Tečný svazek - Tangent bundle

v diferenciální geometrie, tečný svazek a diferencovatelné potrubí je potrubí který spojuje všechny tangenciální vektory v . Jako sada je dána disjunktní unie[poznámka 1] z tečné mezery z . To znamená,
kde označuje tečný prostor na na místě . Takže prvek lze považovat za pár , kde je bod v a je tečný vektor k na . Existuje přírodní projekce
definován . Tato projekce mapuje každý tečný prostor do jediného bodu .
Tečný svazek je vybaven a přírodní topologie (popsáno v části níže ). S touto topologií je tečný svazek do potrubí prototypickým příkladem a vektorový svazek (A svazek vláken jejichž vlákna jsou vektorové prostory ). A sekce z je vektorové pole na a duální svazek na je kotangenský svazek, což je disjunktní unie kotangensní prostory z . Podle definice, potrubí je paralelizovatelný právě tehdy, když je tangenta svazek triviální. Podle definice, potrubí M je zarámovaný právě tehdy, když tečný svazek TM je stabilně triviální, což znamená, že pro nějaký triviální svazek E the Whitney součet je triviální. Například n-dimenzionální koule Sn je sestaven pro všechny n, ale paralelizovatelné pouze pro n = 1, 3, 7 (podle výsledků Bott-Milnor a Kervaire).
Role
Jednou z hlavních rolí tangenta svazku je poskytnout doménu a rozsah pro derivaci hladké funkce. Jmenovitě, pokud je plynulá funkce s a hladké potrubí, jeho derivát je plynulá funkce .
Topologie a hladká struktura
Tečný svazek je vybaven přirozenou topologií (ne the disjunktní odborová topologie ) a hladká struktura tak, aby se z něj stalo rozmanité samo o sobě. Rozměr je dvakrát větší než dimenze .
Každý tečný prostor n-dimenzionální potrubí je n-dimenzionální vektorový prostor. Li je otevřený smluvní podmnožina , pak existuje difeomorfismus který omezuje na lineární izomorfismus z každého tečného prostoru na . Jako potrubí však není vždy odlišný od potrubí produktu . Když je ve formě , pak se říká, že tečný svazek je triviální. Triviální tečné svazky se obvykle vyskytují u potrubí vybavených „kompatibilní strukturou skupiny“; například v případě, že potrubí je a Lež skupina. Tečný svazek jednotkové kružnice je triviální, protože se jedná o Lieovu skupinu (při násobení a její přirozené diferenciální struktuře). Není však pravda, že všechny prostory s triviálními tečnými svazky jsou Lieovy skupiny; se nazývají rozdělovače, které mají triviální tangentní svazek paralelizovatelný. Stejně jako jsou lokálně modelovány rozdělovače Euklidovský prostor, svazky tangenty jsou lokálně modelovány , kde je otevřená podmnožina euklidovského prostoru.
Li M je hladký n-dimenzionální potrubí, pak je vybaveno atlas grafů , kde je otevřený soubor a
je difeomorfismus. Tyto místní souřadnice na vést k izomorfismu pro všechny . Poté můžeme definovat mapu
podle
Tyto mapy používáme k definování topologie a hladké struktury . Podmnožina z je otevřen právě tehdy
je otevřen v pro každého Tyto mapy jsou homeomorfismy mezi otevřenými podmnožinami a a proto slouží jako grafy pro hladkou strukturu . Funkce přechodu na grafu se překrývají jsou vyvolány Jacobian matice přidružené transformace souřadnic, a jsou tedy plynulými mapami mezi otevřenými podmnožinami souboru .
Tečný svazek je příkladem obecnější konstrukce zvané a vektorový svazek (což je samo o sobě specifický druh svazek vláken ). Explicitně, tečný svazek k -rozměrné potrubí lze definovat jako hodnost vektorový balíček přes jehož přechodové funkce jsou dány Jacobian souvisejících transformací souřadnic.
Příklady
Nejjednodušším příkladem je . V tomto případě je tečný svazek triviální: každý je kanonicky izomorfní s přes mapu který odečte , což dává difeomorfismus .
Dalším jednoduchým příkladem je jednotkový kruh, (viz obrázek výše). Tečný svazek kruhu je také triviální a izomorfní . Geometricky to je válec nekonečné výšky.
Jediné tečné svazky, které lze snadno zobrazit, jsou svazky skutečné linie a jednotkový kruh , oba jsou triviální. Pro dvourozměrné potrubí je tečný svazek čtyřrozměrný, a proto je obtížné jej vizualizovat.
Jednoduchým příkladem netriviálního tangensového svazku je jednotková koule : tento tangensový svazek je netriviální jako důsledek teorém o chlupaté kouli. Koule proto není paralelizovatelná.
Vektorová pole
Hladké přiřazení vektoru tečny ke každému bodu potrubí se nazývá a vektorové pole. Konkrétně vektorové pole na potrubí je hladká mapa
tak, že obraz , označeno , leží v , tečný prostor v . V jazyce svazků vláken se taková mapa nazývá a sekce. Vektorové pole na je tedy částí tečného svazku .
Sada všech vektorových polí na je označen . Vektorová pole lze sčítat po bodech
a vynásobeny plynulými funkcemi na M
získat další vektorová pole. Sada všech vektorových polí poté převezme strukturu a modul přes komutativní algebra plynulých funkcí zapnuto M, označeno .
