Věta Stone-Weierstrass - Stone–Weierstrass theorem

v matematická analýza, Weierstrassova věta o aproximaci uvádí, že každý spojitá funkce definováno na uzavřeném interval [A, b] může být jednotně aproximován tak blízko, jak si přeje a polynomiální funkce. Protože polynomy patří mezi nejjednodušší funkce a protože počítače mohou polynomy přímo vyhodnocovat, má tato věta praktický i teoretický význam, zejména v polynomiální interpolace. Původní verzi tohoto výsledku stanovil Karl Weierstrass v 1885 za použití Weierstrassova transformace.

Marshall H. Stone značně zobecnil teorém (Kámen 1937 ) a zjednodušil důkaz (Kámen 1948 ). Jeho výsledek je znám jako Věta Stone-Weierstrass. Věta Stone – Weierstrass zobecňuje Weierstrassovu aproximační větu ve dvou směrech: místo skutečného intervalu [A, b], svévolné kompaktní Hausdorffův prostor X se uvažuje a místo algebra polynomiálních funkcí, aproximace s prvky z obecnějších subalgeb C(X)^{[je zapotřebí objasnění ]} je vyšetřován. Věta Stone – Weierstrass je zásadním výsledkem studia algebry spojité funkce v kompaktním Hausdorffově prostoru.

Dále existuje zobecnění věty Stone – Weierstrass na nekompaktní Tychonoffovy mezery, jmenovitě jakákoli spojitá funkce na Tychonoffově prostoru je aproximována rovnoměrně na kompaktních sadách algebrami typu, který se objevuje v teorému Stone – Weierstrass a je popsán níže.

Odlišné zobecnění Weierstrassovy původní věty je Mergelyanova věta, který jej zobecňuje na funkce definované v určitých podmnožinách souboru složité letadlo.

Weierstrassova věta o aproximaci

Výrok o aproximační větě, jak jej původně objevil Weierstrass, je následující:

Weierstrassova věta o aproximaci. Předpokládat  F  je spojitá funkce se skutečnou hodnotou definovaná na reálném intervalu [A, b]. Pro každého ε > 0, existuje polynom str takové, že pro všechny X v [A, b], my máme | F (X) − str(X)| < ε, nebo ekvivalentně nadřazená norma || F  − str|| < ε.

Konstruktivní důkaz použití této věty Bernsteinovy ​​polynomy je na této stránce uvedeno.

Aplikace

V důsledku Weierstrassovy aproximační věty lze ukázat, že prostor C[A, b] je oddělitelný: polynomiální funkce jsou husté a každá polynomiální funkce může být jednotně aproximována jednou s Racionální koeficienty; tam jsou jen nespočetně mnoho polynomy s racionálními koeficienty. Od té doby C[A, b] je měřitelný a oddělitelné z toho vyplývá C[A, b] má mohutnost nejvíce 2^ℵ₀. (Poznámka: Tento výsledek mohutnosti vyplývá také ze skutečnosti, že spojitá funkce v realitách je jednoznačně určena omezením na racionály.)

Věta Stone – Weierstrass, skutečná verze

Sada C[A, b] nepřetržitých funkcí se skutečnou hodnotou [A, b], spolu s normou nadřazenosti || F || = sup_{A ≤ X ≤ b} | F (X)|, je Banachova algebra, (tj asociativní algebra a a Banachův prostor takhle || fg|| ≤ || F ||·||G|| pro všechny  F, G). Sada všech polynomiálních funkcí tvoří subalgebru C[A, b] (tj vektorový podprostor z C[A, b] který je uzavřen při multiplikaci funkcí) a obsah Weierstrassovy aproximační věty je, že tato subalgebra je hustý v C[A, b].

Kámen začíná libovolným kompaktním Hausdorffovým prostorem X a uvažuje o algebře C(X, R) reálných hodnot kontinuálních funkcí na X, s topologií jednotná konvergence. Chce najít subalgebry C(X, R) které jsou husté. Ukazuje se, že rozhodující vlastností, které musí subalgebra vyhovět, je to odděluje body: sada A funkcí definovaných na X se říká, že odděluje body, pokud pro každé dva různé body X a y v X existuje funkce str v A s str(X) ≠ str(y). Nyní můžeme uvést:

Stone – Weierstrassova věta (reálná čísla). Předpokládat X je kompaktní Hausdorffův prostor a A je subalgebra C(X, R) který obsahuje nenulovou konstantní funkci. Pak A je hustá v C(X, R) kdyby a jen kdyby odděluje body.

To implikuje Weierstrassovo původní prohlášení od doby, kdy byly polynomy zapnuty [A, b] tvoří subalgebru C[A, b] který obsahuje konstanty a odděluje body.

