Algebraické číslo - Algebraic number

Druhá odmocnina 2 je algebraické číslo rovnající se délce přepona a pravoúhlý trojuhelník s nohami o délce 1.

An algebraické číslo je jakýkoli komplexní číslo (počítaje v to reálná čísla ) to je a vykořenit nenulové polynomiální (tj. hodnota, která způsobí, že se polynom rovná 0) v jedné proměnné s Racionální koeficienty (nebo ekvivalentně - o zúčtovací jmenovatelé -s celé číslo koeficienty).

Všechna celá čísla a racionální čísla jsou algebraické, stejně jako všechna kořeny celých čísel. Reálná a komplexní čísla, která nejsou algebraická, jako např $π$ a $E$ , jsou nazývány transcendentální čísla.

Zatímco soubor komplexních čísel je nespočet, množina algebraických čísel je počitatelný a má změřit nulu v Lebesgueovo opatření jako podmnožina komplexních čísel; v tomto smyslu, téměř všechny komplexní čísla jsou transcendentální.

Příklady

Všechno racionální čísla jsou algebraické. Jakékoli racionální číslo, vyjádřené jako podíl an celé číslo $A$ a (nenulová) přirozené číslo $b$ , splňuje výše uvedenou definici, protože $X = A / b$ je kořen nenulového polynomu, jmenovitě $bx - A$ .^[1]
The kvadratické částky (iracionální kořeny kvadratického polynomu $sekera 2 + bx + C$ s celočíselnými koeficienty $A$ , $b$ , a $C$ ) jsou algebraická čísla. Pokud je kvadratický polynom monický ( $A = 1$ ) pak jsou kořeny dále kvalifikovány jako kvadratická celá čísla.
The konstruovatelná čísla jsou čísla, která lze sestavit z dané délky jednotky pomocí pravítka a kompasu. Patří sem všechna kvadratická čísla, všechna racionální čísla a všechna čísla, která z nich lze vytvořit pomocí základní aritmetické operace a extrakce odmocniny. (Určením hlavních směrů pro 1, −1, $i$ , a - $i$ , komplexní čísla jako např $3 + i \sqrt 2$ jsou považovány za proveditelné.)
Libovolný výraz vytvořený z algebraických čísel pomocí jakékoli kombinace základních aritmetických operací a extrakce $n$ th kořeny dává další algebraické číslo.
Polynomiální kořeny nemůže být vyjádřena jako základní aritmetické operace a těžba $n$ th kořeny (například kořeny $X 5 - X + 1$ ). Tento se stane s mnoha, ale ne všechny, polynomy stupně 5 nebo vyššího.
Gaussova celá čísla: ta komplexní čísla $A + bi$ kde oba $A$ a $b$ jsou celá čísla a jsou také kvadratická celá čísla.
Hodnoty trigonometrické funkce z Racionální násobky $π$ (kromě případů, kdy není definováno): tj trigonometrická čísla. Například každý z $cos π / 7$ , $cos 3 π / 7$ , $cos 5 π / 7$ splňuje $8 X 3 - 4 X 2 - 4 X + 1 = 0$ . Tento polynom je neredukovatelné nad racionály, a tak tyto tři kosiny jsou sdružené algebraická čísla. Rovněž, $opálení 3 π / 16$ , $opálení 7 π / 16$ , $opálení 11 π / 16$ , $opálení 15 π / 16$ všechny uspokojují neredukovatelný polynom $X 4 - 4 X 3 - 6 X 2 + 4 X + 1 = 0$ , a tak jsou konjugované algebraická celá čísla.
Nějaký iracionální čísla jsou algebraické a některé nejsou:
- Čísla ${displaystyle {sqrt {2}}}$ a ${displaystyle {frac {sqrt [{3}] {3}} {2}}}$ jsou algebraické, protože jsou kořeny polynomů $X 2 - 2$ a $8 X 3 - 3$ , resp.
- The Zlatý řez $φ$ je algebraické, protože je kořenem polynomu $X 2 - X - 1$ .
- Čísla $π$ a $E$ nejsou algebraická čísla (viz Lindemann – Weierstrassova věta ).^[2]

Vlastnosti

Algebraická čísla na složité letadlo obarvené podle stupně (červená = 1, zelená = 2, modrá = 3, žlutá = 4)

Vzhledem k algebraickému číslu existuje jedinečné monický polynom (s racionálními koeficienty) nejméně stupeň který má číslo jako root. Tento polynom se nazývá jeho minimální polynom. Pokud má jeho minimální polynom stupeň $n$ , pak se říká, že algebraické číslo je stupeň $n$ . Například všechny racionální čísla mít stupeň 1 a algebraické číslo stupně 2 je a kvadratická iracionální.
Skutečná algebraická čísla jsou hustý ve skutečnosti, lineárně uspořádáno, a bez prvního nebo posledního prvku (a tedy řádově izomorfní k množině racionálních čísel).
Sada algebraických čísel je spočetná (vyčíslitelná),^[3]^[4] a proto jeho Lebesgueovo opatření protože podmnožina komplexních čísel je 0 (v zásadě algebraická čísla nezabírají v komplexních číslech žádné místo). To znamená, "téměř všechny" reálná a komplexní čísla jsou transcendentální.
Všechna algebraická čísla jsou vypočitatelný a proto definovatelný a aritmetický.
Pro reálná čísla $A$ a $b$ , komplexní číslo $A + bi$ je algebraické právě tehdy, když obojí $A$ a $b$ jsou algebraické.^[5]

Pole algebraických čísel

Algebraická čísla obarvená podle stupně (modrá = 4, azurová = 3, červená = 2, zelená = 1). Kruh jednotky je černý.

