + ( mathbf {c} cdot mathbf {a}) mathbf {b}}

Z Lagrangeova vzorce vyplývá, že vektorový trojitý produkt splňuje:

{ displaystyle mathbf {a} times ( mathbf {b} times mathbf {c}) + mathbf {b} times ( mathbf {c} times mathbf {a}) + mathbf { c} times ( mathbf {a} times mathbf {b}) = 0}

který je Jacobi identita pro křížový produkt. Následuje další užitečný vzorec:

{ displaystyle ( mathbf {a} times mathbf {b}) times mathbf {c} = mathbf {a} times ( mathbf {b} times mathbf {c}) - mathbf { b} times ( mathbf {a} times mathbf {c})}

Tyto vzorce jsou velmi užitečné pro zjednodušení vektorových výpočtů v fyzika. Související identita týkající se přechody a užitečné v vektorový počet je Lagrangeův vzorec vektorové identity mezi produkty:^[4]

{ displaystyle { boldsymbol { nabla}} times ({ boldsymbol { nabla}} times mathbf {f}) = { boldsymbol { nabla}} ({ boldsymbol { nabla}} cdot mathbf {f}) - ({ boldsymbol { nabla}} cdot { boldsymbol { nabla}}) mathbf {f}}

To lze také považovat za zvláštní případ obecnějšího Operátor Laplace – de Rham ${ displaystyle Delta = d delta + delta d}$ .

Důkaz

The ${ displaystyle x}$ součást ${ displaystyle mathbf {u} times ( mathbf {v} times mathbf {w})}$ darováno:

{ displaystyle { begin {aligned} ( mathbf {u} times ( mathbf {v} times mathbf {w})) _ {x} & = mathbf {u} _ {y} ( mathbf {v} _ {x} mathbf {w} _ {y} - mathbf {v} _ {y} mathbf {w} _ {x}) - mathbf {u} _ {z} ( mathbf { v} _ {z} mathbf {w} _ {x} - mathbf {v} _ {x} mathbf {w} _ {z}) & = mathbf {v} _ {x} ( mathbf {u} _ {y} mathbf {w} _ {y} + mathbf {u} _ {z} mathbf {w} _ {z}) - mathbf {w} _ {x} ( mathbf {u} _ {y} mathbf {v} _ {y} + mathbf {u} _ {z} mathbf {v} _ {z}) & = mathbf {v} _ {x} ( mathbf {u} _ {y} mathbf {w} _ {y} + mathbf {u} _ {z} mathbf {w} _ {z}) - mathbf {w} _ {x} ( mathbf {u} _ {y} mathbf {v} _ {y} + mathbf {u} _ {z} mathbf {v} _ {z}) + ( mathbf {u} _ {x} mathbf {v} _ {x} mathbf {w} _ {x} - mathbf {u} _ {x} mathbf {v} _ {x} mathbf {w} _ {x}) & = mathbf {v} _ {x} ( mathbf {u} _ {x} mathbf {w} _ {x} + mathbf {u} _ {y} mathbf {w} _ {y} + mathbf { u} _ {z} mathbf {w} _ {z}) - mathbf {w} _ {x} ( mathbf {u} _ {x} mathbf {v} _ {x} + mathbf {u } _ {y} mathbf {v} _ {y} + mathbf {u} _ {z} mathbf {v} _ {z}) & = ( mathbf {u} cdot mathbf {w }) mathbf {v} _ {x} - ( mathbf { u} cdot mathbf {v}) mathbf {w} _ {x} end {zarovnáno}}}

Podobně ${ displaystyle y}$ a ${ displaystyle z}$ komponenty ${ displaystyle mathbf {u} times ( mathbf {v} times mathbf {w})}$ jsou dány:

{ displaystyle { begin {aligned} ( mathbf {u} times ( mathbf {v} times mathbf {w})) _ {y} & = ( mathbf {u} cdot mathbf {w }) mathbf {v} _ {y} - ( mathbf {u} cdot mathbf {v}) mathbf {w} _ {y} ( mathbf {u} times ( mathbf {v } times mathbf {w})) _ {z} & = ( mathbf {u} cdot mathbf {w}) mathbf {v} _ {z} - ( mathbf {u} cdot mathbf {v}) mathbf {w} _ {z} end {zarovnáno}}}

Kombinací těchto tří složek získáme:

{ displaystyle mathbf {u} times ( mathbf {v} times mathbf {w}) = ( mathbf {u} cdot mathbf {w}) mathbf {v} - ( mathbf { u} cdot mathbf {v}) mathbf {w}}

^[5]

