Vnější produkt - Outer product

v lineární algebra, vnější produkt ze dvou vektory souřadnic je matice. Pokud mají dva vektory rozměry n a m, pak jejich vnějším produktem je n × m matice. Obecněji řečeno, vzhledem k dvěma tenzory (vícerozměrná pole čísel), jejich vnějším produktem je tenzor. Vnější produkt tenzorů se také označuje jako jejich tenzorový produkt a lze jej použít k definování tenzorová algebra.

Vnější produkt kontrastuje s

• The Tečkovaný produkt, který jako vstup vezme dvojici vektorů souřadnic a vytvoří a skalární
• The Produkt Kronecker, která bere jako vstup dvojici matic a vytváří blokovou matici
• Standardní násobení matice

Definice

Vzhledem k tomu, dva vektory

${ displaystyle { begin {aligned} mathbf {u} & = left (u_ {1}, u_ {2}, dots, u_ {m} right) mathbf {v} & = left (v_ {1}, v_ {2}, dots, v_ {n} right) end {zarovnáno}}}$

jejich vnější produkt, označený u ⊗ proti,^[1] je definován jako m × n matice A získá se vynásobením každého prvku u každým prvkem proti:^[2]

${ displaystyle mathbf {u} otimes mathbf {v} = mathbf {A} = { begin {bmatrix} u_ {1} v_ {1} & u_ {1} v_ {2} & dots & u_ {1 } v_ {n} u_ {2} v_ {1} & u_ {2} v_ {2} & dots & u_ {2} v_ {n} vdots & vdots & ddots & vdots u_ {m} v_ {1} & u_ {m} v_ {2} & dots & u_ {m} v_ {n} end {bmatrix}}}$

Nebo v indexové notaci:

${ displaystyle ( mathbf {u} otimes mathbf {v}) _ {ij} = u_ {i} v_ {j}}$

Vnější produkt u ⊗ proti je ekvivalentní a násobení matic uv^T, za předpokladu, že u je reprezentován jako a m × 1 vektor sloupce a proti jako n × 1 vektor sloupce (který tvoří proti^T vektor řádku).^[3][4] Například pokud m = 4 a n = 3, pak

${ displaystyle mathbf {u} otimes mathbf {v} = mathbf {u} mathbf {v} ^ { textyf {T}} = { začátek {bmatrix} u_ {1} u_ {2 } u_ {3} u_ {4} end {bmatrix}} { begin {bmatrix} v_ {1} & v_ {2} & v_ {3} end {bmatrix}} = { begin {bmatrix} u_ {1} v_ {1} & u_ {1} v_ {2} & u_ {1} v_ {3} u_ {2} v_ {1} & u_ {2} v_ {2} & u_ {2} v_ {3} u_ {3} v_ {1} & u_ {3} v_ {2} & u_ {3} v_ {3} u_ {4} v_ {1} & u_ {4} v_ {2} & u_ {4} v_ { 3} end {bmatrix}}.}$^[5]

Pro komplex vektory, je často užitečné vzít konjugovat transponovat z proti, označeno ${ displaystyle mathbf {v} ^ { dagger}}$nebo ${ displaystyle left ( mathbf {v} ^ { textyf {T}} doprava) ^ {*}}$ :

${ displaystyle mathbf {u} otimes mathbf {v} = mathbf {u} mathbf {v} ^ { dagger} = mathbf {u} left ( mathbf {v} ^ { textyf { T}} vpravo) ^ {*}}$.

Kontrast s euklidovským vnitřním produktem

Li m = n, pak lze maticový produkt vzít opačným způsobem, čímž získáme skalární (nebo 1 × 1 matice):

${ displaystyle left langle mathbf {u}, mathbf {v} right rangle = mathbf {u} ^ { textyf {T}} mathbf {v}}$

což je standard vnitřní produkt pro Euklidovské vektorové prostory,^[4] lépe známý jako Tečkovaný produkt. Vnitřní produkt je stopa vnějšího produktu.^[6] Na rozdíl od vnitřní produkt, vnější produkt není komutativní.

