Souřadnicový systém - Coordinate system

Zde se přesměrovává „Koordinátor“. Souřadnice Země viz Geografický souřadnicový systém. Pro další použití viz Souřadnice (disambiguation).
Geografické souřadnice na Wikipedii viz Šablona: Coord.
The sférický souřadný systém se běžně používá v fyzika. Každému bodu v euklidovském prostoru přiřadí tři čísla (známá jako souřadnice): radiální vzdálenost r, polární úhel θ (theta ) a azimutální úhel φ (phi ). Symbol ρ (rho ) se často používá místo r.

v geometrie, a souřadnicový systém je systém, který používá jeden nebo více čísla nebo souřadnice, aby jednoznačně určila polohu bodů nebo jiné geometrické prvky na a potrubí jako Euklidovský prostor.[1][2] Pořadí souřadnic je významné a někdy jsou identifikovány podle jejich polohy v uspořádaném pořadí n-tice a někdy i dopisem, jako v " X-coordinate ". Souřadnice jsou považovány za reálná čísla v elementární matematika, ale možná komplexní čísla nebo prvky abstraktnějšího systému, jako je a komutativní prsten. Použití souřadnicového systému umožňuje převést problémy v geometrii na problémy týkající se čísel a naopak; to je základ analytická geometrie.[3]

Společné souřadnicové systémy

Číselná řada

Hlavní článek: Číselná řada

Nejjednodušším příkladem souřadnicového systému je identifikace bodů na řádku se skutečnými čísly pomocí číselná řada. V tomto systému libovolný bod Ó (dále jen původ) je vybrán na daném řádku. Souřadnice bodu P je definována jako podepsaná vzdálenost od Ó na P, kde podepsaná vzdálenost je vzdálenost braná jako kladná nebo záporná v závislosti na které straně čáry P lži. Každý bod má jedinečnou souřadnici a každé reálné číslo je souřadnicí jedinečného bodu.[4]

Číselná řada

Kartézský souřadnicový systém

Hlavní článek: Kartézský souřadnicový systém
The Kartézský souřadnicový systém v letadle.

Prototypickým příkladem souřadnicového systému je Kartézský souřadnicový systém. V letadlo, dva kolmý čáry jsou vybrány a souřadnice bodu jsou považovány za podepsané vzdálenosti k čarám.

Obdélníkové souřadnice.svg

Ve třech rozměrech, tři vzájemně ortogonální jsou vybrány roviny a tři souřadnice bodu jsou podepsané vzdálenosti ke každé z rovin.[5] To lze zobecnit a vytvořit n souřadnice libovolného bodu v n-rozměrný euklidovský prostor.

V závislosti na směru a pořadí souřadnicových os může být trojrozměrný systém a pravák nebo levotočivý systém. Toto je jeden z mnoha souřadnicových systémů.

Polární souřadnicový systém

Hlavní článek: Polární souřadnicový systém

Dalším běžným souřadným systémem pro letadlo je polární souřadnicový systém.[6] Bod je vybrán jako pól a paprsek z tohoto bodu je považován za polární osa. Pro daný úhel θ existuje jediná čára procházející pólem, jejíž úhel s polární osou je θ (měřeno proti směru hodinových ručiček od osy k přímce). Pak je na této přímce jedinečný bod, jehož podepsaná vzdálenost od počátku je r pro dané číslo r. Pro danou dvojici souřadnic (r, θ) existuje jeden bod, ale jakýkoli bod je reprezentován mnoha páry souřadnic. Například, (r, θ), (r, θ + 2π) a (-r, θ + π) jsou všechny polární souřadnice pro stejný bod. Pól je reprezentován (0, θ) pro jakoukoli hodnotu θ.

Válcové a sférické souřadné systémy

Hlavní články: Válcový souřadnicový systém a Sférický souřadný systém
Válcový souřadnicový systém

Existují dvě běžné metody pro rozšíření polárního souřadného systému na tři rozměry. V válcový souřadnicový systém, a z-souřadnice se stejným významem jako v kartézských souřadnicích se přidá do r a θ polární souřadnice dávající trojnásobek (r, θ, z).[7] Sférické souřadnice to posunou o krok dále převedením dvojice válcových souřadnic (r, z) na polární souřadnice (ρ, φ) dávat trojnásobek (ρ, θ, φ).[8]

Homogenní souřadnicový systém

Hlavní článek: Homogenní souřadnice

Bod v rovině může být znázorněn v homogenní souřadnice trojnásobkem (X, y, z) kde X/z a y/z jsou kartézské souřadnice bodu.[9] Tím se zavádí „extra“ souřadnice, protože k určení bodu v rovině jsou potřeba pouze dvě, ale tento systém je užitečný v tom, že představuje libovolný bod na projektivní rovina bez použití nekonečno. Obecně platí, že homogenní souřadnicový systém je takový, kde jsou významné pouze poměry souřadnic a nikoli skutečné hodnoty.