Lokálně kompaktní verze

Verze věty Stone – Weierstrass je také pravdivá, když X je pouze místně kompaktní. Nechat C₀(X, R) být prostorem skutečných hodnot spojitých funkcí X který zmizet v nekonečnu; tj. spojitá funkce  F  je v C₀(X, R) pokud pro každého ε > 0, existuje kompaktní sada K. ⊂ X takhle  | F |  < ε na X \ K.. Znovu, C₀(X, R) je Banachova algebra s nadřazená norma. Subalgebra A z C₀(X, R) říká se nikam nezmizet pokud ne všechny prvky A současně zmizet v bodě; to znamená pro každého X v X, některé jsou  F  v A takhle  F (X) ≠ 0. Věta zobecňuje takto:

Stone – Weierstrassova věta (místně kompaktní prostory). Předpokládat X je místně kompaktní Hausdorffův prostor a A je subalgebra C₀(X, R). Pak A je hustá v C₀(X, R) (vzhledem k topologii jednotná konvergence ) právě tehdy, když odděluje body a nikam nezmizí.

Tato verze jasně znamená předchozí verzi v případě, že X je kompaktní, protože v tom případě C₀(X, R) = C (X, R). Existují také obecnější verze Stone – Weierstrass, které oslabují předpoklad místní kompaktnosti.^[1]

Aplikace

Věta Stone – Weierstrass lze použít k prokázání následujících dvou tvrzení, která jdou nad rámec Weierstrassova výsledku.

• Li  F  je spojitá funkce se skutečnou hodnotou definovaná na množině [A, b] × [C, d] a ε > 0, pak existuje polynomiální funkce str ve dvou proměnných tak, že | F (X, y) − str(X, y) | < ε pro všechny X v [A, b] a y v [C, d].^{[Citace je zapotřebí ]}
• Li X a Y jsou dva kompaktní Hausdorffovy prostory a F : X × Y → R je spojitá funkce, pak pro každého ε > 0 existují n > 0 a spojité funkce  F₁, ...,  F_n  na X a spojité funkce G₁, ..., G_n na Y takhle || F − ∑ F_i G_i || < ε.^{[Citace je zapotřebí ]}

Věta má mnoho dalších aplikací pro analýzu, včetně:

• Fourierova řada: Sada lineárních kombinací funkcí E_n(X) = E^2πinx, n ∈ Z je hustá v C ([0, 1] / {0, 1}), kde identifikujeme koncové body intervalu [0, 1] získat kruh. Důležitým důsledkem toho je, že E_n jsou ortonormální základ prostoru L²([0, 1]) z čtvercově integrovatelné funkce na [0, 1].

Věta Stone – Weierstrass, komplexní verze

O něco obecnější je následující věta, kde uvažujeme algebru ${ displaystyle C (X, mathbb {C})}$ komplexních spojitých funkcí na kompaktním prostoru ${ displaystyle X}$, opět s topologií jednotné konvergence. Tohle je C * -algebra s * -operací danou bodově komplexní konjugace.

Stone – Weierstrassova věta (komplexní čísla). Nechat ${ displaystyle X}$ být kompaktním Hausdorffovým prostorem a nechat ${ displaystyle S}$ být oddělovací podmnožina z ${ displaystyle C (X, mathbb {C})}$. Pak komplex unital *-algebra generováno uživatelem ${ displaystyle S}$ je hustá v ${ displaystyle C (X, mathbb {C})}$.

Složitá unital * -algebra generovaná ${ displaystyle S}$ se skládá ze všech těch funkcí, které lze získat z prvků ${ displaystyle S}$ vyvoláním konstantní funkce 1 a přidávat je, vynásobit je, konjugovat je nebo je znásobit složitými skaláry a opakovat konečně mnohokrát.

Tato věta implikuje skutečnou verzi, protože pokud posloupnost funkcí s komplexními hodnotami jednotně aproximuje danou funkci ${ displaystyle f}$, pak reálné části těchto funkcí jednotně aproximují skutečnou část ${ displaystyle f}$. Stejně jako ve skutečném případě platí analogie této věty pro lokálně kompaktní Hausdorffovy prostory.

Kámen – Weierstrassova věta, čtvercová verze

Následující John C. Holladay (1957) : zvažte algebru C(X, H) kvaternionových spojitých funkcí na kompaktním prostoru X, opět s topologií jednotné konvergence. Pokud čtveřice q je napsán ve formě q = A + ib;+ jc + kd pak skalární část a je reálné číslo (q − iqi − jqj − kqk) / 4. Stejně tak je skalární část z -Qi, −qj a -qk : b, c ad jsou respektive reálná čísla (−Qi − iq + jqk − kqj)/4,(−qj − iqk − jq + kqi) / 4 a (-qk + iqj − jqk − kq) / 4. Pak můžeme uvést:

Kámen – Weierstrassova věta (čtveřice čísel). Předpokládat X je kompaktní Hausdorffův prostor a A je subalgebra C(X, H) který obsahuje nenulovou konstantní funkci. Pak A je hustá v C(X, H) kdyby a jen kdyby odděluje body.

