Ortogonalita - Orthogonality

Úsečky AB a CD jsou navzájem kolmé.

v matematika, ortogonalita je zobecnění pojmu kolmost do lineární algebra z bilineární formy. Dva prvky u a proti a vektorový prostor s bilineární formou B jsou ortogonální když B(u, proti) = 0. V závislosti na bilineární formě může vektorový prostor obsahovat nenulové samoortogonální vektory. V případě funkční prostory, rodiny ortogonální funkce se používají k vytvoření a základ.

Rozšířením se ortogonalita také používá k označení oddělení konkrétních vlastností systému. Tento termín má také specializované významy v jiných oblastech, včetně umění a chemie.

Etymologie

Slovo pochází z řecký ὀρθός (orthos), což znamená „vzpřímený“^[1] , a γωνία (gonia), což znamená „úhel“.^[2]Starořecká ὀρθογώνιον orthogonion a klasická latina orthogonium původně označeno a obdélník.^[3] Později začali znamenat a pravoúhlý trojuhelník. Ve 12. století postklasické latinské slovo orthogonalis znamená pravý úhel nebo něco, co souvisí s pravým úhlem.^[4]

Matematika a fyzika

Ortogonalita a rotace souřadnicových systémů ve srovnání vlevo, odjet: Euklidovský prostor přes kruhový úhel ϕ, že jo: v Minkowského časoprostor přes hyperbolický úhel ϕ (označené červenými čarami C označit světových linií světelného signálu je vektor k sobě kolmý, pokud leží na této přímce).^[5]

Definice

• v geometrie, dva Euklidovské vektory jsou ortogonální Pokud jsou kolmý, tj., tvoří a pravý úhel.
• Dva vektory, X a y, v vnitřní produktový prostor, PROTI, jsou ortogonální pokud jejich vnitřní produkt ${ displaystyle langle x, y rangle}$ je nula.^[6] Tento vztah je označen ${ displaystyle x perp y}$.
• Dva vektorové podprostory, A a B, vnitřního prostoru produktu PROTI, jsou nazývány ortogonální podprostory pokud každý vektor v A je kolmý ke každému vektoru v B. Největší podprostor v PROTI který je kolmý k danému podprostoru, je jeho ortogonální doplněk.
• Vzhledem k tomu, modul M a jeho dvojí M^∗prvek m′ Z M^∗ a prvek m z M jsou ortogonální pokud jejich přirozené párování je nula, tj. ⟨m′, m⟩ = 0. Dvě sady S′ ⊆ M^∗ a S ⊆ M jsou kolmé, pokud každý prvek z S′ Je kolmý na každý prvek prvku S.^[7]
• A systém přepisování termínů se říká, že je ortogonální pokud je levý lineární a nejednoznačný. Systémy přepisování ortogonálních termínů jsou soutok.

Sada vektorů ve vnitřním prostoru produktu se nazývá párově kolmé pokud je každé jejich párování ortogonální. Taková sada se nazývá ortogonální sada.

V určitých případech slovo normální se rozumí ortogonální, zejména v geometrickém smyslu jako v kolmo k povrchu. Například y-os je kolmá ke křivce y = X² na počátku. Nicméně, normální může také odkazovat na velikost vektoru. Zejména se nazývá sada ortonormální (ortogonální plus normální), pokud se jedná o ortogonální sadu jednotkové vektory. Jako výsledek, použití termínu normální znamená „ortogonální“ je často vyloučeno. Slovo „normální“ má také jiný význam pravděpodobnost a statistika.

Vektorový prostor s a bilineární forma zobecňuje případ vnitřního produktu. Když bilineární forma aplikovaná na dva vektory vede k nule, pak jsou ortogonální. Případ a pseudoeuklidovská rovina používá termín hyperbolická ortogonalita. V diagramu jsou osy x 'a t' hyperbolicko-ortogonální pro jakýkoli daný ϕ.

