Akce poloskupiny - Semigroup action
v algebra a teoretická informatika, an akce nebo akt a poloskupina na soubor je pravidlo, které se přidružuje ke každému prvku poloskupiny a proměna množiny takovým způsobem, že součin dvou prvků poloskupiny (pomocí poloskupiny úkon ) je spojen s kompozitní dvou odpovídajících transformací. Terminologie vyjadřuje myšlenku, že prvky poloskupiny jsou herectví jako transformace množiny. Od algebraický perspektiva, akce poloskupiny je zobecněním pojmu a skupinová akce v teorie skupin. Z pohledu počítačové vědy jsou akce semigroup úzce spjaty automaty: sada modeluje stav automatu a akční modely transformací tohoto stavu v reakci na vstupy.
Důležitým zvláštním případem je a monoidní akce nebo akt, ve kterém je poloskupina a monoidní a prvek identity monoidu působí jako transformace identity sady. Od a teoretická kategorie z pohledu je monoid a kategorie s jedním objektem a akt je funktorem z této kategorie do kategorie sad. To okamžitě poskytuje zobecnění monoidních akcí na objekty v jiných kategoriích, než je kategorie množin.
Dalším důležitým zvláštním případem je a transformační poloskupina. Toto je poloskupina transformací množiny, a proto má na tuto množinu tautologickou akci. Tento koncept je spojen s obecnějším pojmem poloskupiny analogem Cayleyho věta.
(Poznámka k terminologii: terminologie použitá v této oblasti se u jednotlivých autorů liší, někdy významně. Podrobnosti viz článek.)
Formální definice
Nechat S být poloskupinou. Pak (vlevo) akce poloskupiny (nebo akt) z S je sada X společně s operací • : S × X → X který je kompatibilní s poloskupinou úkon * jak následuje:
- pro všechny s, t v S a X v X, s • (t • X) = (s * t) • X.
Toto je analogie v teorii semigroup s (vlevo) skupinová akce, a je ekvivalentní a poloskupinový homomorfismus do sady funkcí na X. Akce pravé poloskupiny jsou definovány podobným způsobem pomocí operace • : X × S → X uspokojující (X • A) • b = X • (A * b).
Li M je monoid, pak (vlevo) monoidní akce (nebo akt) z M je (vlevo) semigroup akce M s další vlastností, která
- pro všechny X v X: E • X = X
kde E je prvek identity M. To odpovídajícím způsobem dává monoidní homomorfismus. Pravé monoidní akce jsou definovány podobným způsobem. Monoid M s akcí na množině se také nazývá operátor monoid.
Akce poloskupiny z S na X lze provést do monoidního aktu připojením identity k poloskupině a vyžadováním, aby fungovala jako transformace identity X.
Terminologie a notace
Li S je poloskupina nebo monoid, pak množina X na kterých S působí jako výše (řekněme vlevo) je také známé jako (vlevo) S-akt, S-soubor, S-akce, S- operátornebo nechal jednat S. Někteří autoři nerozlišují mezi poloskupinami a monoidními akcemi podle axiomu identity (E • X = X) jako prázdné, pokud není k dispozici žádný prvek identity, nebo pomocí výrazu unitární S-akt pro S-aktivně s identitou.[1] Kromě toho, protože monoid je poloskupina, lze uvažovat o činnosti poloskupin monoidů.
Definující vlastnost aktu je obdobou asociativita operace poloskupiny a znamená, že lze vynechat všechny závorky. Je běžnou praxí, zejména v informatice, vynechat také operace, aby operace poloskupiny i akce byly označeny juxtapozicí. Takto struny dopisů od S jednat podle X, jako ve výrazu stx pro s, t v S a X v X.
Je také zcela běžné pracovat spíše s pravými než levými akty.[2] Každý pravý S-akt však lze interpretovat jako levý akt nad opačná poloskupina, který má stejné prvky jako S, ale kde je násobení definováno obrácením faktorů, s • t = t • s, takže tyto dva pojmy jsou v zásadě rovnocenné. Zde primárně přijímáme hledisko levých aktů.
Akty a transformace
Často je vhodné (například pokud se jedná o více než jeden čin) použít dopis, jako např , k označení funkce
definování -akce a tedy zápis namísto . Pak pro všechny v , označujeme
transformace definován
Podle definující vlastnosti an -akt, splňuje
Dále zvažte funkci . Je to stejné jako (vidět kari ). Protože je bijekce, akce poloskupin lze definovat jako funkce který uspokojuje
To znamená, je semigroup akce na kdyby a jen kdyby je poloskupinový homomorfismus z na plný transformační monoid z .