Věta Stone – Weierstrass, verze C * -algebra

Prostor spojitých funkcí s komplexní hodnotou na kompaktním Hausdorffově prostoru ${ displaystyle X}$ tj. ${ displaystyle C (X, mathbb {C})}$ je kanonický příklad unitalu komutativní C * -algebra ${ displaystyle { mathfrak {A}}}$. Prostor X lze chápat jako prostor čistých stavů na ${ displaystyle { mathfrak {A}}}$, se slabou * topologií. V návaznosti na výše uvedené narážky je nekomutativní rozšíření věty Stone – Weierstrass, které zůstalo nevyřešeno, následující:

Dohad. Pokud je unital C * -algebra ${ displaystyle { mathfrak {A}}}$ má C * -subalgebra ${ displaystyle { mathfrak {B}}}$ který odděluje čisté stavy ${ displaystyle { mathfrak {A}}}$, pak ${ displaystyle { mathfrak {A}} = { mathfrak {B}}}$.

V roce 1960 Jim Glimm prokázal slabší verzi výše uvedeného dohadu.

Kámen – Weierstrassova věta (C * -algebry).^[2] Pokud je jednotná C * -algebra ${ displaystyle { mathfrak {A}}}$ má C * -subalgebra ${ displaystyle { mathfrak {B}}}$ který odděluje prostor čistého stavu (tj. slabé * uzavření čistých stavů) ${ displaystyle { mathfrak {A}}}$, pak ${ displaystyle { mathfrak {A}} = { mathfrak {B}}}$.

Mřížové verze

Nechat X být kompaktním Hausdorffovým prostorem. Stoneův původní důkaz věty použil myšlenku mříže v C(X, R). Podmnožina L z C(X, R) se nazývá a mříž pokud pro jakékoli dva prvky  F, G ∈ L, funkce max {F, G}, min {F, G} také patří L. Mřížková verze věty Stone – Weierstrass uvádí:

Kámen – Weierstrassova věta (mřížky). Předpokládat X je kompaktní Hausdorffův prostor s minimálně dvěma body a L je mříž v C(X, R) s vlastností, že pro jakékoli dva odlišné prvky X a y z X a jakákoli dvě reálná čísla A a b existuje prvek  F  ∈ L s  F (X) = A a  F (y) = b. Pak L je hustá v C(X, R).

Výše uvedené verze Stone – Weierstrass lze z této verze prokázat, jakmile si člověk uvědomí, že mřížkovou vlastnost lze formulovat také pomocí absolutní hodnota | F | což lze aproximovat polynomy v  F . Varianta věty platí pro lineární podprostory C(X, R) zavřeno pod max. (Hewitt & Stromberg 1965, Věta 7.29):

Kámen – Weierstrassova věta. Předpokládat X je kompaktní Hausdorffův prostor a B je rodina funkcí v C(X, R) takhle

1. B odděluje body.
2. B obsahuje konstantní funkci 1.
3. Li  F  ∈ B pak af  ∈ B pro všechny konstanty A ∈ R.
4. Li  F,  G ∈ B, pak  F  + G, max {F, G} ∈ B.

Pak B je hustá v C(X, R).

K dispozici jsou přesnější informace:

Předpokládat X je kompaktní Hausdorffův prostor s minimálně dvěma body a L je mříž v C(X, R). Funkce φ ∈ C (X, R) patří do uzavření z L právě když pro každou dvojici odlišných bodů X a y v X a pro každého ε > 0 nějaké existují  F  ∈ L pro který | F (X) − φ(X)| < ε a | F (y) − φ(y)| < ε.

Bishopova věta

Další zobecnění věty Stone – Weierstrass je způsobeno Errett Bishop. Bishopova věta je následující (Bishop 1961 ):

Nechat A být uzavřenou subalgebrou komplexu Banachova algebra C(X, C) spojitých komplexních funkcí na kompaktním Hausdorffově prostoru Xpomocí normy supremum. Pro S ⊂ X píšeme A_S = {g |_S : g ∈ A}. Předpokládejme to  F ∈ C (X, C) má následující vlastnost:

 F |_S ∈ A_S pro každou maximální sadu S ⊂ X tak, že všechny skutečné funkce A_S jsou konstantní.

Pak  F  ∈ A.

Glicksberg (1962) dává krátký důkaz o Bishopově teorému pomocí Kerin – Milmanova věta podstatným způsobem, stejně jako Hahnova – Banachova věta : proces Louis de Branges (1959). Viz také Rudin (1973, §5.7).