Euklidovské vektorové prostory

v Euklidovský prostor, dva vektory jsou ortogonální kdyby a jen kdyby jejich Tečkovaný produkt je nula, tj. svírá úhel 90 ° (π / 2 radiány ), nebo jeden z vektorů je nula.^[8] Proto je ortogonalita vektorů rozšířením pojmu kolmý vektory do prostorů jakékoli dimenze.

The ortogonální doplněk podprostoru je prostor všech vektorů, které jsou kolmé ke každému vektoru v podprostoru. V trojrozměrném euklidovském vektorovém prostoru je ortogonální doplněk a čára prostřednictvím původu je letadlo přes počátek kolmý k němu a naopak.^[9]

Všimněte si, že geometrický koncept dvou rovin, které jsou kolmé, neodpovídá ortogonálnímu komplementu, protože ve třech rozměrech by se pár vektorů, jeden z každé z dvojice kolmých rovin, mohl setkat v libovolném úhlu.

Ve čtyřrozměrném euklidovském prostoru je ortogonální doplněk čáry a nadrovina a naopak a rovina je rovina.^[9]

Ortogonální funkce

Používáním integrální počet, k definici je běžné použít následující vnitřní produkt ze dvou funkce F a G s ohledem na negativní váhová funkce w v intervalu [A, b]:

${ displaystyle langle f, g rangle _ {w} = int _ {a} ^ {b} f (x) g (x) w (x) , dx.}$

V jednoduchých případech w(X) = 1.

Říkáme, že funkce F a G jsou ortogonální je-li jejich vnitřní součin (ekvivalentně hodnota tohoto integrálu) nula:

${ displaystyle langle f, g rangle _ {w} = 0.}$

Ortogonalita dvou funkcí s ohledem na jeden vnitřní produkt neznamená ortogonalitu s ohledem na jiný vnitřní produkt.

Píšeme norma s ohledem na tento vnitřní produkt jako

${ displaystyle | f | _ {w} = { sqrt { langle f, f rangle _ {w}}}}$

Členové sady funkcí {F_i : i = 1, 2, 3, ...} jsou ortogonální s ohledem na w na intervalu [A, b] -li

${ displaystyle langle f_ {i}, f_ {j} rangle _ {w} = 0 quad i neq j.}$

Členy takové sady funkcí jsou ortonormální s ohledem na w na intervalu [A, b] -li

${ displaystyle langle f_ {i}, f_ {j} rangle _ {w} = delta _ {i, j},}$

kde

${ displaystyle delta _ {i, j} = left {{ begin {matrix} 1, && i = j 0, && i neq j end {matrix}} right.}$

je Kroneckerova delta Jinými slovy, každý z nich (kromě párování funkce sám se sebou) je kolmý a normou každého z nich je 1. Viz zejména ortogonální polynomy.

Příklady

• Vektory (1, 3, 2)^T, (3, −1, 0)^T, (1, 3, −5)^T jsou navzájem kolmé, protože (1) (3) + (3) (- 1) + (2) (0) = 0, (3) (1) + (−1) (3) + (0) ( −5) = 0 a (1) (1) + (3) (3) + (2) (- 5) = 0.
• Vektory (1, 0, 1, 0, ...)^T a (0, 1, 0, 1, ...)^T jsou navzájem kolmé. Tečkový produkt těchto vektorů je 0. Pak můžeme provést zevšeobecnění, abychom zvážili vektory v Z₂ⁿ:

${ displaystyle mathbf {v} _ {k} = součet _ {i = 0 na vrcholu ai + k$

pro nějaké kladné celé číslo A, a pro 1 ≤ k ≤ A − 1, tyto vektory jsou například ortogonální ${ displaystyle { begin {bmatrix} 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 end {bmatrix}}}$, ${ displaystyle { begin {bmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 end {bmatrix}}}$, ${ displaystyle { begin {bmatrix} 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 end {bmatrix}}}$ jsou kolmé.