Vnější produkt tenzorů

Vzhledem k tomu, dva tenzory u, proti s rozměry ${ displaystyle (k_ {1}, k_ {2}, tečky, k_ {m})}$ a ${ displaystyle (l_ {1}, l_ {2}, tečky, l_ {n})}$, jejich vnější produkt ${ displaystyle mathbf {u} další mathbf {v}}$ je tenzor s rozměry ${ displaystyle (k_ {1}, k_ {2}, tečky, k_ {m}, l_ {1}, l_ {2}, tečky, l_ {n})}$ a záznamy

${ displaystyle ( mathbf {u} otimes mathbf {v}) _ {i_ {1}, i_ {2}, dots i_ {m}, j_ {1}, j_ {2}, dots, j_ {n}} = u_ {i_ {1}, i_ {2}, dots, i_ {m}} v_ {j_ {1}, j_ {2}, dots, j_ {n}}}$

Například pokud A je řádu 3 s rozměry (3, 5, 7) a B je řádu 2 s rozměry (10, 100), pak jejich vnější produkt C je řádu 5 s rozměry (3, 5, 7, 10, 100). Li A má komponentu A_{[2, 2, 4]} = 11 a B má komponentu B_{[8, 88]} = 13, pak součást C tvořený vnějším produktem je C_{[2, 2, 4, 8, 88]} = 143.

Spojení s produktem Kronecker

Vnější produkt a produkt Kronecker spolu úzce souvisí; ve skutečnosti se pro označení obou operací běžně používá stejný symbol.

Li ${ displaystyle mathbf {u} = { begin {bmatrix} 1 & 2 & 3 end {bmatrix}} ^ { textyf {T}}}$ a ${ displaystyle mathbf {v} = { begin {bmatrix} 4 & 5 end {bmatrix}} ^ { textyf {T}}}$, my máme:

${ displaystyle { begin {zarovnáno} mathbf {u} otimes _ { text {Kron}} mathbf {v} & = { begin {bmatrix} 4 5 8 10 12 15 end {bmatrix}}, & mathbf {u} otimes _ { text {vnější}} mathbf {v} & = { begin {bmatrix} 4 & 5 8 & 10 12 & 15 end {bmatrix }} end {zarovnáno}}}$

V případě vektorů sloupců lze produkt Kronecker zobrazit jako formu vektorizace (nebo zploštění) vnějšího produktu. Zejména pro dva sloupcové vektory ${ displaystyle mathbf {u}}$ a ${ displaystyle mathbf {v}}$, můžeme psát:

${ displaystyle mathbf {u} otimes _ { text {Kron}} mathbf {v} = operatorname {vec} ( mathbf {v} otimes _ { text {vnější}} mathbf {u} )}$

Všimněte si, že pořadí vektorů je obráceno na pravé straně rovnice.

Další podobná identita, která dále zdůrazňuje podobnost mezi operacemi, je

${ displaystyle mathbf {u} otimes _ { text {Kron}} mathbf {v} ^ { textyf {T}} = mathbf {u} mathbf {v} ^ { textyf {T}} = mathbf {u} otimes _ { mathrm {vnější}} mathbf {v}}$

kde pořadí vektorů nemusí být převráceno. Střední výraz používá násobení matic, kde vektory jsou považovány za matice sloupců / řádků.

Vlastnosti

Vnější produkt vektorů splňuje následující vlastnosti:

${ displaystyle { begin {aligned} ( mathbf {u} otimes mathbf {v}) ^ { textyf {T}} & = ( mathbf {v} otimes mathbf {u}) ( mathbf {v} + mathbf {w}) otimes mathbf {u} & = mathbf {v} otimes mathbf {u} + mathbf {w} otimes mathbf {u} mathbf {u} otimes ( mathbf {v} + mathbf {w}) & = mathbf {u} otimes mathbf {v} + mathbf {u} otimes mathbf {w} c ( mathbf {v} otimes mathbf {u}) & = (c mathbf {v}) otimes mathbf {u} = mathbf {v} otimes (c mathbf {u}) end {zarovnáno} }}$

Vnější produkt tenzorů splňuje další asociativita vlastnictví:

${ displaystyle ( mathbf {u} otimes mathbf {v}) otimes mathbf {w} = mathbf {u} otimes ( mathbf {v} otimes mathbf {w})}$

Pořadí vnějšího produktu

Li u a proti jsou oba nenulové, pak vnější matice produktu uv^T vždycky hodnost matice 1. Ve skutečnosti jsou sloupce vnějšího produktu úměrné prvnímu sloupci. Tak jsou všichni lineárně závislé v tomto jednom sloupci je matice první úrovně.

