Kotangensový prostor - Cotangent space

v diferenciální geometrie, lze připojit ke každému bodu ${displaystyle x}$ a hladké (nebo diferencovatelné) potrubí, ${displaystyle {mathcal {M}}}$ , a vektorový prostor volal kotangensový prostor na ${displaystyle x}$ . Typicky kotangensní prostor, ${displaystyle T_ {x} ^ {*}! {mathcal {M}}}$ je definován jako dvojí prostor z tečný prostor na ${displaystyle x}$ , ${displaystyle T_ {x} {mathcal {M}}}$ , ačkoli existuje více přímých definic (viz níže). Prvky kotangensového prostoru se nazývají kotangensové vektory nebo tangensové vektory.

Vlastnosti

Všechny kotangens mezery v bodech na připojeném potrubí mají stejné dimenze, rovnající se rozměru potrubí. Všechny kotangensové prostory potrubí mohou být „slepeny dohromady“ (tj. Spojeny a obdařeny topologií) za vzniku nového rozlišitelného potrubí s dvojnásobnou dimenzí, kotangenský svazek potrubí.

Tečný prostor a kotangensový prostor v bodě jsou oba skutečné vektorové prostory stejné dimenze, a proto izomorfní navzájem prostřednictvím mnoha možných izomorfismů. Zavedení a Riemannova metrika nebo a symlektická forma dává vzniknout a přirozený izomorfismus mezi tečným prostorem a kotangensním prostorem v bodě, spojující s jakýmkoli tangentovým covectorem kanonický tangensový vektor.

Formální definice

Definice jako lineární funkcionály

Nechat ${displaystyle {mathcal {M}}}$ být hladké potrubí a nechat ${displaystyle x}$ být bodem v ${displaystyle {mathcal {M}}}$ . Nechat ${displaystyle T_ {x} {mathcal {M}}}$ být tečný prostor na ${displaystyle x}$ . Poté kotangensový prostor v X je definován jako dvojí prostor z ${displaystyle T_ {x} {mathcal {M}}}$ :

{displaystyle T_ {x} ^ {*}! {mathcal {M}} = (T_ {x} {mathcal {M}}) ^ {*}}

Konkrétně prvky kotangensového prostoru jsou lineární funkcionály na ${displaystyle T_ {x} {mathcal {M}}}$ . To je každý prvek ${displaystyle alpha v T_ {x} ^ {*} {mathcal {M}}}$ je lineární mapa

{displaystyle alpha: T_ {x} {mathcal {M}} ightarrow F}

kde ${displaystyle F}$ je podklad pole uvažovaného vektorového prostoru, například pole reálná čísla. Prvky ${displaystyle T_ {x} ^ {*}! {mathcal {M}}}$ se nazývají kotangensové vektory.

Alternativní definice

V některých případech by někdo chtěl mít přímou definici kotangensního prostoru bez odkazu na tečný prostor. Takovou definici lze formulovat z hlediska třídy ekvivalence plynulých funkcí zapnuto ${displaystyle {mathcal {M}}}$ . Neformálně řekneme, že dvě plynulé funkce F a G jsou v daném okamžiku ekvivalentní ${displaystyle x}$ pokud mají blízko stejné chování prvního řádu ${displaystyle x}$ , analogické s jejich lineárními Taylorovými polynomy; dvě funkce F a G mít stejné chování prvního řádu blízko ${displaystyle x}$ právě tehdy, když je to derivace funkce F-G zmizí v ${displaystyle x}$ . Kotangensový prostor pak bude sestávat ze všech možných chování prvního řádu funkce blízké ${displaystyle x}$ .

Nechat M být hladký potrubí a nechat X být bodem v ${displaystyle {mathcal {M}}}$ . Nechat ${displaystyle I_ {x}}$ být ideál všech funkcí v ${displaystyle C ^ {infty}! ({mathcal {M}})}$ mizející v ${displaystyle x}$ a nechte ${displaystyle I_ {x} ^ {2}}$ být soubor funkcí formuláře ${displaystyle sum _ {i} f_ {i} g_ {i},}$ , kde ${displaystyle f_ {i}, g_ {i} v I_ {x}}$ . Pak ${displaystyle I_ {x}}$ a ${displaystyle I_ {x} ^ {2}}$ jsou skutečné vektorové prostory a kotangensní prostor je definován jako kvocientový prostor ${displaystyle T_ {x} ^ {*}! {mathcal {M}} = I_ {x} / I_ {x} ^ {2}}$ .