Součet, rozdíl, součin a kvocient (pokud je jmenovatel nenulový) dvou algebraických čísel je opět algebraický (tuto skutečnost lze prokázat pomocí výsledný ), a algebraická čísla proto tvoří a pole $ℚ$ (někdy označeno ${displaystyle mathbb {A}}$ , ačkoli toto obvykle označuje Adele prsten ). Každý kořen polynomiální rovnice, jejíž koeficienty jsou algebraická čísla je opět algebraický. To lze přeformulovat tím, že pole algebraických čísel je algebraicky uzavřeno. Ve skutečnosti je to nejmenší algebraicky uzavřené pole obsahující racionály, a proto se mu říká algebraické uzavření racionálních.

Sada nemovitý algebraická čísla sama tvoří pole.^[6]

Související pole

Čísla definovaná radikály

Všechna čísla, která lze získat z celých čísel pomocí a konečný počet komplexů dodatky, odčítání, násobení, divize a brát $n$ th kořeny kde $n$ je kladné celé číslo (radikální výrazy ), jsou algebraické. Opak však není pravdivý: Existují algebraická čísla, která nelze získat tímto způsobem. Tato čísla jsou kořeny polynomů stupně 5 nebo vyššího Galoisova teorie (vidět Quintické rovnice a Věta Abel – Ruffini ). Příkladem je $X 5 - X - 1$ , kde je jedinečný skutečný kořen

{displaystyle {egin {aligned} x & = {frac {1} {32}} vlevo (32operatorname {_ {4} F_ {3}} vlevo (vlevo. {egin {pole} {ccc} - {frac {1} { 20}}, {frac {3} {20}}, {frac {7} {20}}, {frac {11} {20}} {frac {1} {4}}, {frac {1} { 2}}, {frac {3} {4}} end {array}} ight | {frac {3125} {256}} ight) + 8operatorname {_ {4} F_ {3}} vlevo (vlevo. {Egin { pole} {ccc} {frac {1} {5}}, {frac {2} {5}}, {frac {3} {5}}, {frac {4} {5}} {frac {1} {2}}, {frac {3} {4}}, {frac {5} {4}} end {array}} ight | {frac {3125} {256}} ight) -5operatorname {_ {4} F_ {3}} vlevo (vlevo. {Egin {pole} {ccc} {frac {9} {20}}, {frac {13} {20}}, {frac {17} {20}}, {frac {21 } {20}} {frac {3} {4}}, {frac {5} {4}}, {frac {3} {2}} konec {pole}} ight | {frac {3125} {256} } ight) + 5operatorname {_ {4} F_ {3}} vlevo (vlevo. {egin {pole} {ccc} {frac {7} {10}}, {frac {9} {10}}, {frac { 11} {10}}, {frac {13} {10}} {frac {5} {4}}, {frac {3} {2}}, {frac {7} {4}} konec {pole} } ight | {frac {3125} {256}} ight) ight) [8pt] & = 1,167303978261418684ldots end {zarovnáno}}}

kde

{displaystyle operatorname {_ {p} F_ {q}} vlevo (vlevo. {egin {pole} {ccc} a_ {1}, a_ {2}, ldots, a_ {p} b_ {1}, b_ {2 }, ldots, b_ {q} end {array}} ight | zight)}

je generalizovaná hypergeometrická funkce.

Číslo uzavřeného formuláře

Algebraická čísla jsou všechna čísla, která lze definovat explicitně nebo implicitně z hlediska polynomů, počínaje racionálními čísly. Dá se to zobecnit na „uzavřená čísla „, které lze definovat různými způsoby. Obecně se nazývají všechna čísla, která lze definovat explicitně nebo implicitně, pokud jde o polynomy, exponenciály a logaritmy.“základní čísla ", a to zahrnuje algebraická čísla plus některá transcendentální čísla. Úzceji lze uvažovat o číslech." výslovně definováno z hlediska polynomů, exponenciálů a logaritmů - nezahrnuje všechna algebraická čísla, ale zahrnuje některá jednoduchá transcendentální čísla, například $E$ nebo ln 2.