(„Matrix rank“ by neměl být zaměňován s „tenzorové pořadí „nebo„ stupeň tenzoru “, který se někdy označuje jako„ hodnost “.)

Definice (abstrakt)

Nechat PROTI a Ž být dva vektorové prostory. Vnější produkt z ${ displaystyle v ve V}$ a ${ displaystyle w in W}$ je prvek ${ displaystyle v otimes w in V otimes W}$.

Li PROTI je vnitřní produktový prostor, pak je možné definovat vnější produkt jako lineární mapu PROTI → Ž. V takovém případě lineární mapa ${ displaystyle x mapsto langle v, x rangle}$ je prvkem dvojí prostor z PROTI. Vnější produkt PROTI → Ž je pak dáno

${ displaystyle (v otimes w) (x) = langle v, x rangle w}$

To ukazuje, proč konjugovaná transpozice proti se v komplexním případě běžně užívá.

V programovacích jazycích

V některých programovacích jazycích je dána funkce se dvěma argumenty F (nebo binární operátor), vnější produkt F a dvě jednorozměrná pole A a B je dvourozměrné pole C takhle C [i, j] = f (A [i], B [j]). Toto je syntakticky znázorněno různými způsoby: v APL, jako binární operátor infix ∘.F; v J, jako příslovce postfix F/; v R, jako funkce vnější(A, B, F) nebo speciální %Ó%;^[7] v Mathematica, tak jako Vnější[F,A,B]. V MATLABu funkce kron(A, B) se používá pro tento produkt. Často se zobecňují na vícerozměrné argumenty a více než dva argumenty.

V Krajta knihovna NumPy, vnější produkt lze vypočítat s funkcí np.outer ().^[8]V porovnání, np.kron má za následek ploché pole. Vnější součin vícerozměrných polí lze vypočítat pomocí np.multiply.outer.

Aplikace

Protože vnější produkt úzce souvisí s Produkt Kronecker, některé aplikace produktu Kronecker používají vnější produkty. Tyto aplikace se nacházejí v kvantové teorii, zpracování signálu, a komprese obrazu.^[9]

Spinors

Předpokládat s, t, w, z That ℂ tak, aby (Svatý) a (w, z) jsou v ℂ². Pak je vnějším produktem těchto komplexních 2-vektorů prvek M (2, ℂ), komplexní matice 2 × 2:

${ displaystyle { begin {pmatrix} sw & tw sz & tz end {pmatrix}}.}$ The určující této matice je swtz − sztw = 0 kvůli komutativní vlastnost z ℂ.

V teorii rotory ve třech rozměrech, tyto matice jsou spojeny s izotropní vektory kvůli této nulové vlastnosti. Élie Cartan popsal tuto konstrukci v roce 1937,^[10] ale bylo zavedeno Wolfgang Pauli v roce 1927^[11] takže M (2, ℂ) přišlo být voláno Pauli algebra.

Koncepty

Bloková forma vnějších produktů je užitečná při klasifikaci. Konceptová analýza je studie, která závisí na určitých vnějších produktech:

Pokud má vektor jako položky pouze nuly a jedničky, nazývá se a logický vektor, speciální případ a logická matice. Logická operace a nahrazuje množení. Vnější součin dvou logických vektorů (u_i) a (proti_j) je dána logickou maticí ${ displaystyle left (a_ {ij} right) = left (u_ {i} land v_ {j} right)}$. Tento typ matice se používá při studiu binární vztahy, a nazývá se a obdélníkový vztah nebo a křížový vektor.^[12]

Viz také

• Dyadics
• Transformace domácnosti
• Norm (matematika)
• Bodová matice
• Ricciho počet

produkty

• kartézský součin
• Křížový produkt
• Vnější produkt
• Produkt Hadamard

Dualita

• Složitý konjugát
• Konjugujte transpozici
• Přemístit
• Bracketová notace pro vnější produkt

Reference

Další čtení

• Carlen, Eric; Canceicao Carvalho, Maria (2006). „Vnější produkty a ortogonální projekce“. Lineární algebra: od začátku. Macmillana. 217–218.