Linearizace - Linearization

v matematika, linearizace hledá lineární aproximace do a funkce v daném bodě. Lineární aproximace funkce je prvního řádu Taylorova expanze kolem bodu zájmu. Ve studii o dynamické systémy, linearizace je metoda pro hodnocení místní stabilita z rovnovážný bod a Systém z nelineární diferenciální rovnice nebo diskrétní dynamické systémy.^[1] Tato metoda se používá v oblastech, jako jsou inženýrství, fyzika, ekonomika, a ekologie.

Linearizace funkce

Linearizace a funkce jsou řádky —Obvykle řádky, které lze použít pro účely výpočtu. Linearizace je efektivní metoda pro aproximaci výstupu funkce ${ displaystyle y = f (x)}$ na kterékoli ${ displaystyle x = a}$ na základě hodnoty a sklon funkce na ${ displaystyle x = b}$ , vzhledem k tomu ${ displaystyle f (x)}$ je rozlišitelné na ${ displaystyle [a, b]}$ (nebo ${ displaystyle [b, a]}$ ) a to ${ displaystyle a}$ je blízko ${ displaystyle b}$ . Stručně řečeno, linearizace se blíží výstupu funkce blízké ${ displaystyle x = a}$ .

Například, ${ displaystyle { sqrt {4}} = 2}$ . Jaká by však byla dobrá aproximace ${ displaystyle { sqrt {4.001}} = { sqrt {4 + 0,001}}}$ ?

Pro jakoukoli danou funkci ${ displaystyle y = f (x)}$ , ${ displaystyle f (x)}$ lze přiblížit, je-li v blízkosti známého diferencovatelného bodu. Nejzákladnější podmínkou je to ${ displaystyle L_ {a} (a) = f (a)}$ , kde ${ displaystyle L_ {a} (x)}$ je linearizace ${ displaystyle f (x)}$ na ${ displaystyle x = a}$ . The bodový sklon rovnice tvoří rovnici přímky dané bodu ${ displaystyle (H, K)}$ a sklon ${ displaystyle M}$ . Obecná forma této rovnice je: ${ displaystyle y-K = M (x-H)}$ .

Pomocí bodu ${ displaystyle (a, f (a))}$ , ${ displaystyle L_ {a} (x)}$ se stává ${ displaystyle y = f (a) + M (x-a)}$ . Protože rozlišitelné funkce jsou lokálně lineární, nejlepším sklonem, který se dá nahradit, bude sklon přímky tečna na ${ displaystyle f (x)}$ na ${ displaystyle x = a}$ .

Zatímco koncept lokální linearity platí nejvíce pro body svévolně uzavřít na ${ displaystyle x = a}$ , ti relativně blízcí pracují relativně dobře pro lineární aproximace. Svah ${ displaystyle M}$ by měl být, nejpřesněji, sklon tečny v ${ displaystyle x = a}$ .

Aproximace f (x) = x ^ 2 v (X, F(X))

Vizuálně průvodní diagram ukazuje tečnou čáru ${ displaystyle f (x)}$ na ${ displaystyle x}$ . Na ${ displaystyle f (x + h)}$ , kde ${ displaystyle h}$ je jakákoli malá kladná nebo záporná hodnota, ${ displaystyle f (x + h)}$ je téměř hodnota tečny v bodě ${ displaystyle (x + h, L (x + h))}$ .

Konečná rovnice pro linearizaci funkce v ${ displaystyle x = a}$ je:

${ displaystyle y = (f (a) + f '(a) (x-a))}$

Pro ${ displaystyle x = a}$ , ${ displaystyle f (a) = f (x)}$ . The derivát z ${ displaystyle f (x)}$ je ${ displaystyle f '(x)}$ a sklon ${ displaystyle f (x)}$ na ${ displaystyle a}$ je ${ displaystyle f '(a)}$ .

Příklad

Najít ${ displaystyle { sqrt {4,001}}}$ , můžeme použít skutečnost, že ${ displaystyle { sqrt {4}} = 2}$ . Linearizace ${ displaystyle f (x) = { sqrt {x}}}$ na ${ displaystyle x = a}$ je ${ displaystyle y = { sqrt {a}} + { frac {1} {2 { sqrt {a}}}} (x-a)}$ , protože funkce ${ displaystyle f '(x) = { frac {1} {2 { sqrt {x}}}}}$ definuje sklon funkce ${ displaystyle f (x) = { sqrt {x}}}$ na ${ displaystyle x}$ . Nahrazení v ${ displaystyle a = 4}$ , linearizace ve 4 je ${ displaystyle y = 2 + { frac {x-4} {4}}}$ . V tomto případě ${ displaystyle x = 4,001}$ , tak ${ displaystyle { sqrt {4.001}}}$ je přibližně ${ displaystyle 2 + { frac {4.001-4} {4}} = 2.00025}$ . Skutečná hodnota se blíží 2 00024 999, takže aproximace linearizace má relativní chybu menší než 1 miliontina procenta.

