Funkční (matematika) - Functional (mathematics)

The délka oblouku funkční má jako svoji doménu vektorový prostor usměrnitelné křivky (podprostor o

{ displaystyle C ([0,1], mathbb {R} ^ {3})}

), a vydává skutečný skalár. Toto je příklad nelineární funkce.

The Riemannův integrál je lineární funkční na vektorovém prostoru Riemannovských integrovatelných funkcí od a do b, kde a, b ∈

{ displaystyle mathbb {R}}

.

v matematika, termín funkční (jako podstatné jméno) má nejméně tři významy.

V moderní lineární algebra, odkazuje na lineární mapování z vektorového prostoru ${ displaystyle V}$ do jeho pole skalárů, tj. odkazuje na prvek dvojí prostor ${ displaystyle V ^ {*}}$ .
v matematická analýza, obecněji a historicky, odkazuje na mapování z prostoru ${ displaystyle X}$ do reálná čísla, nebo někdy do komplexní čísla, za účelem vytvoření struktury podobné počtu ${ displaystyle X}$ . V závislosti na autorovi se takové mapování může, ale nemusí považovat za lineární nebo za definovatelné v celém prostoru ${ displaystyle X}$ .
v počítačová věda, je synonymem pro funkce vyššího řádu, tj. funkce, které berou funkce jako argumenty nebo je vracejí.

Tento článek se zabývá hlavně druhým konceptem, který vznikl na počátku 18. Století jako součást variační počet. První koncept, který je modernější a abstraktní, je podrobně popsán v samostatném článku pod názvem lineární forma. Třetí koncept je podrobně uveden v článku o funkce vyššího řádu.

Obvykle prostor ${ displaystyle X}$ je prostor funkcí. V tomto případě je funkčnost „funkcí funkce“ a někteří starší autoři ve skutečnosti definují termín „funkční“ ve smyslu „funkce funkce“. Skutečnost, že ${ displaystyle X}$ je prostor funkcí není matematicky nezbytný, takže tato starší definice již neexistuje.^{[Citace je zapotřebí ]}

Termín pochází z variační počet, kde jeden hledá funkci, která minimalizuje (nebo maximalizuje) danou funkci. Obzvláště důležitá aplikace v fyzika je hledání stavu systému, který minimalizuje (nebo maximalizuje) akce, nebo jinými slovy časový integrál Lagrangian.

Detaily

Dualita

Mapování

{ displaystyle x_ {0} mapsto f (x_ {0})}

je funkce, kde $X 0$ je argument funkce $F$ . Zároveň je mapování funkce na hodnotu funkce v bodě

{ displaystyle f mapsto f (x_ {0})}

je funkční; tady, $X 0$ je parametr.

Pokud $F$ je lineární funkce z vektorového prostoru do základního skalárního pole, výše uvedené lineární mapy jsou dvojí navzájem a ve funkční analýze se oba nazývají lineární funkcionály.

Určitý integrál

Integrály jako

{ displaystyle f mapsto I [f] = int _ { Omega} H (f (x), f '(x), ldots) ; mu ({ mbox {d}} x)}

tvoří speciální třídu funkcionálů. Mapují funkci ${ displaystyle f}$ na reálné číslo za předpokladu, že ${ displaystyle H}$ má skutečnou hodnotu. Mezi příklady patří

oblast pod grafem pozitivní funkce ${ displaystyle f}$

{ displaystyle f mapsto int _ {x_ {0}} ^ {x_ {1}} f (x) ; mathrm {d} x}

L^str norma funkce na množině ${ displaystyle E}$

{ displaystyle f mapsto left ( int _ {E} | f | ^ {p} ; mathrm {d} x right) ^ {1 / p}}

the délka oblouku křivky v 2-dimenzionálním euklidovském prostoru

{ displaystyle f mapsto int _ {x_ {0}} ^ {x_ {1}} { sqrt {1+ | f '(x) | ^ {2}}} ; mathrm {d} x}

Vnitřní produktové prostory

Vzhledem k vnitřní produktový prostor ${ displaystyle X}$ a pevný vektor ${ displaystyle { vec {x}} v X}$ , mapa definovaná ${ displaystyle { vec {y}} mapsto { vec {x}} cdot { vec {y}}}$ je lineární funkční na ${ displaystyle X}$ . Sada vektorů ${ displaystyle { vec {y}}}$ takhle ${ displaystyle { vec {x}} cdot { vec {y}}}$ je nula je vektorový podprostor o ${ displaystyle X}$ , volal prázdný prostor nebo jádro funkční, nebo ortogonální doplněk z ${ displaystyle { vec {x}}}$ , označeno ${ displaystyle {{ vec {x}} } ^ { perp}}$ .

Například převzetí vnitřního produktu s pevnou funkcí ${ displaystyle g v L ^ {2} ([- pi, pi])}$ definuje (lineární) funkční na Hilbertův prostor ${ displaystyle L ^ {2} ([- pi, pi])}$ čtvercových integrovatelných funkcí na ${ displaystyle [- pi, pi]}$ :

${ displaystyle f mapsto langle f, g rangle = int _ {[- pi, pi]} { bar {f}} g}$

Lokalita

Pokud lze vypočítat hodnotu funkce pro malé segmenty vstupní křivky a poté ji sečíst, aby se zjistila celková hodnota, funkce se nazývá místní. Jinak se nazývá nelokální. Například:

{ displaystyle F (y) = int _ {x_ {0}} ^ {x_ {1}} y (x) ; mathrm {d} x}

je místní

{ displaystyle F (y) = { frac { int _ {x_ {0}} ^ {x_ {1}} y (x) ; mathrm {d} x} { int _ {x_ {0} } ^ {x_ {1}} (1+ [y (x)] ^ {2}) ; mathrm {d} x}}}

není místní. K tomu dochází běžně, když se integrály vyskytují samostatně v čitateli a jmenovateli rovnice, například při výpočtech těžiště.

Řešení rovnic

Tradiční použití také platí, když se mluví o funkční rovnici, což znamená rovnici mezi funkcionály: rovnici $F = G$ mezi funkcionály lze číst jako „rovnici k řešení“, přičemž řešení jsou sama o sobě funkcemi. V takových rovnicích může být několik sad neznámých proměnných, jako když se říká, že an přísada funkce $F$ je jedna splnění funkční rovnice

{ displaystyle f (x + y) = f (x) + f (y).}

Derivace a integrace

Funkční deriváty jsou používány v Lagrangian mechanika. Jsou to deriváty funkcionálů: tj. Nesou informace o tom, jak se funkce mění, když se vstupní funkce změní o malou částku.

Richard Feynman použitý funkční integrály jako ústřední myšlenka v jeho součet za historii formulace kvantová mechanika. Toto použití implikuje integrál převzatý některými funkční prostor.

Viz také

Reference

"Funkční", Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS, 2001 [1994]
Rowland, Todd. "Funkční". MathWorld.
Lang, Serge (2002), "III. Modules, §6. The dual space and dual module", Algebra, Postgraduální texty z matematiky, 211 (Přepracované třetí vydání), New York: Springer-Verlag, s. 142–146, ISBN 978-0-387-95385-4, PAN 1878556, Zbl 0984.00001