• Funkce 2t + 3 a 45t² + 9t − 17 jsou kolmé vzhledem k funkci jednotkové hmotnosti v intervalu od -1 do 1:
  ${ displaystyle int _ {- 1} ^ {1} doleva (2t + 3 doprava) doleva (45t ^ {2} + 9t-17 doprava) , dt = 0}$
• Funkce 1, sin (nx), cos (nx) : n = 1, 2, 3, ... jsou kolmé vzhledem k Riemannova integrace na intervalech [0, 2π], [−π, π]nebo jakýkoli jiný uzavřený interval o délce 2π. Tato skutečnost je ústřední Fourierova řada.

Ortogonální polynomy

Různé polynomiální sekvence pojmenované pro matematici minulosti jsou sekvence ortogonální polynomy. Zejména:

• The Hermitovy polynomy jsou kolmé vzhledem k Gaussovo rozdělení s nulovou střední hodnotou.
• The Legendární polynomy jsou kolmé vzhledem k rovnoměrné rozdělení na intervalu [−1, 1].
• The Laguerrovy polynomy jsou kolmé vzhledem k exponenciální rozdělení. Poněkud obecnější Laguerrovy polynomické sekvence jsou vůči sobě kolmé gama distribuce.
• The Čebyševovy polynomy prvního druhu jsou kolmé k míře ${ displaystyle 1 / { sqrt {1-x ^ {2}}}.}$
• Čebyševovy polynomy druhého druhu jsou vůči ortogonální Distribuce půlkruhu Wigner.

Ortogonální stavy v kvantové mechanice

• v kvantová mechanika, dostatečná (ale není nutná) podmínka, že dva vlastní státy a Hermitovský operátor, ${ displaystyle psi _ {m}}$ a ${ displaystyle psi _ {n}}$, jsou ortogonální, je to, že odpovídají různým vlastním hodnotám. To znamená, v Diracova notace, že ${ displaystyle langle psi _ {m} | psi _ {n} rangle = 0}$ -li ${ displaystyle psi _ {m}}$ a ${ displaystyle psi _ {n}}$ odpovídají různým vlastním číslům. To vyplývá ze skutečnosti, že Schrödingerova rovnice je Sturm – Liouville rovnice (ve Schrödingerově formulaci) nebo že pozorovatelnosti jsou dány hermitskými operátory (ve Heisenbergově formulaci).^{[Citace je zapotřebí ]}

Umění

V umění, perspektivní (imaginární) čáry směřující k bod zmizení jsou označovány jako „ortogonální čáry“. Pojem „ortogonální linie“ má v literatuře kritiky moderního umění často zcela odlišný význam. Mnoho děl malířů jako např Piet Mondrian a Burgoyne Diller jsou známí svým výlučným použitím „ortogonálních čar“ - ne však s odkazem na perspektivu, ale spíše s odkazem na čáry, které jsou přímé a výlučně vodorovné nebo svislé a vytvářejí pravý úhel, kde se protínají. Například esej na webu Webová stránka z Muzeum Thyssen-Bornemisza uvádí, že „Mondrian ... zasvětil celé své dílo vyšetřování rovnováhy mezi ortogonálními čarami a primárními barvami.“ [1]

Počítačová věda

Ortogonalita v designu programovacího jazyka je schopnost používat různé jazykové funkce v libovolných kombinacích s konzistentními výsledky.^[10] Toto použití zavedlo Van Wijngaarden v designu Algol 68:

Počet nezávislých primitivních konceptů byl minimalizován, aby bylo možné jazyk snadno popsat, naučit se a implementovat. Na druhou stranu byly tyto koncepty aplikovány „ortogonálně“, aby se maximalizovala expresivní síla jazyka a zároveň se zabránilo škodlivým zbytečnostem.^[11]

Ortogonalita je vlastnost návrhu systému, která zaručuje, že modifikace technického účinku vyvolaného komponentou systému nevytváří ani nepropaguje vedlejší účinky na další komponenty systému. Toho je obvykle dosaženo prostřednictvím oddělení obav a zapouzdření a je to nezbytné pro proveditelné a kompaktní návrhy složitých systémů. Vznikající chování systému sestávajícího z komponent by mělo být přísně kontrolováno formálními definicemi jeho logiky, a nikoli vedlejšími účinky vyplývajícími ze špatné integrace, tj. Neortogonální konstrukce modulů a rozhraní. Ortogonalita zkracuje dobu testování a vývoje, protože je snazší ověřit návrhy, které nezpůsobují vedlejší účinky ani na nich nezávisí.