Pomocí geometrické algebry

Použije-li se geometrická algebra, je součin b × C vektorů je vyjádřeno jako jejich vnější produkt b∧C, a bivektor. Druhý křížový produkt nelze vyjádřit jako vnější produkt, jinak by vznikl skalární trojitý produkt. Místo toho kontrakce doleva^[6] lze použít, takže vzorec se stane^[7]

{ displaystyle { begin {aligned} - mathbf {a} ; { big lrcorner} ; ( mathbf {b} wedge mathbf {c}) & = mathbf {b} wedge ( mathbf {a} ; { big lrcorner} ; mathbf {c}) - ( mathbf {a} ; { big lrcorner} ; mathbf {b}) klín mathbf {c} & = ( mathbf {a} cdot mathbf {c}) mathbf {b} - ( mathbf {a} cdot mathbf {b}) mathbf {c} end {zarovnáno}}}

Důkaz vyplývá z vlastností kontrakce.^[6] Výsledkem je stejný vektor, který byl vypočítán pomocí A × (b × C).

Výklady

Tenzorový počet

v tenzorová notace trojitý produkt je vyjádřen pomocí Symbol Levi-Civita:^[8]

{ displaystyle ( mathbf {a} cdot [ mathbf {b} times mathbf {c}]) = varepsilon _ {ijk} a ^ {i} b ^ {j} c ^ {k}}

a

{ displaystyle ( mathbf {a} times [ mathbf {b} times mathbf {c}]) _ {i} = varepsilon _ {ijk} a ^ {j} varepsilon _ {k ell m } b ^ { ell} c ^ {m} = varepsilon _ {ijk} varepsilon _ {k ell m} a ^ {j} b ^ { ell} c ^ {m}}

,

s odkazem na ${ displaystyle i}$ th složka výsledného vektoru. To lze zjednodušit provedením a kontrakce na Symboly Levi-Civita, ${ displaystyle varepsilon _ {ijk} varepsilon _ {k ell m} = - varepsilon _ {ijk} varepsilon _ {m ell k} = delta _ {i ell} delta _ {jm} - delta _ {im} delta _ { ell j}}$ kde ${ displaystyle delta _ {ij} = 0}$ -li ${ displaystyle i neq j}$ a ${ displaystyle delta _ {ij} = 1}$ -li ${ displaystyle i = j}$ . Tuto identitu můžeme zdůvodnit uznáním, že index ${ displaystyle k}$ bude sečteno a zůstane pouze ${ displaystyle i}$ a ${ displaystyle j}$ . V prvním semestru to opravíme ${ displaystyle i = l}$ a tudíž ${ displaystyle j = m}$ . Podobně v druhém semestru to opravíme ${ displaystyle i = m}$ a tudíž ${ displaystyle l = j}$ .

Po návratu k produktu trojitého kříže,

{ displaystyle ( mathbf {a} times [ mathbf {b} times mathbf {c}]) _ {i} = ( delta _ {i ell} delta _ {jm} - delta _ {im} delta _ { ell j}) a ^ {j} b ^ { ell} c ^ {m} = a ^ {j} b ^ {i} c ^ {j} -a ^ {j} b ^ {j} c ^ {i} = mathbf {b} _ {i} ( mathbf {a} cdot mathbf {c}) - mathbf {c} _ {i} ( mathbf {a} cdot mathbf {b})}

Vektorový počet

Zvažte integrál toku vektorového pole ${ displaystyle { vec { mathbf {F}}}}$ přes parametricky definovaný povrch ${ displaystyle S = { vec { mathbf {r}}} (u, v)}$ : ${ displaystyle iint _ {S} { vec { mathbf {F}}} mathbf { cdot} { vec { mathbf {N}}} , dS}$ . Normální vektor jednotky ${ displaystyle { vec { mathbf {N}}}}$ k povrchu je dáno ${ displaystyle { frac {{ vec { mathbf {r}}} _ {u} krát { vec { mathbf {r}}} _ {v}} {| { vec { mathbf {r }}} _ {u} times { vec { mathbf {r}}} _ {v} |}}}$ , takže integrand ${ displaystyle { vec { mathbf {F}}} mathbf { cdot} { frac {{ vec { mathbf {r}}} _ {u} krát { vec { mathbf {r} }} _ {v}} {| { vec { mathbf {r}}} _ {u} times { vec { mathbf {r}}} _ {v} |}}}$ je skalární trojitý produkt.