Algebraická celá čísla

Algebraická čísla zbarvená vedoucím koeficientem (červená znamená 1 pro algebraické celé číslo)

An algebraické celé číslo je algebraické číslo, které je kořenem polynomu s celočíselnými koeficienty s úvodním koeficientem 1 (a monický polynom ). Příklady algebraických celých čísel jsou $5 + 13 \sqrt 2$ , $2 - 6 i$ a $1 / 2 (1 + i \sqrt 3)$ . Proto algebraická celá čísla představují vlastní nadmnožina z celá čísla, jelikož posledně jmenované jsou kořeny monických polynomů $X - k$ pro všechny $k \in ℤ.$ V tomto smyslu jsou algebraická celá čísla algebraická čísla co celá čísla jsou racionální čísla.

Součet, rozdíl a součin algebraických celých čísel jsou opět algebraická celá čísla, což znamená, že algebraická celá čísla tvoří prsten. Název algebraické celé číslo pochází ze skutečnosti, že jedinými racionálními čísly, která jsou algebraickými celými čísly, jsou celá čísla, a protože algebraická celá čísla v libovolném pole s číslem jsou v mnoha ohledech analogické s celými čísly. Li $K.$ je číslo pole, jeho kruh celých čísel je podřetězec algebraických celých čísel v $K.$ , a je často označován jako $Ó K.$ . Toto jsou prototypické příklady Dedekindovy domény.

Speciální třídy algebraického čísla

Poznámky

^ Některé z následujících příkladů pocházejí od Hardyho a Wrighta 1972: 159–160 a s. 178–179
^ Taky Liouvilleova věta lze použít k „výrobě tolika příkladů transcendentálních čísel, kolik chceme“, srov. Hardy a Wright, str. 161ff
^ Hardy a Wright 1972: 160/2008: 205
^ Niven 1956, Theorem 7.5.
^ Niven 1956, Dodatek 7.3.
^ Niven (1956), str. 92.

Reference

Artin, Michael (1991), Algebra, Prentice Hall, ISBN 0-13-004763-5, PAN 1129886
Hardy, G. H. a Wright, E. M. 1978, 2000 (s obecným indexem) Úvod do teorie čísel: 5. vydání, Clarendon Press, Oxford UK, ISBN 0-19-853171-0
Irsko, Kenneth; Rosen, Michael (1990), Klasický úvod do moderní teorie čísel, Postgraduální texty z matematiky, 84 (Second ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-1-4757-2103-4, ISBN 0-387-97329-X, PAN 1070716
Lang, Serge (2002), Algebra, Postgraduální texty z matematiky, 211 (Přepracované třetí vydání), New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, PAN 1878556
Niven, Ivan 1956. Iracionální čísla„Matematická monografie Carus č. 11, Mathematical Association of America.
Ruda, Øystein 1948, 1988, Teorie čísel a její historie, Dover Publications, Inc. New York, ISBN 0-486-65620-9 (pbk.)

[1] Některé z následujících příkladů pocházejí od Hardyho a Wrighta 1972: 159–160 a s. 178–179

[2] Taky Liouvilleova věta lze použít k „výrobě tolika příkladů transcendentálních čísel, kolik chceme“, srov. Hardy a Wright, str. 161ff

[3] Hardy a Wright 1972: 160/2008: 205

[4] Niven 1956, Theorem 7.5.

[5] Niven 1956, Dodatek 7.3.

[6] Niven (1956), str. 92.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

Číslo systémy
Počítatelné sady	Přirozená čísla ( ${displaystyle mathbb {N}}$ ) Celá čísla ( ${displaystyle mathbb {Z}}$ ) Racionální čísla ( ${displaystyle mathbb {Q}}$ ) Konstruktivní čísla Algebraická čísla ( ${displaystyle mathbb {A}}$ ) Období Vyčíslitelná čísla Definovatelná reálná čísla Aritmetická čísla Gaussova celá čísla
Složení algebry	Divize algebry: Skutečná čísla ( ${displaystyle mathbb {R}}$ ) Složitá čísla ( ${displaystyle mathbb {C}}$ ) Čtveřice ( ${displaystyle mathbb {H}}$ ) Octonions ( ${displaystyle mathbb {O}}$ )
Rozdělit typy	přes ${displaystyle mathbb {R}}$ : Split-komplexní čísla Split-čtveřice Split-octonions přes ${displaystyle mathbb {C}}$ : Dvojkomplexní čísla Biquaternions Bioktoniony
jiný hyperkomplex	Duální čísla Duální čtveřice Dvojkomplexní čísla Hyperbolické čtveřice Sedeniony ( ${displaystyle mathbb {S}}$ ) Split-biquaternions Multikomplexní čísla Geometrická algebra Algebra fyzického prostoru Časoprostorová algebra
Jiné typy	Kardinální čísla Iracionální čísla Fuzzy čísla Hyperrealistická čísla Pole Levi-Civita Neskutečná čísla Transcendentní čísla Řadové číslovky p-adic čísla (p-adic solenoidy ) Nadpřirozená čísla Superrealistická čísla
Klasifikace Seznam