Linearizace funkce s více proměnnými

Rovnice pro linearizaci funkce ${ displaystyle f (x, y)}$ v určitém okamžiku ${ displaystyle p (a, b)}$ je:

${ displaystyle f (x, y) přibližně f (a, b) + vlevo. { frac { částečné f (x, y)} { částečné x}} pravé | _ {a, b} ( xa) + vlevo. { frac { částečné f (x, y)} { částečné y}} pravé | _ {a, b} (yb)}$

Obecná rovnice pro linearizaci funkce s více proměnnými ${ displaystyle f ( mathbf {x})}$ v určitém okamžiku ${ displaystyle mathbf {p}}$ je:

${ displaystyle f ({ mathbf {x}}) přibližně f ({ mathbf {p}}) + vlevo. { nabla f} vpravo | _ { mathbf {p}} cdot ({ mathbf {x}} - { mathbf {p}})}$

kde ${ displaystyle mathbf {x}}$ je vektor proměnných a ${ displaystyle mathbf {p}}$ je linearizační bod zájmu.^[2]

Použití linearizace

Linearizace umožňuje používat nástroje ke studiu lineární systémy analyzovat chování nelineární funkce v blízkosti daného bodu. Linearizace funkce je jejím prvkem prvního řádu Taylorova expanze kolem bodu zájmu. Pro systém definovaný rovnicí

{ displaystyle { frac {d mathbf {x}} {dt}} = mathbf {F} ( mathbf {x}, t)}

,

linearizovaný systém lze zapsat jako

{ displaystyle { frac {d mathbf {x}} {dt}} přibližně mathbf {F} ( mathbf {x_ {0}}, t) + D mathbf {F} ( mathbf {x_ { 0}}, t) cdot ( mathbf {x} - mathbf {x_ {0}})}

kde ${ displaystyle mathbf {x_ {0}}}$ je bod zájmu a ${ displaystyle D mathbf {F} ( mathbf {x_ {0}})}$ je Jacobian z ${ displaystyle mathbf {F} ( mathbf {x})}$ hodnoceno na ${ displaystyle mathbf {x_ {0}}}$ .

Analýza stability

v stabilita analýza autonomní systémy, lze použít vlastní čísla z Jacobian matrix hodnoceno na a hyperbolický rovnovážný bod určit povahu této rovnováhy. Toto je obsah teorém o linearizaci. U časově proměnlivých systémů vyžaduje linearizace další zdůvodnění.^[3]

Mikroekonomie

v mikroekonomie, rozhodovací pravidla lze aproximovat v rámci přístupu stav-prostor k linearizaci.^[4] Podle tohoto přístupu Eulerovy rovnice z problém s maximalizací užitku jsou linearizovány kolem stacionárního ustáleného stavu.^[4] Poté je nalezeno jedinečné řešení výsledného systému dynamických rovnic.^[4]

Optimalizace

v matematická optimalizace, lze nákladové funkce a nelineární komponenty uvnitř linearizovat, aby bylo možné použít metodu lineárního řešení, jako je Simplexní algoritmus. Optimalizovaného výsledku je dosaženo mnohem efektivněji a je deterministický jako a globální optimum.

Multifyzika

v multifyzika systémy - systémy zahrnující více fyzických polí, která spolu interagují - lze provést linearizaci s ohledem na každé z fyzických polí. Tato linearizace systému s ohledem na každé z polí vede k linearizovanému systému monolitických rovnic, který lze vyřešit pomocí monolitických iteračních postupů řešení, jako je Newton-Raphson metoda. Mezi příklady patří MRI skener systémy, jejichž výsledkem je systém elektromagnetických, mechanických a akustických polí.^[5]

Viz také

Reference

^ Problém linearizace v dynamických systémech komplexní dimenze jedna ve Scholarpedii
^ Linearizace. Univerzita Johna Hopkinse. Katedra elektrotechniky a výpočetní techniky Archivováno 07.06.2010 na Wayback Machine
^ Leonov, G. A .; Kuzněcov, N. V. (2007). "Časově proměnná linearizace a Perronovy efekty". International Journal of Bifurcation and Chaos. 17 (4): 1079–1107. Bibcode:2007 IJBC ... 17.1079L. doi:10.1142 / S0218127407017732.
^ ^A ^b ^C Moffatt, Mike. (2008) About.com State-Space přístup Ekonomický glosář; Podmínky začínající na S. Přístup k 19. červnu 2008.
^ Bagwell, S .; Ledger, P. D .; Gil, A. J .; Mallett, M .; Kruip, M. (2017). „Linearizovaný hp– Kostra konečných prvků pro acousto-magneto-mechanické propojení v osově symetrických MRI skenerech ". International Journal for Numerical Methods in Engineering. 112 (10): 1323–1352. Bibcode:2017IJNME.112.1323B. doi:10,1002 / nme. 5559.

externí odkazy

Výukové programy pro linearizaci

Linearizace pro analýzu modelu a návrh řízení

[1] Problém linearizace v dynamických systémech komplexní dimenze jedna ve Scholarpedii

[2] Linearizace. Univerzita Johna Hopkinse. Katedra elektrotechniky a výpočetní techniky Archivováno 07.06.2010 na Wayback Machine

[3] Leonov, G. A .; Kuzněcov, N. V. (2007). "Časově proměnná linearizace a Perronovy efekty". International Journal of Bifurcation and Chaos. 17 (4): 1079–1107. Bibcode:2007 IJBC ... 17.1079L. doi:10.1142 / S0218127407017732.

[statespace-4] A ^b ^C Moffatt, Mike. (2008) About.com State-Space přístup Ekonomický glosář; Podmínky začínající na S. Přístup k 19. červnu 2008.

[5] Bagwell, S .; Ledger, P. D .; Gil, A. J .; Mallett, M .; Kruip, M. (2017). „Linearizovaný hp– Kostra konečných prvků pro acousto-magneto-mechanické propojení v osově symetrických MRI skenerech ". International Journal for Numerical Methods in Engineering. 112 (10): 1323–1352. Bibcode:2017IJNME.112.1323B. doi:10,1002 / nme. 5559.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]