Vedlejší (lineární algebra) - Minor (linear algebra)

v lineární algebra, a Méně důležitý a matice A je určující některých menších čtvercová matice, odříznout od A odstraněním jednoho nebo více jejích řádků a sloupců. Nezletilí získaní odstraněním pouze jednoho řádku a jednoho sloupce ze čtvercových matic (první nezletilí) jsou potřebné pro výpočet matice kofaktory, které jsou zase užitečné pro výpočet determinantu i inverzní čtvercových matic.

Definice a ilustrace

První nezletilí

Li A je čtvercová matice, pak Méně důležitý záznamu v i th řádek a j th sloupec (také volal (i, j) Méně důležitýnebo první menší^[1]) je určující z submatice vytvořen odstraněním i th řádek a j th sloupec. Toto číslo je často označováno M_{já, j}. (i, j) kofaktor se získá vynásobením nezletilého číslem ${ displaystyle (-1) ^ {i + j}}$.

Pro ilustraci těchto definic zvažte následující matici 3 x 3,

${ displaystyle { begin {bmatrix} , , , 1 & 4 & 7 , , , 3 & 0 & 5 - 1 & 9 & ! 11 end {bmatrix}}}$

Vypočítat nezletilého M_2,3 a kofaktor C_2,3, najdeme determinant výše uvedené matice s odstraněným řádkem 2 a sloupcem 3.

${ displaystyle M_ {2,3} = det { begin {bmatrix} , , 1 & 4 & Box , , Box & Box & Box , - 1 & 9 & Box , end {bmatrix}} = det { begin {bmatrix} , , , 1 & 4 , - 1 & 9 , end {bmatrix}} = (9 - (- 4)) = 13 }$

Takže kofaktor vstupu (2,3) je

${ displaystyle C_ {2,3} = (- 1) ^ {2 + 3} (M_ {2,3}) = - 13.}$

Obecná definice

Nechat A být m × n matice a k an celé číslo s 0 < k ≤ m, a k ≤ n. A k × k Méně důležitý z A, také zvaný vedlejší determinant řádu k z A nebo když m = n, (n−k)th menší determinant z A (slovo „determinant“ je často vynecháno a slovo „stupeň“ je někdy používáno místo „pořadí“) je determinant k × k matice získaná z A vymazáním m−k řádky a n−k sloupce. Někdy se tento termín používá k označení k × k matice získaná z A jak je uvedeno výše (odstraněním m−k řádky a n−k sloupce), ale tato matice by měla být označována jako a (čtvercová) submatice z A, přičemž pojem „menší“ ponecháváme pro označení determinantu této matice. Pro matici A jak je uvedeno výše, existuje celkem ${ displaystyle {m zvolit k} cdot {n zvolit k}}$ nezletilí velikosti k × k. The menší než nula objednávky je často definován jako 1. Pro čtvercovou matici je nula menší je jen determinant matice.^[2][3]

Nechat ${ displaystyle 1 leq i_ {1}$ a ${ displaystyle 1 leq j_ {1}$ být řazeny sekvence indexů (v přirozeném pořadí, jak se vždy předpokládá, když mluvíme o nezletilých), zavolejte jim Já a J, resp. Nezletilý ${ displaystyle det left ((A_ {i_ {p}, j_ {q}}) _ {p, q = 1, ldots, k} right)}$ odpovídá těmto možnostem indexů ${ displaystyle det _ {I, J} A}$ nebo ${ displaystyle [A] _ {já, J}}$ nebo ${ displaystyle M_ {já, J}}$ nebo ${ displaystyle M_ {i_ {1}, i_ {2}, ldots, i_ {k}, j_ {1}, j_ {2}, ldots, j_ {k}}}$ nebo ${ displaystyle M _ {(i), (j)}}$ (Kde ${ displaystyle (i)}$ označuje posloupnost indexů Jáatd.), v závislosti na zdroji. V literatuře se také používají dva typy denotací: vedlejší související s uspořádanými sekvencemi indexů Já a J, někteří autoři^[4] znamená determinant matice, která je vytvořena výše, převzetím prvků původní matice z řádků, jejichž indexy jsou v Já a sloupce, jejichž indexy jsou v J, zatímco někteří další autoři mají na mysli nezletilého spojeného s Já a J determinant matice vytvořené z původní matice odstraněním řádků v Já a sloupce v J.^[2] Která notace se použije, je třeba vždy zkontrolovat z daného zdroje. V tomto článku používáme inkluzivní definici výběru prvků z řádků Já a sloupce J. Výjimečným případem je případ prvního nezletilého nebo (i, j) -minor popsaný výše; v takovém případě výlučný význam ${ displaystyle M_ {i, j} = det left ( left (A_ {p, q} right) _ {p neq i, q neq j} right)}$ je standardem všude v literatuře a je používán také v tomto článku.

