Rovnoběžnostěn - Parallelepiped - Wikipedia

Rovnoběžnostěn
Typ	Hranol Plesiohedron
Tváře	6 rovnoběžníky
Hrany	12
Vrcholy	8
Skupina symetrie	Ci, [2+,2+], (×), objednávka 2
Vlastnosti	konvexní, zonohedron

v geometrie, a rovnoběžnostěn, rovnoběžnostěn nebo rovnoběžník je trojrozměrná postava tvořená šesti rovnoběžníky (termín kosodélník se někdy také používá s tímto významem). Analogicky se týká a rovnoběžník stejně jako krychle se týká a náměstí. v Euklidovská geometrie, čtyři pojmy -rovnoběžnostěn a krychle ve třech rozměrech, rovnoběžník a náměstí ve dvou dimenzích - jsou definovány, ale v kontextu obecnějšího afinní geometrie, ve kterém úhly nejsou rozlišeny, pouze rovnoběžníky a rovnoběžnostěny existovat. Tři ekvivalentní definice rovnoběžnostěn jsou

• A mnohostěn se šesti tvářemi (šestistěn ), z nichž každý je rovnoběžník,
• šestiúhelník se třemi páry paralelních ploch a
• A hranol jehož základem je a rovnoběžník.

Obdélníkový kvádr (šest obdélníkový tváře), krychle (šest náměstí tváře) a kosočtverec (šest kosočtverec tváře) jsou všechny konkrétní případy rovnoběžnostěnu.

„Rovnoběžník“ se nyní obvykle vyslovuje /ˌstratdəlɛlɪˈstrɪstrɛd/, /ˌstratdəlɛlɪˈstraɪstrɛd/nebo /-strɪd/; tradičně to bylo /ˌstratdəlɛlˈɛstrɪstrɛd/ PARR-ə-lel-EP-i-ped^[1] v souladu se svou etymologií v řecký παραλληλ-επίπεδον, těleso "mající paralelní roviny".

Parallelepipeds jsou podtřídou prizmatoidy.

Vlastnosti

Na kteroukoli ze tří dvojic paralelních ploch lze pohlížet jako na základní roviny hranolu. Rovnoběžník má tři sady čtyř rovnoběžných hran; okraje v každé sadě mají stejnou délku.

Rovnoběžnostěn vyplývá z lineární transformace a krychle (pro nedegenerované případy: bijektivní lineární transformace).

Protože každá tvář má bodová symetrie, rovnoběžnostěn je zonohedron. Celá rovnoběžnostěn má také bodovou symetrii C_i (viz také triclinic ). Každá tvář je při pohledu zvenčí zrcadlovým obrazem opačné tváře. Tváře jsou obecně chirální, ale rovnoběžnostěn není.

A prostorová mozaikování je možné s shodný kopie jakéhokoli rovnoběžnostěnu.

Objem

Rovnoběžnostěn, generovaný třemi vektory

Parallelepiped lze považovat za šikmý hranol s rovnoběžník jako základna. Proto objem ${ displaystyle V}$ rovnoběžnostěnu je produktem základní plochy ${ displaystyle B}$ a výška ${ displaystyle h}$ (viz schéma). S

${ displaystyle B = | { vec {a}} | cdot | { vec {b}} | cdot sin gamma = | { vec {a}} krát { vec {b}} | ~}$ (kde ${ displaystyle gamma}$ je úhel mezi vektory ${ displaystyle { vec {a}}}$ a ${ displaystyle { vec {b}}}$), a

${ displaystyle h = | { vec {c}} | cdot | cos theta ~ | ~}$ (kde ${ displaystyle theta}$ je úhel mezi vektorem ${ displaystyle { vec {c}}}$ a normální k základně), jeden dostane:

${ displaystyle V = B cdot h = (| { vec {a}} || { vec {b}} | sin gamma) cdot | { vec {c}} || cos theta ~ | = | { vec {a}} times { vec {b}} | ~ | { vec {c}} | ~ | cos theta ~ | = | ({ vec {a}} krát { vec {b}}) cdot { vec {c}} | ~.}$

Smíšený produkt tří vektorů se nazývá trojitý produkt. To může být popsáno a určující. Proto pro ${ displaystyle { vec {a}} = (a_ {1}, a_ {2}, a_ {3}) ^ {T}, ~ { vec {b}} = (b_ {1}, b_ {2 }, b_ {3}) ^ {T}, ~ { vec {c}} = (c_ {1}, c_ {2}, c_ {3}) ^ {T},}$ objem je:

(V1) ${ displaystyle quad V = left | det { begin {bmatrix} a_ {1} & b_ {1} & c_ {1} a_ {2} & b_ {2} & c_ {2} a_ {3} & b_ {3} & c_ {3} end {bmatrix}} ; right |}$ .