Tato formulace je analogická s konstrukcí kotangensního prostoru k definování Zariski tečný prostor v algebraické geometrii. Stavba také zobecňuje na místně prstencované prostory.

Diferenciál funkce

Nechat M být hladký potrubí a nechat F ∈ C.^∞(M) být a plynulá funkce. Diferenciál F v určitém okamžiku X je mapa

dF_X(X_X) = X_X(F)

kde X_X je tečný vektor na X, myšlenka jako derivace. To je ${displaystyle X (f) = {mathcal {L}} _ {X} f}$ je Derivát lži z F ve směru Xa jeden má dF(X)=X(F). Ekvivalentně můžeme tangenciální vektory považovat za tečny ke křivkám a psát

dF_X(γ ′ (0)) = (F o γ) ′ (0)

V obou případech dF_X je lineární mapa na T_XM a proto je to tečna covector v X.

Poté můžeme definovat diferenciální mapu d: C^∞(M) → T_X^*M v určitém okamžiku X jako mapa, která posílá F až dF_X. Vlastnosti rozdílové mapy zahrnují:

d je lineární mapa: d (af + bg) = A dF + b dG pro konstanty A a b,
d (fg)_X = F(X) dG_X + G(X) dF_X,

Diferenciální mapa poskytuje spojení mezi dvěma alternativními definicemi kotangensového prostoru uvedenými výše. Vzhledem k funkci F ∈ Já_X (plynulá funkce mizí v X) můžeme vytvořit lineární funkční dF_X jak je uvedeno výše. Protože mapa d omezuje na 0 zapnuto Já_X² (čtenář by to měl ověřit), d sestupuje na mapu z Já_X / Já_X² na dvojku tečného prostoru, (T_XM)^*. Lze ukázat, že tato mapa je izomorfismem, který stanoví ekvivalenci těchto dvou definic.

Zpětná vazba hladké mapy

Stejně jako každá rozlišitelná mapa F : M → N mezi rozdělovači indukuje lineární mapu (tzv tlačit kupředu nebo derivát) mezi tečnými mezerami

{displaystyle f _ {*} ^ {} dvojtečka T_ {x} M o T_ {f (x)} N}

každá taková mapa vyvolává lineární mapu (tzv zarazit ) mezi kotangenty, pouze tentokrát v opačném směru:

{displaystyle f ^ {*} dvojtečka T_ {f (x)} ^ {*} N o T_ {x} ^ {*} M}

Zpětný ráz je přirozeně definován jako duální (nebo transpoziční) tlačit kupředu. Odhalení definice znamená následující:

{displaystyle (f ^ {*} heta) (X_ {x}) = heta (f _ {*} ^ {} X_ {x})}

kde θ ∈ T_F(X)^*N a X_X ∈ T_XM. Pečlivě si všímejte, kde všechno žije.

Pokud definujeme tangenciální vektory z hlediska tříd ekvivalence hladkých map mizejících v bodě, pak je definice zpětného rázu ještě přímočařejší. Nechat G být plynulá funkce na N mizející v F(X). Pak je zpětné působení covektoru určeno G (označeno dG) darováno

{displaystyle f ^ {*} mathrm {d} g = mathrm {d} (gcirc f).}

To znamená, že jde o třídu ekvivalence funkcí M mizející v X určeno G Ó F.

Vnější síly

The k-th vnější síla kotangensního prostoru, označeno Λ^k(T_X^*M), je dalším důležitým objektem v diferenciální geometrii. Vektory v kvnější energie, nebo přesněji části k-tá vnější síla kotangenský svazek, jsou nazývány rozdíl k-formuláře. Mohou být považovány za střídavé, multilineární mapy na k tečné vektory. Z tohoto důvodu se často volají tangensové vektory jednoformátové.

Reference

Abraham, Ralph H.; Marsden, Jerrold E. (1978), Základy mechaniky, Londýn: Benjamin-Cummings, ISBN 978-0-8053-0102-1
Jost, Jürgen (2005), Riemannova geometrie a geometrická analýza (4. vydání), Berlín, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-25907-7
Lee, John M. (2003), Úvod do hladkých potrubíSpringer Postgraduální texty z matematiky, 218, Berlín, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95448-6
Misner, Charles W.; Thorne, Kip; Wheeler, John Archibald (1973), Gravitace, W. H. Freeman, ISBN 978-0-7167-0344-0