Další běžně používané systémy

Některé další běžné souřadnicové systémy jsou následující:

Existují způsoby, jak popsat křivky bez souřadnic pomocí vnitřní rovnice které používají invariantní veličiny jako zakřivení a délka oblouku. Tyto zahrnují:

Souřadnice geometrických objektů

Souřadnicové systémy se často používají k určení polohy bodu, ale lze je také použít k určení polohy složitějších obrazců, jako jsou čáry, roviny, kružnice nebo koule. Například, Plückerovy souřadnice se používají k určení polohy čáry v prostoru.[10] V případě potřeby se typ popisovaného obrázku použije k rozlišení typu souřadnicového systému, například výrazu souřadnice čáry se používá pro jakýkoli souřadný systém, který určuje polohu přímky.

Může se stát, že systémy souřadnic pro dvě různé sady geometrických obrazců jsou z hlediska jejich analýzy rovnocenné. Příkladem toho jsou systémy homogenních souřadnic bodů a čar v projektivní rovině. O dvou systémech v takovém případě se říká, že jsou dualistické. Dualistické systémy mají tu vlastnost, že výsledky z jednoho systému mohou být přeneseny do druhého, protože tyto výsledky jsou pouze rozdílnou interpretací stejného analytického výsledku; toto je známé jako princip dualita.[11]

Transformace

Viz také: Aktivní a pasivní transformace
Hlavní článek: Seznam běžných transformací souřadnic

Protože pro popis geometrických obrazců často existuje mnoho různých možných souřadnicových systémů, je důležité pochopit, jak spolu souvisejí. Takové vztahy popisuje transformace souřadnic které dávají vzorce pro souřadnice v jednom systému, pokud jde o souřadnice v jiném systému. Například v rovině, pokud jsou kartézské souřadnice (X, y) a polární souřadnice (r, θ) mají stejný původ a polární osa je kladná X Osa, pak je transformace souřadnic z polárních na kartézské souřadnice dána vztahem X = r cosθ a y = r hříchθ.

S každým bijekce z prostoru do sebe lze přiřadit dvě transformace souřadnic:

  • takové, že nové souřadnice obrazu každého bodu jsou stejné jako staré souřadnice původního bodu (vzorce pro mapování jsou inverzní k vzorcům pro transformaci souřadnic)
  • takové, že staré souřadnice obrazu každého bodu jsou stejné jako nové souřadnice původního bodu (vzorce pro mapování jsou stejné jako vzorce pro transformaci souřadnic)

Například v 1D, je-li mapování překladem 3 doprava, první posune počátek z 0 na 3, takže souřadnice každého bodu se zmenší o 3, zatímco druhá posune počátek z 0 na -3, takže souřadnice z každého bodu se stanou další 3.

Souřadnicové čáry / křivky a roviny / povrchy

„Souřadnicová čára“ se přeadresuje tady. Nesmí být zaměňována s Souřadnice čáry.
„Souřadnicová rovina“ přeadresuje tady. Nesmí být zaměňována s Rovinné souřadnice.

Ve dvou dimenzích, pokud je jedna ze souřadnic v bodovém souřadnicovém systému udržována konstantní a druhé souřadnici je dovoleno se měnit, pak se výsledná křivka nazývá a souřadnicová křivka. V kartézském souřadnicovém systému jsou souřadnicové křivky ve skutečnosti rovné čáry, tím pádem souřadnicové čáry. Konkrétně se jedná o čáry rovnoběžné s jednou z souřadnicových os. U jiných souřadnicových systémů mohou být křivkami souřadnic obecné křivky. Například křivky souřadnic v polárních souřadnicích získané přidržením r konstantní jsou kruhy se středem v počátku. Souřadnicový systém, pro který některé souřadnicové křivky nejsou čarami, se nazývá a křivočarý souřadnicový systém.[12] Tento postup nemusí vždy dávat smysl, například v a nejsou žádné souřadnicové křivky homogenní souřadnicový systém.

Souřadnicové plochy trojrozměrných paraboloidních souřadnic.

Pokud je v trojrozměrném prostoru jedna souřadnice udržována konstantní a dalším dvěma je dovoleno měnit se, výsledná plocha se nazývá a souřadnicový povrch. Například souřadnicové povrchy získané udržováním konstanty ρ v sférický souřadný systém jsou koule se středem v počátku. V trojrozměrném prostoru je průsečíkem dvou souřadnicových ploch souřadnicová křivka. V kartézském souřadnicovém systému můžeme mluvit souřadnicové roviny.