Alternativní znázornění svazku používá pouze geometrické vlastnosti (úhly a délky hran):

(V2)${ displaystyle quad V = abc { sqrt {1 + 2 cos ( alpha) cos ( beta) cos ( gamma) - cos ^ {2} ( alpha) - cos ^ {2 } ( beta) - cos ^ {2} ( gamma)}}}$ ,

kde ${ displaystyle alpha = úhel ({ vec {b}}, { vec {c}}), ; beta = úhel ({ vec {a}}, { vec {c}} ), ; gamma = úhel ({ vec {a}}, { vec {b}}), }$ a ${ displaystyle a, b, c}$ jsou délky hran.

Důkaz (V2)

Důkaz (V2) používá vlastnosti determinantu a geometrická interpretace tečkového součinu:

Nech být ${ displaystyle M}$ matice 3x3, jejíž sloupce jsou vektory ${ displaystyle { vec {a}}, { vec {b}}, { vec {c}}}$ (viz výše). Pak platí následující:

${ displaystyle V ^ {2} = ( det M) ^ {2} = det M det M = det M ^ {T} det M = det (M ^ {T} M)}$

${ displaystyle = det { begin {bmatrix} { vec {a}} cdot { vec {a}} & { vec {a}} cdot { vec {b}} & { vec { a}} cdot { vec {c}} { vec {b}} cdot { vec {a}} a { vec {b}} cdot { vec {b}} & { vec {b}} cdot { vec {c}} { vec {c}} cdot { vec {a}} & { vec {c}} cdot { vec {b}} & { vec {c}} cdot { vec {c}} konec {bmatrix}}}$

(rozšíření determinantu výše přes první řádek)

${ displaystyle = a ^ {2} left (b ^ {2} c ^ {2} -b ^ {2} c ^ {2} cos ( alpha) right)}$

${ displaystyle -ab cos ( gamma) left (ab cos ( gamma) c ^ {2} -ac cos ( beta) ; bc cos ( alpha) right)}$

${ displaystyle + ac cos ( beta) vlevo (ab cos ( gamma) bc cos ( alpha) -ac cos ( beta) b ^ {2} vpravo)}$

${ displaystyle = a ^ {2} b ^ {2} c ^ {2} -a ^ {2} b ^ {2} c ^ {2} cos ( alpha)}$

${ displaystyle -a ^ {2} b ^ {2} c ^ {2} cos ^ {2} ( gamma) + a ^ {2} b ^ {2} c ^ {2} cos ( alfa ) cos ( beta) cos ( gama)}$

${ displaystyle + a ^ {2} b ^ {2} c ^ {2} cos ( alpha) cos ( beta) cos ( gamma) -a ^ {2} b ^ {2} c ^ {2} cos ( beta)}$

${ displaystyle = a ^ {2} b ^ {2} c ^ {2} vlevo (1- cos ^ {2} ( alpha) - cos ^ {2} ( gamma) + cos ( alpha) cos ( beta) cos ( gamma) + cos ( alpha) cos ( beta) cos ( gamma) + cos ^ {2} ( beta) vpravo)}$

${ displaystyle = a ^ {2} b ^ {2} c ^ {2} ; left (1 + 2 cos ( alpha) cos ( beta) cos ( gamma) - cos ^ {2} ( alpha) - cos ^ {2} ( beta) - cos ^ {2} ( gamma) right).}$

(Poslední kroky použít ${ displaystyle { vec {a}} cdot { vec {a}} = a ^ {2}, ..., ; { vec {a}} cdot { vec {b}} = ab cos gamma, ; { vec {a}} cdot { vec {c}} = ac cos beta, ; { vec {b}} cdot { vec {c}} = bc cos alpha, ...}$)

Odpovídající čtyřstěn

Objem libovolného čtyřstěn který sdílí tři sbíhající se hrany rovnoběžnostěnu se rovná jedné šestině objemu tohoto rovnoběžnostěnu (viz důkaz ).