Doplněk

Doplněk, B_{ijk ..., pqr ...}nezletilého, M_{ijk ..., pqr ...}, čtvercové matice, A, je tvořen determinantem matice A ze kterého jsou všechny řádky (ijk ...) a sloupce (pqr ...) spojený s M_{ijk ..., pqr ...} byly odstraněny. Doplněk první menší prvku A_ij je pouze tím prvkem.^[5]

Aplikace nezletilých a kofaktorů

Kofaktorová expanze determinantu

Kofaktory jsou prominentně součástí Laplaceův vzorec pro expanzi determinantů, což je metoda výpočtu větších determinantů z hlediska menších. Vzhledem k n × n matice ${ displaystyle A = (a_ {ij})}$, determinant A, označeno det (A), lze zapsat jako součet kofaktorů libovolného řádku nebo sloupce matice vynásobený položkami, které je generovaly. Jinými slovy, definování ${ displaystyle C_ {ij} = (- 1) ^ {i + j} M_ {ij}}$ pak expanze kofaktoru podél j th sloupec dává:

${ displaystyle det ( mathbf {A}) = a_ {1j} C_ {1j} + a_ {2j} C_ {2j} + a_ {3j} C_ {3j} + cdots + a_ {nj} C_ { nj} = sum _ {i = 1} ^ {n} a_ {ij} C_ {ij} = sum _ {i = 1} ^ {n} a_ {ij} (- 1) ^ {i + j} M_ {ij}}$

Expanze kofaktoru podél i th řádek dává:

${ displaystyle det ( mathbf {A}) = a_ {i1} C_ {i1} + a_ {i2} C_ {i2} + a_ {i3} C_ {i3} + cdots + a_ {in} C_ { in} = sum _ {j = 1} ^ {n} a_ {ij} C_ {ij} = sum _ {j = 1} ^ {n} a_ {ij} (- 1) ^ {i + j} M_ {ij}}$

Inverze matice

Lze zapsat inverzní funkci k invertibilní matice výpočtem jeho kofaktorů pomocí Cramerovo pravidlo, jak následuje. Matice tvořená všemi kofaktory čtvercové matice A se nazývá kofaktorová matice (nazývané také matice kofaktorů nebo comatrix):

${ displaystyle mathbf {C} = { begin {bmatrix} C_ {11} & C_ {12} & cdots & C_ {1n} C_ {21} & C_ {22} & cdots & C_ {2n} vdots & vdots & ddots & vdots C_ {n1} & C_ {n2} & cdots & C_ {nn} end {bmatrix}}}$

Pak inverzní z A je transpozice matice kofaktoru krát převrácená hodnota determinantu A:

${ displaystyle mathbf {A} ^ {- 1} = { frac {1} { operatorname {det} ( mathbf {A})}} mathbf {C} ^ { mathsf {T}}.}$

Transpozice matice kofaktorů se nazývá doplnit matice (nazývaná také klasický adjoint) z A.

Výše uvedený vzorec lze zobecnit následovně: Let ${ displaystyle 1 leq i_ {1}$ a ${ displaystyle 1 leq j_ {1}$ být seřazené sekvence (v přirozeném pořadí) indexů (zde A je n × n matice). Pak^[6]

${ displaystyle [ mathbf {A} ^ {- 1}] _ {I, J} = pm { frac {[ mathbf {A}] _ {J ', I'}} { det mathbf { A}}},}$

kde Já, J ' označit seřazené posloupnosti indexů (indexy jsou v přirozeném řádu, jak je uvedeno výše) komplementární k Já, J, takže každý index 1, ..., n se objeví přesně jednou v obou Já nebo Já, ale ne v obou (podobně pro J a J ') a ${ displaystyle [ mathbf {A}] _ {já, J}}$ označuje determinant submatice A vytvořen výběrem řádků sady indexů Já a sloupce sady indexů J. Taky, ${ displaystyle [ mathbf {A}] _ {I, J} = det left ((A_ {i_ {p}, j_ {q}}) _ {p, q = 1, ldots, k} že jo)}$. Jednoduchý důkaz lze prokázat pomocí klínového produktu. Vskutku,

${ displaystyle [ mathbf {A} ^ {- 1}] _ {I, J} (e_ {1} klín ldots klín e_ {n}) = pm ( mathbf {A} ^ {- 1 } e_ {j_ {1}}) wedge ldots wedge ( mathbf {A} ^ {- 1} e_ {j_ {k}}) wedge e_ {i '_ {1}} wedge ldots klín e_ {i '_ {nk}},}$

kde ${ displaystyle e_ {1}, ldots, e_ {n}}$ jsou základní vektory. Jednat A na obou stranách jeden dostane

${ displaystyle [ mathbf {A} ^ {- 1}] _ {I, J} det mathbf {A} (e_ {1} klín ldots klín e_ {n}) = pm (e_ { j_ {1}}) wedge ldots wedge (e_ {j_ {k}}) wedge ( mathbf {A} e_ {i '_ {1}}) wedge ldots wedge ( mathbf {A } e_ {i '_ {nk}}) = pm [ mathbf {A}] _ {J', I '} (e_ {1} wedge ldots wedge e_ {n}).}$

Znamení lze vypracovat ${ displaystyle (-1) ^ { součet _ {s = 1} ^ {k} i_ {s} - součet _ {s = 1} ^ {k} j_ {s}}}$, takže znaménko je určeno součty prvků v Já a J.