Poznámky

^ Wong, Chun Wa (2013). Úvod do matematické fyziky: Metody a koncepty. Oxford University Press. p. 215. ISBN 9780199641390.
^ Joseph Louis Lagrange nevyvinul křížový součin jako algebraický součin na vektorech, ale použil jeho ekvivalentní formu v komponentách: viz Lagrange, J-L (1773). „Solutions analytiques de quelques problèmes sur les pyramides triangulaires“. Dílo. sv. 3. Možná napsal vzorec podobný trojnásobnému rozšíření produktu ve formě komponent. Viz také Lagrangeova identita a Kiyosi Itô (1987). Encyklopedický slovník matematiky. MIT Stiskněte. p. 1679. ISBN 0-262-59020-4.
^ Kiyosi Itô (1993). „§C: Vektorový produkt“. Encyklopedický slovník matematiky (2. vyd.). MIT Stiskněte. p. 1679. ISBN 0-262-59020-4.
^ Pengzhi Lin (2008). Numerické modelování vodních vln: Úvod do inženýrů a vědců. Routledge. p. 13. ISBN 978-0-415-41578-1.
^ J. Heading (1970). Matematické metody ve vědě a inženýrství. American Elsevier Publishing Company, Inc., str. 262–263.
^ ^A ^b Pertti Lounesto (2001). Cliffordské algebry a spinory (2. vyd.). Cambridge University Press. p. 46. ISBN 0-521-00551-5.
^ Janne Pesonen. "Geometrická algebra jedné a mnoha multivektorových proměnných" (PDF). p. 37.
^ „Permutační tenzor“. Wolfram. Citováno 21. května 2014.

Reference

Lass, Harry (1950). Vektorová a tenzorová analýza. McGraw-Hill Book Company, Inc., str. 23–25.

externí odkazy

Khan Academy video s důkazem rozšíření trojitého produktu

[Wong-1] Wong, Chun Wa (2013). Úvod do matematické fyziky: Metody a koncepty. Oxford University Press. p. 215. ISBN 9780199641390.

[2] Joseph Louis Lagrange nevyvinul křížový součin jako algebraický součin na vektorech, ale použil jeho ekvivalentní formu v komponentách: viz Lagrange, J-L (1773). „Solutions analytiques de quelques problèmes sur les pyramides triangulaires“. Dílo. sv. 3. Možná napsal vzorec podobný trojnásobnému rozšíření produktu ve formě komponent. Viz také Lagrangeova identita a Kiyosi Itô (1987). Encyklopedický slovník matematiky. MIT Stiskněte. p. 1679. ISBN 0-262-59020-4.

[Itô-3] Kiyosi Itô (1993). „§C: Vektorový produkt“. Encyklopedický slovník matematiky (2. vyd.). MIT Stiskněte. p. 1679. ISBN 0-262-59020-4.

[Lin-4] Pengzhi Lin (2008). Numerické modelování vodních vln: Úvod do inženýrů a vědců. Routledge. p. 13. ISBN 978-0-415-41578-1.

[5] J. Heading (1970). Matematické metody ve vědě a inženýrství. American Elsevier Publishing Company, Inc., str. 262–263.

[Lounesto-6] A ^b Pertti Lounesto (2001). Cliffordské algebry a spinory (2. vyd.). Cambridge University Press. p. 46. ISBN 0-521-00551-5.

[Pesonen-7] Janne Pesonen. "Geometrická algebra jedné a mnoha multivektorových proměnných" (PDF). p. 37.

[8] „Permutační tenzor“. Wolfram. Citováno 21. května 2014.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

Lineární algebra
Základní pojmy	Skalární Vektor Vektorový prostor Skalární násobení Vektorové projekce Lineární rozpětí Lineární mapa Lineární projekce Lineární nezávislost Lineární kombinace Základ Změna základu Vektory řádků a sloupců Mezery mezi řádky a sloupci Jádro Vlastní čísla a vlastní vektory Přemístit Lineární rovnice
Matice	Blok Rozklad Invertibilní Méně důležitý Násobení Hodnost Proměna Cramerovo pravidlo Gaussova eliminace
Bilineární	Ortogonalita Tečkovaný produkt Vnitřní prostor produktu Vnější produkt Gram – Schmidtův proces
Multilineární algebra	Rozhodující Křížový produkt Trojitý produkt Sedmrozměrný křížový produkt Geometrická algebra Vnější algebra Bivektor Multivektorový Tenzor Outermorfismus
Vektorový prostor stavby	Dvojí Přímý součet Funkční prostor Kvocient Podprostor Tenzorový produkt
Numerické	Plovoucí bod Numerická stabilita Základní podprogramy lineární algebry (BLAS) Řídká matice Porovnání knihoven lineární algebry
Kategorie Obrys Matematický portál Wikibook Wikiverzita