Plocha povrchu

Plocha rovnoběžnostěnu je součtem ploch ohraničujících rovnoběžníků:

${ displaystyle A = 2 cdot left (| { vec {a}} times { vec {b}} | + | { vec {a}} times { vec {c}} | + | { vec {b}} krát { vec {c}} | vpravo)}$

${ displaystyle = 2 (ab sin gamma + bc sin alpha + ca sin beta) }$.

(Pro označení: viz předchozí část.)

Zvláštní případy symetrií

Vztahy podskupiny s osmibokou symetrií s inverzní centrum

Zvláštní případy rovnoběžnostěnu

Formulář	Krychle	Čtvercový kvádr	Trigonální lichoběžník	Obdélníkový kvádr	Pravý kosočtverečný hranol	Pravý rovnoběžníkový hranol	Šikmý kosočtverečný hranol
Omezení	${ displaystyle a = b = c}$ ${ displaystyle alpha = beta = gamma = 90 ^ { circ}}$	${ displaystyle a = b}$ ${ displaystyle alpha = beta = gamma = 90 ^ { circ}}$	${ displaystyle a = b = c}$ ${ displaystyle alpha = beta = gama}$	${ displaystyle alpha = beta = gamma = 90 ^ { circ}}$	${ displaystyle a = b}$ ${ displaystyle alpha = beta = 90 ^ { circ}}$	${ displaystyle alpha = beta = 90 ^ { circ}}$	${ displaystyle a = b}$ ${ displaystyle alpha = beta}$
Symetrie	Óh objednávka 48	D4h objednávka 16	D3d objednávka 12	D2h objednávka 8		C2h objednávka 4
obraz
Tváře	6 čtverců	2 čtverce, 4 obdélníky	6 kosočtverců	6 obdélníků	4 obdélníky, 2 kosočtverce	4 obdélníky, 2 rovnoběžníky	2 kosočtverce, 4 rovnoběžníky

• Rovnoběžník s O_h symetrie je známá jako a krychle, který má šest shodných hranatých ploch.
• Rovnoběžník s D._4h symetrie je známá jako a hranatý kvádr, který má dvě čtvercové plochy a čtyři shodné obdélníkové plochy.
• Rovnoběžník s D._3d symetrie je známá jako a trigonální lichoběžník, který má šest shodných kosočtverečný tváře (nazývané také isohedral rhombohedron).
• Pro rovnoběžnostěny s D._2h symetrie, existují dva případy:
  • Obdélníkový kvádr: má šest obdélníkových ploch (také nazývaných a obdélníkový rovnoběžnostěn, nebo někdy jednoduše a kvádr).
  • Pravý kosočtverečný hranol: má dvě kosočtverečné tváře a čtyři shodné obdélníkové tváře.

Poznámka: zcela kosočtverečný speciální případ se dvěma kosočtverečnými plochami a čtyřmi shodnými hranatými plochami ${ displaystyle (a = b = c)}$, má stejný název a stejnou skupinu symetrie (D_2h , objednávka 8).

• Pro rovnoběžnostopy s C._2h symetrie, existují dva případy:
  • Pravý rovnoběžníkový hranol: má čtyři obdélníkové tváře a dvě rovnoběžníky.
  • Šikmý kosočtverečný hranol: má dvě kosočtverečné tváře, zatímco u ostatních tváří jsou dvě sousední stejné a další dvě také (tyto dva páry jsou navzájem zrcadlovým obrazem).

Perfektní rovnoběžnostěn

A perfektní rovnoběžnostěn je rovnoběžnostěn s hranami celočíselné délky, úhlopříčkami obličeje a vesmírné úhlopříčky. V roce 2009 bylo prokázáno, že existují desítky dokonalých rovnoběžnostěnů,^[2] odpověď na otevřenou otázku Richard Guy. Jeden příklad má hrany 271, 106 a 103, malé čelní úhlopříčky 101, 266 a 255, hlavní čelní úhlopříčky 183, 312 a 323 a vesmírné úhlopříčky 374, 300, 278 a 272.

Jsou známy některé dokonalé rovnoběžníky, které mají dvě obdélníkové plochy. Není však známo, zda existují nějaké se všemi plochami obdélníkovými; takový případ by se nazýval perfektní kvádr.

Rovnoběžník

Coxeter nazývá se zobecněním rovnoběžnostěnu ve vyšších dimenzích a rovnoběžník.

Konkrétně v n-rozměrný prostor, kterému se říká n-rozměrný rovnoběžník, nebo jednoduše n-paralelotop. Tak a rovnoběžník je 2-rovnoběžník a rovnoběžnostěn je 3-rovnoběžník.