Nachbinova věta

Nachbinova věta dává analogii pro Stone-Weierstrassovu větu pro algebry složitých hodnotných hladkých funkcí na plynulém potrubí (Nachbin 1949 ). Nachbinova věta je následující (Llavona 1986 ):

Nechat A být subalgebrou algebry C^∞(M) hladkých funkcí na konečně dimenzionálním hladkém potrubí M. Předpokládejme to A odděluje body M a také odděluje tangenciální vektory M: pro každý bod m ∈ M a tečna vektor proti v tečném prostoru v m, tady je F ∈ A takový, že dF(X)(proti) ≠ 0. Potom A je hustá v C^∞(M).

Viz také

• Müntz – Szászova věta.
• Bernsteinův polynom.
• Rungeův fenomén ukazuje, že nalezení polynomu P takhle  F (X) = P(X) pro některé jemně rozmístěné X = X_n je špatný způsob, jak se pokusit najít polynomiální aproximaci  F  jednotně. Lepší přístup, vysvětleno např. v (Rudin 1976 ), s. 160, ekv. (51) a další, je konstrukce polynomů P jednotně aproximovat  F  převzetím konvoluce  F  s rodinou vhodně zvolených polynomiálních jader.
• Mergelyanova věta, týkající se polynomiálních aproximací komplexních funkcí.

Poznámky

Reference

• John C. Holladay (1957), „Věta Kámen – Weierstrass pro čtveřice“ (PDF), Proc. Amer. Matematika. Soc., 8: 656, doi:10.1090 / S0002-9939-1957-0087047-7.
• Louis de Branges (1959), „The Stone – Weierstrass theorem“, Proc. Amer. Matematika. Soc., 10 (5): 822–824, doi:10.1090 / s0002-9939-1959-0113131-7.
• Jan Brinkhuis & Vladimir Tikhomirov (2005) Optimalizace: Statistiky a aplikace, Princeton University Press ISBN  978-0-691-10287-0 PAN2168305.
• Glimm, James (1960), „Kámen – Weierstrassova věta pro C * -algebry“, Annals of Mathematics, Druhá série, 72 (2): 216–244, doi:10.2307/1970133, JSTOR  1970133
• Bishop, Errett (1961), „Zevšeobecnění věty Stone – Weierstrassova věta“, Pacific Journal of Mathematics, 11 (3): 777–783, doi:10.2140 / pjm.1961.11.777.
• Glicksberg, Irving (1962), „Měří kolmo na algebry a sady antisymetrie“, Transakce Americké matematické společnostiTransaction of the American Mathematical Society, sv. 105, č. 3, 105 (3): 415–435, doi:10.2307/1993729, JSTOR  1993729.
• Hewitt, E; Stromberg, K (1965), Reálná a abstraktní analýza, Springer-Verlag.
• Rudin, Walter (1976), Principy matematické analýzy (3. vyd.), McGraw-Hill, ISBN  978-0-07-054235-8.
• Rudin, Walter (1973), Funkční analýzaMcGraw-Hill, ISBN  0-07-054236-8.
• Nachbin, L. (1949), „Sur les algèbres denses de fonctions diffèrentiables sur une variété“, C. R. Acad. Sci. Paříž, 228: 1549–1551
• Llavona, José G. (1986), Aproximace spojitě diferencovatelných funkcí, Amsterdam: Severní Holandsko, ISBN  9780080872414
• JG Burkill, Přednášky o aproximaci polynomy (PDF).

Historická díla

Historická publikace Weierstrass (v německý jazyk ) je volně dostupný z digitálního online archivu Berlin Brandenburgische Akademie der Wissenschaften:

• K. Weierstrass (1885). Über die analytische Darstellbarkeit sogenannter willkürlicher Functionen einer reellen Veränderlichen. Sitzungsberichte der Königlich Preußischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin, 1885 (II).

Erste Mitteilung (část 1) str. 633–639, Zweite Mitteilung (část 2), str. 789–805.

Mezi důležitá historická díla Stone patří:

• Stone, M. H. (1937), „Aplikace teorie booleovských prstenů na obecnou topologii“, Transakce Americké matematické společnostiTransaction of the American Mathematical Society, sv. 41, č. 3, 41 (3): 375–481, doi:10.2307/1989788, JSTOR  1989788.
• Stone, M. H. (1948), „Zobecněná Weierstrassova věta o aproximaci“ (PDF), Matematický časopis, 21 (4): 167–184, doi:10.2307/3029750, hdl:10338.dmlcz / 141501, JSTOR  3029750; 21 (5), 237–254.

externí odkazy

• „Kámen – Weierstrassova věta“, Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS, 2001 [1994]