Další aplikace

Vzhledem k m × n matice s nemovitý záznamy (nebo záznamy z jiných) pole ) a hodnost r, pak existuje alespoň jedna nenulová r × r menší, zatímco všichni větší nezletilí jsou nuloví.

Pro nezletilé použijeme následující notaci: pokud A je m × n matice, Já je podmnožina z {1, ...,m} s k prvky a J je podmnožinou {1, ...,n} s k prvky, pak napíšeme [A]_Já,J pro k × k menší z A který odpovídá řádkům s indexem v Já a sloupce s indexem v J.

• Li Já = J, pak [A]_Já,J se nazývá a hlavní vedlejší.
• Pokud je matice, která odpovídá hlavní menší, kvadratickou levou horní částí větší matice (tj. Sestává z maticových prvků v řádcích a sloupcích od 1 do k), pak se hlavní nezletilý nazývá a vedoucí jistina menší (řádu k) nebo roh (hlavní) menší (řádu k).^[3] Pro n × n čtvercová matice, existují n přední hlavní nezletilí.
• A základní menší matice je determinant čtvercové submatice, která má maximální velikost s nenulovým determinantem.^[3]
• Pro Hermitovské matice lze k testování použít hlavní hlavní nezletilí pozitivní definitivnost a hlavní nezletilí mohou být použity k testování pozitivní semidefinitnost. Vidět Sylvestrovo kritérium Více podrobností.

Oba vzorec pro běžné násobení matic a Cauchy – Binetův vzorec pro determinant součinu dvou matic jsou zvláštní případy následujícího obecného tvrzení o nezletilých součinů dvou matic. Předpokládejme, že A je m × n matice, B je n × p matice, Já je podmnožina z {1, ...,m} s k prvky a J je podmnožinou {1, ...,p} s k elementy. Pak

${ displaystyle [ mathbf {AB}] _ {I, J} = součet _ {K} [ mathbf {A}] _ {I, K} [ mathbf {B}] _ {K, J} ,}$

kde součet přesahuje všechny podskupiny K. z {1, ...,n} s k elementy. Tento vzorec je přímým rozšířením vzorce Cauchy – Binet.

Přístup multilineární algebry

Systematičtější algebraické zacházení s nezletilými je uvedeno v multilineární algebra, za použití klínový produkt: k-minory matice jsou položky v kth vnější síla mapa.

Pokud jsou sloupce matice zaklíněné dohromady k najednou k × k nezletilí se objeví jako součást výsledku k-vektory. Například 2 × 2 nezletilí matice

${ displaystyle { begin {pmatrix} 1 & 4 3 & ! ! - 1 2 & 1 end {pmatrix}}}$

jsou −13 (z prvních dvou řádků), −7 (z prvního a posledního řádku) a 5 (z posledních dvou řádků). Nyní zvažte klínový produkt

${ displaystyle ( mathbf {e} _ {1} +3 mathbf {e} _ {2} +2 mathbf {e} _ {3}) klín (4 mathbf {e} _ {1} - mathbf {e} _ {2} + mathbf {e} _ {3})}$

kde dva výrazy odpovídají dvěma sloupcům naší matice. Využití vlastností klínového produktu, konkrétně toho, že je bilineární a střídavý,

${ displaystyle mathbf {e} _ {i} klín mathbf {e} _ {i} = 0,}$

a antisymetrický,

${ displaystyle mathbf {e} _ {i} klín mathbf {e} _ {j} = - mathbf {e} _ {j} klín mathbf {e} _ {i},}$

můžeme tento výraz zjednodušit na

${ displaystyle -13 mathbf {e} _ {1} klín mathbf {e} _ {2} -7 mathbf {e} _ {1} klín mathbf {e} _ {3} +5 mathbf {e} _ {2} klín mathbf {e} _ {3}}$

kde koeficienty souhlasí s nezletilými vypočítanými dříve.

Poznámka k odlišnému zápisu

V některých knihách místo kofaktor termín doplněk se používá.^[7] Navíc je označován jako A_ij a definováno stejným způsobem jako kofaktor:

${ displaystyle mathbf {A} _ {ij} = (- 1) ^ {i + j} mathbf {M} _ {ij}}$

Pomocí této notace je inverzní matice zapsána tímto způsobem:

${ displaystyle mathbf {M} ^ {- 1} = { frac {1} { det (M)}} { begin {bmatrix} A_ {11} & A_ {21} & cdots & A_ {n1} A_ {12} & A_ {22} & cdots & A_ {n2} vdots & vdots & ddots & vdots A_ {1n} & A_ {2n} & cdots & A_ {nn} end {bmatrix }}}$

Mějte na paměti, že doplněk není doplnit nebo adjoint. V moderní terminologii „adjoint“ matice nejčastěji odkazuje na odpovídající operátor adjoint.

Viz také

• Submatice

Reference

externí odkazy

• Přednáška MIT o lineární algebře o kofaktorech na Google Video, z MIT OpenCourseWare
• Vstup PlanetMath z Kofaktory
• Springer Encyclopedia of Mathematics vstup pro Méně důležitý