An instrukční sada se říká, že je kolmý, pokud postrádá nadbytečnost (tj. k provedení daného úkolu lze použít pouze jednu instrukci)^[12] a je navržen tak, aby pokyny mohly používat jakékoli Registrovat v každém režim adresování. Tato terminologie je výsledkem považování instrukce za vektor, jehož komponenty jsou pole instrukce. Jedno pole identifikuje registry, které mají být provozovány, a druhé specifikuje režim adresování. An ortogonální instrukční sada jedinečně kóduje všechny kombinace registrů a režimů adresování.^{[Citace je zapotřebí ]}

komunikace

V komunikaci jsou schémata vícenásobného přístupu ortogonální, když ideální přijímač může zcela odmítnout libovolně silné nežádoucí signály z požadovaného signálu pomocí různých základní funkce. Jedno takové schéma je TDMA, kde ortogonální bázové funkce jsou nepřekrývající se obdélníkové pulsy („časové sloty“).

Další schéma je ortogonální multiplexování s frekvenčním dělením (OFDM), který odkazuje na použití sady vysílačů s frekvenčním multiplexem jediným přesným vysílačem s přesným minimálním frekvenčním odstupem potřebným k tomu, aby byly ortogonální, aby si navzájem nerušily. Známé příklady zahrnují (A, G, a n) verze 802.11 Wi-Fi; WiMAX; ITU-T G.hn, DVB-T, pozemský systém digitálního televizního vysílání používaný ve většině zemí mimo Severní Ameriku; a DMT (Discrete Multi Tone), standardní forma ADSL.

V OFDM subnosič jsou zvoleny frekvence^{[jak? ]} takže subnosné jsou navzájem kolmé, což znamená, že přeslechy mezi subkanály jsou eliminovány a ochranné pásy mezi nosnými nejsou vyžadovány. To výrazně zjednodušuje konstrukci vysílače i přijímače. V konvenčním FDM je vyžadován samostatný filtr pro každý subkanál.

Statistika, ekonometrie a ekonomie

Při provádění statistické analýzy nezávislé proměnné které ovlivňují konkrétní závislá proměnná se říká, že jsou ortogonální, pokud nesouvisí,^[13] protože kovariance tvoří vnitřní produkt. V tomto případě jsou získány stejné výsledky pro účinek kterékoli z nezávislých proměnných na závislou proměnnou, bez ohledu na to, zda lze modelovat účinky proměnných jednotlivě s jednoduchá regrese nebo současně s vícenásobná regrese. Li korelace jsou přítomny, faktory nejsou ortogonální a oběma metodami se získávají odlišné výsledky. Toto použití vyplývá ze skutečnosti, že pokud je centrováno odečtením očekávaná hodnota (průměr), nekorelované proměnné jsou ortogonální v geometrickém smyslu diskutovaném výše, a to jak jako pozorovaná data (tj. vektory), tak jako náhodné proměnné (tj. funkce hustoty). ekonometrické formalismus, který je alternativou k maximální pravděpodobnost rámec, Zobecněná metoda momentů, se spoléhá na podmínky ortogonality. Zejména Obyčejné nejmenší čtverce Odhad lze snadno odvodit z podmínky ortogonality mezi vysvětlujícími proměnnými a zbytky modelu.

Taxonomie

v taxonomie, ortogonální klasifikace je klasifikace, ve které žádná položka není členem více než jedné skupiny, tj. klasifikace se vzájemně vylučují.

