Minimální polynom (teorie pole) - Minimal polynomial (field theory)
v teorie pole, pobočka matematika, minimální polynom hodnoty α je zhruba řečeno polynomiální nejnižší stupeň mít koeficienty specifikovaného typu, takové, že α je kořen polynomu. Pokud je minimální polynom z α existuje, je jedinečný. Koeficient nejvyššího stupně v polynomu musí být 1 a zadaný typ pro zbývající koeficienty může být celá čísla, racionální čísla, reálná čísla nebo jiné.
Více formálně je minimální polynom definován vzhledem k a rozšíření pole E/F a prvek pole rozšíření E. Minimální polynom prvku, pokud existuje, je členem F[X], kruh polynomů v proměnné X s koeficienty v F. Vzhledem k prvku α z E, nechť Jα být množinou všech polynomů F(X) v F[X] takové, že F(α) = 0. Prvek α se nazývá a root nebo nula každého polynomu v Jα. Sada Jα je tak pojmenován, protože je to ideál z F[X]. Nulový polynom, jehož všechny koeficienty jsou 0, je v každém Jα od 0αi = 0 pro všechny α a i. Díky tomu je nulový polynom zbytečný pro klasifikaci různých hodnot α do typů, takže je to výjimkou. Pokud existují nenulové polynomy v Jα, pak α se nazývá algebraický prvek přes F, a existuje a monický polynom nejmenšího stupně v Jα. Toto je minimální polynom α s ohledem na E/F. Je jedinečný a neredukovatelné přes F. Pokud je nulový polynom jediným členem Jα, pak α se nazývá a transcendentální prvek přes F a nemá žádný minimální polynom vzhledem k E/F.
Minimální polynomy jsou užitečné pro konstrukci a analýzu rozšíření pole. Když α je algebraický s minimálním polynomem A(X), nejmenší pole, které obsahuje obě F a α je izomorfní do kvocientový kroužek F[X]/⟨A(X)⟩, Kde ⟨A(X)⟩ Je ideál F[X] generováno A(X). K definování se také používají minimální polynomy konjugované prvky.
Definice
Nechat E/F být polním rozšířením, α prvek E, a F[X] kruh polynomů v X přes F. Prvek α má minimální polynom, když α je algebraické F, tedy kdy F(α) = 0 pro nějaký nenulový polynom F(X) v F[X]. Pak minimální polynom z α je definován jako monický polynom nejmenšího stupně ze všech polynomů v F[X] mít α jako kořen.
Jedinečnost
Nechat A(X) je minimální polynom z α s ohledem na E/F. Jedinečnost A(X) je stanoven zvážením kruhový homomorfismus subα z F[X] do E že náhražky α pro X, tj. Subα(F(X)) = F(α). Jádro subα, ker (podα), je množina všech polynomů v F[X] které mají α jako kořen. To znamená, ker (subα) = Jα shora. Vzhledem k tomu, subα je kruhový homomorfismus, ker (subα) je ideál F[X]. Od té doby F[X] je hlavní prsten kdykoli F je pole, v jádře je alespoň jeden polynom (subα), který generuje ker (subα). Takový polynom bude mít nejmenší stupeň ze všech nenulových polynomů v jádru (subα), a A(X) je považován za jedinečný monický polynom mezi nimi.
Alternativní důkaz jedinečnosti
Předpokládat p a q jsou monické polynomy v Jα minimálního stupně n > 0. Od té doby p − q ∈ Jα a deg (p − q) < n z toho vyplývá, že p − q = 0, tj. p = q.
Vlastnosti
Minimální polynom je neredukovatelný. Nechat E/F být rozšířením pole F jak je uvedeno výše, α ∈ E, a F ∈ F[X] minimální polynom pro α. Předpokládat F = gh, kde G, h ∈ F[X] jsou nižšího stupně než F. Nyní F(α) = 0. Protože pole jsou také integrální domény, my máme G(α) = 0 nebo h(α) = 0. To je v rozporu s minimem stupně F. Minimální polynomy jsou tedy neredukovatelné.
Příklady
Minimální polynom rozšíření pole Galois
Vzhledem k rozšíření pole Galois minimální polynom libovolného ne v lze vypočítat jako
-li nemá žádné stabilizátory v akci Galois. Protože je to neredukovatelné, což lze odvodit pohledem na kořeny , je to minimální polynom. Stejný druh vzorce lze najít nahrazením s kde je stabilizační skupina . Například pokud pak je jeho stabilizátor , proto je jeho minimální polynom.
Kvadratická rozšíření pole
Q (√2)
Li F = Q, E = R, α = √2, pak minimální polynom pro α je A(X) = X2 - 2. Základní pole F je důležité, protože určuje možnosti pro koeficienty A(X). Například pokud vezmeme F = R, pak minimální polynom pro α = √2 je A(X) = X − √2.
Q (√d)
Obecně platí, že pro kvadratické rozšíření dané čtvercem bez , výpočet minimálního polynomu prvku lze nalézt pomocí Galoisovy teorie. Pak
zejména z toho vyplývá a . To lze použít k určení přes a řada vztahů pomocí modulární aritmetiky.
Bikvadratická rozšíření pole
Li α = √2 + √3, pak minimální polynom v Q[X] je A(X) = X4 − 10X2 + 1 = (X − √2 − √3)(X + √2 − √3)(X − √2 + √3)(X + √2 + √3).
Všimněte si, jestli poté akce Galois stabilizuje . Proto lze minimální polynom najít pomocí skupiny kvocientů .
Kořeny jednoty
Minimální polynomy v Q[X] z kořeny jednoty jsou cyklotomické polynomy.
Swinnerton-Dyerovy polynomy
Minimální polynom v Q[X] součtu druhých odmocnin první n prvočísla jsou konstruována analogicky a nazývá se a Swinnerton-Dyerův polynom.
Viz také
Reference
- Weisstein, Eric W. "Algebraické číslo Minimální polynom". MathWorld.
- Minimální polynom na PlanetMath.org.
- Pinter, Charles C. Kniha abstraktní algebry. Dover Books on Mathematics Series. Publikace Dover, 2010, str. 270–273. ISBN 978-0-486-47417-5