Obecněji rovnoběžník,^[3] nebo voronoi paralelotop, má paralelní a shodné opačné aspekty. 2paralelotop je tedy paralelní přihlášení který může také zahrnovat určité šestiúhelníky a 3-rovnoběžník je a rovnoběžník, včetně 5 druhů mnohostěnů.

The úhlopříčky z n-parallelotope protínají v jednom bodě a jsou rozděleny tímto bodem. Inverze v tomto bodě opouští n-paralelotop beze změny. Viz také pevné body izometrických skupin v euklidovském prostoru.

Okraje vyzařující z jednoho vrcholu a k-paralelotop tvoří a k-rám ${ displaystyle (v_ {1}, ldots, v_ {n})}$ vektorového prostoru a rovnoběžník lze z těchto vektorů získat lineárními kombinacemi vektorů s váhami mezi 0 a 1.

The n-objem an n-paralelotop vložený do ${ displaystyle mathbb {R} ^ {m}}$ kde ${ displaystyle m geq n}$ lze vypočítat pomocí Gram determinant. Alternativně je objem normou vnější produkt vektorů:

${ displaystyle V = left | v_ {1} wedge cdots wedge v_ {n} right |.}$

Li m = n, to se rovná absolutní hodnotě determinantu n vektory.

Další vzorec pro výpočet objemu souboru n-paralelotop P v ${ displaystyle mathbb {R} ^ {n}}$, jehož n + 1 vrcholy jsou ${ displaystyle V_ {0}, V_ {1}, ldots, V_ {n}}$, je

${ displaystyle { rm {Vol}} (P) = | { rm {det}} ([V_ {0} 1] ^ { rm {T}}, [V_ {1} 1] ^ { rm {T}}, ldots, [V_ {n} 1] ^ { rm {T}}) |,}$

kde ${ displaystyle [V_ {i} 1]}$ je řádkový vektor vytvořený zřetězením ${ displaystyle V_ {i}}$ a 1. Ve skutečnosti je determinant beze změny, pokud ${ displaystyle [V_ {0} 1]}$ je odečteno od ${ displaystyle [V_ {i} 1]}$ (i > 0) a umístění ${ displaystyle [V_ {0} 1]}$ na poslední pozici se změní pouze její znaménko.

Obdobně objem libovolného n-simplexní který sdílí n konvergující hrany rovnoběžníku má objem rovný jedné 1 /n! objemu tohoto rovnoběžníku.

Lexikografie

Slovo se zobrazí jako rovnoběžník v Sir Henry Billingsley překlad Euklidovy prvky, ze dne 1570. V jeho vydání z roku 1644 Cursus mathematicus, Pierre Hérigone použil hláskování rovnoběžník. The Oxfordský anglický slovník cituje současnost rovnoběžnostěn jako první se objeví v Walter Charleton Chorea gigantum (1663).

Charles Hutton Slovník (1795) ukazuje rovnoběžnostěn a rovnoběžník, ukazující vliv kombinující formy paralelně, jako by to byl druhý prvek pipedon spíše než epipedon. Noah Webster (1806) zahrnuje pravopis rovnoběžnostěn. Vydání 1989 Oxfordský anglický slovník popisuje rovnoběžnostěn (a rovnoběžnostěn) výslovně jako nesprávné tvary, ale ty jsou ve vydání z roku 2004 uvedeny bez komentáře a pouze výslovnosti s důrazem na pátou slabiku pi (/ paɪ /) jsou uvedeny.

Změna od tradiční výslovnosti skryla různé rozdělení navržené řeckými kořeny, s epi- („zapnuto“) a pedon („pozemní“) kombinace dát epiped, ploché „letadlo“. Plochy rovnoběžnostěnu jsou tedy rovinné, přičemž protilehlé plochy jsou rovnoběžné.

Viz také

• Seznamy tvarů

Poznámky

Reference

• Coxeter, H. S. M. Pravidelné Polytopes, 3. vyd. New York: Dover, str. 122, 1973. (Definuje rovnoběžník jako zobecnění rovnoběžníku a rovnoběžnostěn v n-dimenzích.)

externí odkazy

• Weisstein, Eric W. "Rovnoběžnostěn". MathWorld.
• Weisstein, Eric W. „Rovnoběžník“. MathWorld.
• Papírový model rovnoběžnostěn (čistý)