Kombinatorika

v kombinatorika, dva n×n Latinské čtverce se říká, že jsou ortogonální, pokud jejich superpozice výnosy vše možné n² kombinace položek.^[14]

Chemie a biochemie

v syntetická organická chemie ortogonální ochrana je strategie umožňující deprotekci funkční skupiny nezávisle na sobě. V chemii a biochemii dochází k ortogonální interakci, když existují dva páry látek a každá látka může interagovat se svým příslušným partnerem, ale neinteraguje s žádnou látkou druhého páru. Například, DNA má dva ortogonální páry: cytosin a guanin tvoří pár bází a adenin a thymin tvoří další pár bází, ale jiné kombinace párů bází jsou silně znevýhodněny. Jako chemický příklad reaguje tetrazin s transcyklooktenem a azid s cyklooktynem bez jakékoli křížové reakce, jedná se tedy o vzájemně ortogonální reakce, a lze je tedy provádět současně a selektivně.^[15] Bioorthogonální chemie se týká chemických reakcí probíhajících uvnitř živých systémů bez reakce s přirozeně přítomnými buněčnými složkami. v supramolekulární chemie pojem ortogonality odkazuje na možnost dvou nebo více supramolekulárních, často nekovalentní, interakce jsou kompatibilní; reverzibilní formování bez interference druhého.

v analytická chemie „Analýzy jsou„ ortogonální “, pokud provádějí měření nebo identifikaci zcela odlišnými způsoby, čímž se zvyšuje spolehlivost měření. Na ortogonální testování lze tedy pohlížet jako na „křížovou kontrolu“ výsledků a „křížový“ pojem odpovídá etymologický původ ortogonalita. Ortogonální testování je často vyžadováno jako součást a nová aplikace léku.

Spolehlivost systému

V oblasti spolehlivosti systému je ortogonální redundance forma redundance, kde se forma zálohovacího zařízení nebo metody zcela liší od zařízení nebo metody náchylné k chybě. Poruchový režim ortogonálně redundantního záložního zařízení nebo metody se neprotíná a je zcela odlišný od poruchového režimu zařízení nebo metody, která potřebuje redundanci k zabezpečení celého systému před katastrofickým selháním.

Neurovědy

v neurovědy, senzorická mapa v mozku, která má překrývající se kódování stimulů (např. umístění a kvalita), se nazývá ortogonální mapa.

Hraní

V deskových hrách jako např šachy které mají mřížku čtverců, výraz „ortogonální“ znamená „ve stejné řadě /„ pořadí “nebo sloupci /„ souboru ““. Toto je protějšek čtverců, které jsou „úhlopříčně sousedící“.^[16] Ve starověké čínské deskové hře Jít hráč může zachytit kameny soupeře obsazením všech kolmých sousedních bodů.

Další příklady

Stereo vinylové desky kódují levý i pravý stereofonní kanál do jedné drážky. Drážka ve vinylu ve tvaru V má stěny, které jsou navzájem 90 stupňů, se změnami v každé stěně samostatně kódujícími jeden ze dvou analogových kanálů, které tvoří stereofonní signál. Kazeta snímá pohyb dotykového pera po drážce ve dvou ortogonálních směrech: 45 stupňů od svislé po obě strany.^[17] Čistý horizontální pohyb odpovídá mono signálu, což odpovídá stereofonnímu signálu, ve kterém oba kanály přenášejí stejné (ve fázi) signály.

Viz také

• Imaginární číslo
• Isogonal
• Isogonal trajektorie
• Ortogonální doplněk
• Ortogonální skupina
• Ortogonální matice
• Ortogonální polynomy
• Ortogonalizace
  • Gram – Schmidtův proces
• Ortonormální základ
• Ortonormalita
• Ortogonální transformace
• Pan-ortogonalita se vyskytuje v coquaternions
• Normální povrch
• Ortogonální pár ligand-protein

Reference

Další čtení

• Kapitola 4 - Kompaktnost a ortogonalita v Umění programování v Unixu