Místní vektorové pole zapnuto je místní sekce tangenta svazku. To znamená, že lokální vektorové pole je definováno pouze na nějaké otevřené sadě a přiřadí ke každému bodu vektor v přidruženém tangenciálním prostoru. Sada místních vektorových polí na tvoří strukturu známou jako a snop skutečných vektorových prostorů .
Výše uvedená konstrukce platí stejně dobře pro kotangensový svazek - diferenciální 1 formy na jsou přesně ty části kotangensového svazku , které se přidružují ke každému bodu 1-covector , které mapují tangenciální vektory na reálná čísla: . Ekvivalentně diferenciální 1 forma mapuje hladké vektorové pole na hladkou funkci .
Tangenty vyššího řádu
Od tangenta svazku je sám o sobě hladký potrubí, tangensový svazek druhého řádu lze definovat opakovaným použitím konstrukce tangensového svazku:
Obecně platí, že objednat tangenciální svazek lze definovat rekurzivně jako .
Hladká mapa má indukovanou derivaci, pro kterou je tangentní svazek příslušnou doménou a rozsahem . Podobně svazky tangenty vyššího řádu poskytují doménu a rozsah pro deriváty vyššího řádu .
Výraznou, ale související konstrukcí jsou svazky trysek na rozdělovači, což jsou svazky skládající se z trysky.
Kanonické vektorové pole na svazku tečny
Na každém tangenciálním svazku , považovat za potrubí sám, lze definovat a kanonické vektorové pole jako úhlopříčná mapa na tečném prostoru v každém bodě. To je možné, protože tečný prostor vektorového prostoru Ž je přirozeně produkt, protože samotný vektorový prostor je plochý a má tedy přirozenou úhlopříčnou mapu dána v rámci této struktury produktu. Aplikováním této struktury produktu na tečný prostor v každém bodě a globalizací se získá kanonické vektorové pole. Neformálně, i když rozdělovač je zakřivená, každá tečná mezera v bodě , , je plochý, takže tangenciální svazek potrubí je lokálně produktem zakřivené a byt Tangenta tangenty svazku tangenty je tedy lokálně (pomocí pro "výběr souřadnic" a pro „přirozenou identifikaci“):
a mapa je projekce na první souřadnice:
Rozdělení první mapy přes nulový řez a druhé mapy o úhlopříčku poskytne kanonické vektorové pole.
Li jsou lokální souřadnice pro , vektorové pole má výraz
Stručněji, - první dvojice souřadnic se nemění, protože se jedná o řez svazku, jedná se pouze o bod v základním prostoru: poslední dvojice souřadnic je samotný řez. Tento výraz pro vektorové pole závisí pouze na , ne na , protože lze přirozeně identifikovat pouze směry tečny.
Alternativně zvažte funkci skalárního násobení:
Derivace této funkce s ohledem na proměnnou v čase je funkce , což je alternativní popis kanonického vektorového pole.
Existence takového vektorového pole na je analogický s kanonický jeden formulář na kotangenský svazek. Někdy se také nazývá Liouville vektorové polenebo radiální vektorové pole. Použitím lze charakterizovat tangenciální svazek. V podstatě, lze charakterizovat pomocí 4 axiomů, a pokud potrubí obsahuje vektorové pole splňující tyto axiomy, pak potrubí je tečný svazek a vektorové pole je kanonické vektorové pole na něm. Viz například De León et al.
Výtahy
Existuje několik způsobů, jak výtah předměty na na objekty na . Například pokud je křivka v , pak (dále jen tečna z ) je křivka v . Naproti tomu bez dalších předpokladů (řekněme a Riemannova metrika ), není podobný výtah do kotangenský svazek.
The vertikální zdvih funkce je funkce definován , kde je kanonická projekce.
Viz také
Poznámky
- ^ A b Disjunktní unie zajišťuje, že pro jakékoli dva body X1 a X2 potrubí tečné mezery T1 a T2 nemají žádný společný vektor. To je graficky znázorněno na doprovodném obrázku pro tečný svazek kruhu S1viz Příklady řez: všechny tečny ke kruhu leží v rovině kruhu. Aby byly nespojené, je nutné je zarovnat v rovině kolmé na rovinu kruhu.
Reference
![]() | tento článek potřebuje další citace pro ověření.Červenec 2009) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony) ( |
- Lee, Jeffrey M. (2009), Rozdělovače a diferenciální geometrie, Postgraduální studium matematiky, Sv. 107, Providence: American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-4815-9
- John M. Lee, Úvod do hladkých potrubí, (2003) Springer-Verlag, New York. ISBN 0-387-95495-3.
- Jürgen Jost, Riemannova geometrie a geometrická analýza, (2002) Springer-Verlag, Berlín. ISBN 3-540-42627-2
- Ralph Abraham a Jerrold E. Marsden, Základy mechaniky, (1978) Benjamin-Cummings, Londýn. ISBN 0-8053-0102-X
- M. De León, E. Merino, J.A. Oubiña, M. Salgado, Charakterizace tečných a stabilních tečných svazků, Annales de l'institut Henri Poincaré (A) Physique théorique, sv. 61, č. 1, 1994, 1-15 [1]