Podobně, koordinovat hyperplochy jsou (n − 1)-dimenzionální mezery vyplývající z upevnění jediné souřadnice souřadnice n-rozměrný souřadnicový systém.[13]

Souřadnicové mapy

Hlavní článek: Souřadnicová mapa
Další informace: Rozdělovač

Koncept a souřadnicová mapanebo souřadnicový graf je ústřední v teorii potrubí. Mapa souřadnic je v podstatě souřadnicový systém pro podmnožinu daného prostoru s vlastností, že každý bod má přesně jednu sadu souřadnic. Přesněji řečeno, souřadnicová mapa je a homeomorfismus z otevřené podmnožiny prostoru X do otevřené podmnožiny Rn.[14] Často není možné zajistit jeden konzistentní souřadný systém pro celý prostor. V takovém případě je soubor souřadnicových map spojen do formy atlas zakrývající prostor. Prostor vybavený takovým atlasem se nazývá a potrubí a další struktura může být definována na potrubí, pokud je struktura konzistentní tam, kde se souřadnicové mapy překrývají. Například a diferencovatelné potrubí je potrubí, kde je změna souřadnic z jedné souřadnicové mapy na jinou vždy rozlišitelnou funkcí.

Souřadnice založené na orientaci

v geometrie a kinematika, k popisu (lineární) polohy bodů a úhlová poloha os, letadel a tuhá tělesa.[15] V druhém případě je orientace druhého (obvykle označovaného jako „místní“) souřadnicový systém připevněný k uzlu definována na základě prvního (obvykle označovaného jako „globální“ nebo „světový“ souřadný systém). Orientaci tuhého tělesa lze například představovat orientací matice, který ve svých třech sloupcích obsahuje Kartézské souřadnice tří bodů. Tyto body se používají k definování orientace os místního systému; jsou to tipy tří jednotkové vektory zarovnán s těmito osami.

Viz také

Relativistické souřadnicové systémy

Reference

Citace

  1. ^ Woods p. 1
  2. ^ Weisstein, Eric W. „Coordinate System“. MathWorld.
  3. ^ Weisstein, Eric W. "Souřadnice". MathWorld.
  4. ^ Stewart, James B.; Redlin, Lothar; Watson, Saleem (2008). College Algebra (5. vydání). Brooks Cole. s. 13–19. ISBN  978-0-495-56521-5.
  5. ^ Moon P, Spencer DE (1988). "Obdélníkové souřadnice (x, y, z)". Příručka polní teorie, včetně souřadnicových systémů, diferenciálních rovnic a jejich řešení (opraveno 2., 3. tisk ed.). New York: Springer-Verlag. str. 9–11 (tabulka 1.01). ISBN  978-0-387-18430-2.
  6. ^ Finney, Ross; George Thomas; Franklin Demana; Bert Waits (červen 1994). Kalkul: grafický, numerický, algebraický (Verze s jednou proměnnou). Addison-Wesley Publishing Co. ISBN  0-201-55478-X.
  7. ^ Margenau, Henry; Murphy, George M. (1956). Matematika fyziky a chemie. New York City: D. van Nostrand. str.178. ISBN  978-0-88275-423-9. LCCN  55010911. OCLC  3017486.
  8. ^ Morse PM, Feshbach H (1953). Metody teoretické fyziky, část I.. New York: McGraw-Hill. str. 658. ISBN  0-07-043316-X. LCCN  52011515.
  9. ^ Jones, Alfred Clement (1912). Úvod do algebraické geometrie. Clarendon.
  10. ^ Hodge, W.V.D.; D. Pedoe (1994) [1947]. Metody algebraické geometrie, svazek I (kniha II). Cambridge University Press. ISBN  978-0-521-46900-5.
  11. ^ Woods p. 2
  12. ^ Tang, K. T. (2006). Matematické metody pro inženýry a vědce. 2. Springer. str. 13. ISBN  3-540-30268-9.
  13. ^ Liseikin, Vladimir D. (2007). Přístup výpočetní diferenciální geometrie k generování mřížky. Springer. str. 38. ISBN  978-3-540-34235-9.
  14. ^ Munkres, James R. (2000) Topologie. Prentice Hall. ISBN  0-13-181629-2.
  15. ^ Hanspeter Schaub; John L. Junkins (2003). "Kinematika tuhého těla". Analytická mechanika vesmírných systémů. Americký institut pro letectví a astronautiku. str. 71. ISBN  1-56347-563-4.

Zdroje

externí odkazy