Bilineární mapa - Bilinear map

v matematika, a bilineární mapa je funkce kombinující prvky dvou vektorové prostory získat prvek třetího vektorového prostoru a je lineární v každém ze svých argumentů. Násobení matic je příklad.

Definice

Vektorové prostory

Nechat ${displaystyle V, W}$ a ${displaystyle X}$ být tři vektorové prostory na stejné základně pole ${displaystyle mathbb {F}}$. Bilineární mapa je a funkce

${displaystyle B: V imes W o X}$

takové, že pro všechny ${displaystyle win W}$, mapa ${displaystyle B_ {w}}$

${displaystyle vmapsto B (v, w)}$

je lineární mapa z ${displaystyle V}$ na ${displaystyle X}$a pro všechny ${displaystyle vin V}$, mapa ${displaystyle B_ {v}}$

${displaystyle wmapsto B (v, w)}$

je lineární mapa z ${displaystyle W}$ na ${displaystyle X}$. Jinými slovy, když budeme držet první záznam bilineární mapy fixní, zatímco necháme druhý záznam měnit, výsledkem bude lineární operátor, a podobně, když budeme držet druhý záznam fixní.

Taková mapa ${displaystyle B}$ splňuje následující vlastnosti.

• Pro všechny ${displaystyle lambda in mathbb {F}}$, ${displaystyle B (lambda v, w) = B (v, lambda w) = lambda B (v, w)}$.
• Mapa ${displaystyle B}$ je aditivní v obou složkách: pokud ${displaystyle v_ {1}, v_ {2} ve V}$ a ${displaystyle w_ {1}, w_ {2} in W}$, pak ${displaystyle B (v_ {1} + v_ {2}, w) = B (v_ {1}, w) + B (v_ {2}, w)}$ a ${displaystyle B (v, w_ {1} + w_ {2}) = B (v, w_ {1}) + B (v, w_ {2})}$.

Li PROTI = Ž a máme B(proti, w) = B(w, proti) pro všechny proti, w v PROTI, pak to říkáme B je symetrický. Li X je základní pole F, pak se mapa nazývá a bilineární forma, které jsou dobře prostudovány (viz např skalární součin, vnitřní produkt a kvadratická forma ).

Moduly

Definice funguje beze změn, pokud místo vektorových prostorů nad polem F, používáme moduly přes komutativní prsten R. Zobecňuje se na n-ary funkce, kde je správný termín multilineární.

Pro nekomutativní prsteny R a S, vlevo R-modul M a právo S-modul N, bilineární mapa je mapa B : M × N → T s T an (R, S)-bimodul, a pro které vůbec n v N, m ↦ B(m, n) je R- homomorfismus modulů a pro všechny m v M, n ↦ B(m, n) je S- homomorfismus modulů. To uspokojuje

B(r ⋅ m, n) = r ⋅ B(m, n)

B(m, n ⋅ s) = B(m, n) ⋅ s

pro všechny m v M, n v N, r v R a s v S, stejně jako B bytost přísada v každém argumentu.

Vlastnosti

Prvním bezprostředním důsledkem definice je to B(proti, w) = 0_X kdykoli proti = 0_PROTI nebo w = 0_Ž. To lze vidět napsáním nulový vektor 0_PROTI tak jako 0 ⋅ 0_PROTI (a podobně pro 0_Ž) a posunutí skalární 0 „ven“ před B, linearitou.

Sada L(PROTI, Ž; X) ze všech bilineárních map je a lineární podprostor prostoru (viz. vektorový prostor, modul ) všech map z PROTI × Ž do X.

Matice M určuje bilineární mapu do reálií pomocí skutečné bilineární formy (proti, w) ↦ proti′Mw, pak spolupracovníci z toho jsou využity další tři možnosti dualita a hudební izomorfismus

Li PROTI, Ž, X jsou konečně-dimenzionální, pak také je L(PROTI, Ž; X). Pro X = F, tj. bilineární formy, je rozměr tohoto prostoru ztlumit PROTI × dim Ž (zatímco prostor L(PROTI × Ž; F) z lineární formy má rozměr ztlumit PROTI + dim Ž). Chcete-li to vidět, zvolte a základ pro PROTI a Ž; pak každá bilineární mapa může být jedinečně reprezentována maticí B(E_i, F_j)a naopak. Teď když X je prostor vyšší dimenze, který samozřejmě máme ztlumit L(PROTI, Ž; X) = dim PROTI × dim Ž × dim X.

