Jacobi identita - Jacobi identity

v matematika, Jacobi identita je vlastnost a binární operace který popisuje, jak pořadí vyhodnocení (umístění závorek do více produktů) ovlivňuje výsledek operace. Naopak pro operace s asociativní majetek, jakékoli pořadí hodnocení dává stejný výsledek (závorky u více produktů nejsou nutné). Totožnost je pojmenována po německém matematikovi Carl Gustav Jakob Jacobi.

The křížový produkt ${ displaystyle a times b}$ a Operace ležáku ${ displaystyle [a, b]}$ oba uspokojují Jacobiho identitu. v analytická mechanika je identita Jacobi uspokojena Poissonovy závorky. v kvantová mechanika, je uspokojen provozovatelem komutátory na Hilbertův prostor a ekvivalentně v formulace fázového prostoru kvantové mechaniky Věrný držák.

Definice

Zvažte sadu A se dvěma binárními operacemi + a × , s aditivní identitou 0. To uspokojuje Jacobiho identitu, pokud:

${ Displaystyle x times (y times z) + z times (x times y) + y times (z times x) = 0 quad forall {x, y, z} v A.}$

Levá strana je součtem všech sudých permutací x × (y × z): to znamená, že necháme závorky pevné a vyměňujeme písmena sudým počtem opakování.

Forma konzoly komutátoru

Nejjednodušší příklad a Lež algebra je konstruován z (asociativního) kruhu ${ displaystyle n krát n}$ matice, které lze považovat za nekonečně malé pohyby n-dimenzionální vektorový prostor. Operace × je komutátor, který měří poruchu komutativity v násobení matic; namísto ${ displaystyle X krát Y}$, jeden používá notaci závorky Lie:

${ displaystyle [X, Y] = XY-YX.}$

V této notaci je Jacobi identita:

To lze snadno zkontrolovat výpočtem.

Obecněji předpokládejme A je asociativní algebra a PROTI je podprostor o A který je uzavřen pod operací držáku: ${ displaystyle [X, Y] = XY-YX}$ patří PROTI pro všechny ${ displaystyle X, Y ve V}$. Pak se identita Jacobi nadále drží PROTI.^[1] Pokud tedy binární operace ${ displaystyle [X, Y]}$ uspokojuje Jacobi identitu, můžeme říci, že ji chová se, jako by bylo to dáno ${ displaystyle XY-YX}$ v nějaké asociativní algebře, i když to tak vlastně není definováno.

Za použití antisymetrická vlastnost ${ displaystyle [X, Y] = - [Y, X]}$, Jacobiho identitu lze přepsat jako modifikaci asociativní majetek:

${ displaystyle [[X, Y], Z] = [X, [Y, Z]] - [Y, [X, Z]] ~.}$

S ohledem na ${ displaystyle [X, Z]}$ jako akce nekonečně malého pohybu X na Z, lze to konstatovat jako:

Akce Y následován X (operátor ${ displaystyle [X, [Y, cdot ]]}$), minus akce X následován Y (operátor ${ displaystyle ([Y, [X, cdot ]]}$), se rovná akci ${ displaystyle [X, Y]}$, (operátor ${ displaystyle [[X, Y], cdot ]}$).

Existuje také nepřeberné množství klasifikované Jacobi identity zahrnující antikomutátory ${ displaystyle {X, Y }}$, jako:

${ displaystyle [ {X, Y }, Z] + [ {Y, Z }, X] + [ {Z, X }, Y] = 0, qquad [ {X, Y }, Z] + {[Z, Y], X } + {[Z, X], Y } = 0.}$

Přilehlý formulář

Většina běžných příkladů Jacobi identity pochází z násobení závorek ${ displaystyle [x, y]}$ na Lež algebry a Lži zazvoní. Jacobi identita je zapsána jako:

${ displaystyle [x, [y, z]] + [z, [x, y]] + [y, [z, x]] = 0.}$

Protože násobení závorek je antisymetrický, Jacobi identita připouští dvě ekvivalentní formulace. Definování operátor adjoint ${ displaystyle operatorname {ad} _ {x}: y mapsto [x, y]}$, identita se stává:

${ displaystyle operatorname {ad} _ {x} [y, z] = [ operatorname {ad} _ {x} y, z] + [y, operatorname {ad} _ {x} z].}$

Jacobiho identita pro Lieovy algebry tedy uvádí, že působení jakéhokoli prvku na algebře je a derivace. Tato forma Jacobi identity se také používá k definici pojmu Leibnizova algebra.

Další přeskupení ukazuje, že Jacobi identita je ekvivalentní následující identitě mezi operátory adjoint reprezentace:

${ displaystyle operatorname {ad} _ {[x, y]} = [ operatorname {ad} _ {x}, operatorname {ad} _ {y}].}$

Zde je závorka na levé straně operací původní algebry, závorka na pravé straně je komutátorem složení operátorů a identita uvádí, že ${ displaystyle mathrm {reklama}}$ mapa odesílající každý prvek do jeho adjunktní akce je a Homomorfismus lže algebry.

Související identity

The Hall – Wittova identita je obdobná identita pro komutátor provoz v a skupina.

Následující identita vyplývá z antikomutativity a Jacobiho identity a platí v libovolné Lieově algebře:^[2]

${ displaystyle [x, [y, [z, w]]] + [y, [x, [w, z]]] + [z, [w, [x, y]]] + [w, [z , [y, x]]] = 0.}$

Viz také

• Strukturní konstanty
• Super Jacobi identita
• Tři podskupiny lemma (Hall – Wittova identita)

Reference

• Hall, Brian C. (2015), Lie Groups, Lie Algebras, and Reprezentations: An Elementary Introduction, Postgraduální texty z matematiky, 222 (2. vyd.), Springer, ISBN  978-3319134666.

externí odkazy

• Weisstein, Eric W. „Jacobi Identities“. MathWorld.