S-homomorfismy
Nechat X a XBýt S-aktivity. Pak S-homomorfismus z X na X′ Je mapa
takhle
- pro všechny a .
Sada všech takových S-homomorfismus se běžně píše jako .
M-homomorfismy M-akty, pro M monoid, jsou definovány přesně stejným způsobem.
S-Akt a M-Akt
Pro pevnou poloskupinu S, levá S-akty jsou objekty kategorie, označené S-Akt, jehož morfismy jsou S-homomorfismy. Odpovídající kategorie práva S-akty jsou někdy označovány zákonem-S. (Toto je analogické s kategoriemi R-Mod a Mod-R zleva a zprava moduly přes prsten.)
Pro monoida M, kategorie M-Act and Act-M jsou definovány stejným způsobem.
Příklady
- Libovolná poloskupina má akci na , kde . Vlastnost akce zůstává kvůli asociativitě .
- Obecněji řečeno, pro jakýkoli poloskupinový homomorfismus , poloskupina má akci na dána .
- Pro jakoukoli sadu , nechť být soubor posloupností prvků . Poloskupina má akci na dána (kde označuje opakoval krát).
Transformační poloskupiny
Níže je popsána korespondence mezi transformačními poloskupinami a akcemi poloskupin. Pokud to omezíme na věřící akce poloskupiny, má pěkné vlastnosti.
Libovolná transformační poloskupina může být změněna na akci poloskupiny následující konstrukcí. Pro jakoukoli transformační poloskupinu z , definujte akci poloskupiny z na tak jako pro . Tato akce je věrná, což se rovná bytost injekční.
Naopak pro jakoukoli akci poloskupiny z na , definujte transformační poloskupinu . V této konstrukci jsme „zapomněli“ na sadu . se rovná obraz z . Označme tak jako pro stručnost. Li je injekční, pak je poloskupina izomorfismus z na . Jinými slovy, pokud je věrný, pak nezapomeneme na nic důležitého. Toto tvrzení je zpřesněno následujícím pozorováním: pokud se otočíme zpět do akce poloskupiny z na , pak pro všechny . a jsou „izomorfní“ prostřednictvím , tj. v podstatě jsme se vzpamatovali . Tedy někteří autoři[3] nevidíte žádný rozdíl mezi věrnými akcemi poloskupin a transformačními poloskupinami.
Aplikace pro informatiku
Poloautomata
Transformační poloskupiny mají zásadní význam pro teorii struktury konečné stavové automaty v teorie automatů. Zejména a poloautomat je trojitý (Σ,X,T), kde Σ je neprázdná množina zvaná vstupní abeceda, X je neprázdná množina zvaná množina států a T je funkce
volal přechodová funkce. Poloautomata vznikají z deterministické automaty ignorováním počátečního stavu a množiny stavů přijetí.
Vzhledem k poloautomatu, pojďme TA: X → X, pro A ∈ Σ, označují transformaci X definován TA(X) = T(A,X). Pak poloskupina transformací X generováno {TA : A ∈ Σ} se nazývá charakteristická poloskupina nebo přechodový systém z (Σ,X,T). Tato poloskupina je monoid, takže se tomuto monoidu říká charakteristický nebo přechodový monoid. To je také někdy považováno za Σ∗-aktivně X, kde Σ∗ je volný monoid řetězců generovaných abecedou Σ a akce řetězců rozšiřuje akci Σ prostřednictvím nemovitosti
Krohn – Rhodesova teorie
Krohn – Rhodosova teorie, někdy také nazývaná teorie algebraických automatů, poskytuje silné výsledky rozkladu pro konečné poloskupiny konečné transformace kaskádováním jednodušších komponent.
Poznámky
Reference
- A. H. Clifford a G. B. Preston (1961), Algebraická teorie poloskupin, svazek 1. Americká matematická společnost, ISBN 978-0-8218-0272-4.
- A. H. Clifford a G. B. Preston (1967), Algebraická teorie poloskupin, svazek 2. Americká matematická společnost, ISBN 978-0-8218-0272-4.
- Mati Kilp, Ulrich Knauer, Alexander V. Mikhalev (2000), Monoidy, akty a kategorie: s aplikacemi na produkty a grafy věnců„Expozice v matematice 29, Walter de Gruyter, Berlín, ISBN 978-3-11-015248-7.
- Rudolf Lidl a Günter Pilz, Aplikovaná abstraktní algebra (1998), Springer, ISBN 978-0-387-98290-8