Příklady

• Násobení matic je bilineární mapa M (m, n) × M (n, p) → M (m, p).
• Pokud vektorový prostor PROTI přes reálná čísla R nese vnitřní produkt, pak je vnitřním produktem bilineární mapa PROTI × PROTI → R.
• Obecně platí, že pro vektorový prostor PROTI přes pole F, a bilineární forma na PROTI je stejný jako bilineární mapa PROTI × PROTI → F.
• Li PROTI je vektorový prostor s dvojí prostor PROTI^∗, pak operátor aplikace, b(F, proti) = F(proti) je bilineární mapa z PROTI^∗ × PROTI do základního pole.
• Nechat PROTI a Ž být vektorovými prostory nad stejným základním polem F. Li F je členem PROTI^∗ a G člen Ž^∗, pak b(proti, w) = F(proti)G(w) definuje bilineární mapu PROTI × Ž → F.
• The křížový produkt v R³ je bilineární mapa R³ × R³ → R³.
• Nechat B : PROTI × Ž → X být bilineární mapa a L : U → Ž být lineární mapa, pak (proti, u) ↦ B(proti, Lu) je bilineární mapa na PROTI × U.

Spojitost a samostatná spojitost

Předpokládat X, Y, a Z jsou topologické vektorové prostory a nechte ${displaystyle b: X imes Y o Z}$ být bilineární mapa. Pak b se říká, že je samostatně kontinuální pokud platí následující dvě podmínky:

1. pro všechny ${displaystyle xin X}$, mapa ${displaystyle Y o Z}$ dána ${displaystyle ymapsto b (x, y)}$ je spojitý;
2. pro všechny ${displaystyle yin Y}$, mapa ${displaystyle X o Z}$ dána ${displaystyle xmapsto b (x, y)}$ je spojitý.

Mnoho samostatně spojitých bilineárních, které nejsou spojité, uspokojí další vlastnost: hypokontinuita.^[1] Všechny spojité bilineární mapy jsou hypokontinuální.

Dostatečné podmínky pro kontinuitu

Mnoho bilineárních map, které se v praxi vyskytují, je samostatně spojitých, ale ne všechny jsou spojité. Zde uvádíme dostatečné podmínky pro to, aby samostatně spojitý bilineární byl spojitý.

• Li X je Baireův prostor a Y je měřitelný pak každá samostatně spojitá bilineární mapa ${displaystyle b: X imes Y o Z}$ je spojitý.^[1]
• Li X, Y, a Z jsou silné duální z Fréchetové prostory pak každá samostatně spojitá bilineární mapa ${displaystyle b: X imes Y o Z}$ je spojitý.^[1]
• Pokud je bilineární mapa spojitá na (0, 0), pak je spojitá všude.^[2]

Mapa složení

Nechat X, Y, a Z být lokálně konvexní Hausdorffovy prostory a nechat ${displaystyle C: Lleft (X; Yight) imes Lleft (Y; Zight) o Lleft (X; Zight)}$ být mapa složení definovaná ${displaystyle C (u, v): = vcirc u}$. Obecně platí, že bilineární mapa C není spojitý (bez ohledu na to, jaké topologie jsou uvedeny prostory lineárních map). Máme však následující výsledky:

Dejte všem třem prostorům lineárních map jednu z následujících topologií:

1. dát všem třem topologii omezené konvergence;
2. dát všem třem topologii kompaktní konvergence;
3. dát všem třem topologii bodové konvergence.

• Li E je rovnocenný podmnožina ${displaystyle Lleft (Y; Zight)}$ pak omezení ${displaystyle C {ig vert} _ {Lleft (X; Yight) imes E}: Lleft (X; Yight) imes E o Lleft (X; Zight)}$ je spojitý pro všechny tři topologie.^[1]
• Li Y je sudový prostor pak pro každou sekvenci ${displaystyle left (u_ {i} ight) _ {i = 1} ^ {infty}}$ konvergující k u v ${displaystyle Lleft (X; Yight)}$ a každá sekvence ${displaystyle left (v_ {i} ight) _ {i = 1} ^ {infty}}$ konvergující k proti v ${displaystyle Lleft (Y; Zight)}$, sekvence ${displaystyle left (v_ {i} circle u_ {i} ight) _ {i = 1} ^ {infty}}$ konverguje k ${displaystyle vcirc u}$ v ${displaystyle Lleft (Y; Zight)}$. ^[1]

Viz také

• Tenzorový produkt
• Sesquilineární forma
• Bilineární filtrování
• Multilineární mapa
• Multilineární podprostorové učení

Reference

Bibliografie

• Schaefer, Helmut H.; Wolff, Manfred P. (1999). Topologické vektorové prostory. GTM. 8 (Druhé vydání.). New York, NY: Springer New York Otisk Springer. ISBN  978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135.
• Trèves, François (2006) [1967]. Topologické vektorové prostory, distribuce a jádra. Mineola, NY: Dover Publications. ISBN  978-0-486-45352-1. OCLC  853623322.

externí odkazy

• „Bilineární mapování“, Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS, 2001 [1994]