Vektorové projekce - Vector projection

Projekce A na b (A₁) a odmítnutí A z b (A₂).

Když 90 ° < θ ≤ 180°, A₁ má opačný směr vzhledem k b.

The vektorová projekce vektoru A na (nebo na) nenulový vektor b, někdy označován ${ displaystyle operatorname {proj} _ { mathbf {b}} mathbf {a}}$^[1] (také známý jako vektorová složka nebo vektorové rozlišení z A ve směru b), je ortogonální projekce z A na a přímka paralela k b. Je to vektor rovnoběžný s b, definováno jako:

${ displaystyle mathbf {a} _ {1} = a_ {1} mathbf { hat {b}} ,}$

kde ${ displaystyle a_ {1}}$ je skalární, nazývaný skalární projekce z A na b, a b̂ je jednotkový vektor ve směru b.

Skalární projekce je zase definována jako:^[2]

${ displaystyle a_ {1} = left | mathbf {a} right | cos theta = mathbf {a} cdot mathbf { hat {b}} = mathbf {a} cdot { frac { mathbf {b}} { vlevo | mathbf {b} vpravo |}} ,}$

kde operátor ⋅ označuje a Tečkovaný produkt, ‖A‖ je délka z A, a θ je úhel mezi A a b.

Skalární projekce se rovná délce vektorové projekce, se znaménkem mínus, pokud je směr projekce opačný ke směru b. Složka vektoru nebo vektor resolute z A kolmo na b, někdy také nazývaný vektorové odmítnutí z A z b (označeno ${ displaystyle operatorname {oproj} _ { mathbf {b}} mathbf {a}}$^[1]),^[3] je ortogonální projekce A na letadlo (nebo obecně nadrovina ) kolmo na b. Obě projekce A₁ a odmítnutí A₂ vektoru A jsou vektory a jejich součet se rovná A,^[1] což znamená, že odmítnutí je dáno: ${ displaystyle mathbf {a} _ {2} = mathbf {a} - mathbf {a} _ {1}.}$

Zápis

Vektorová projekce je obvykle označena tučným písmem (např. A₁) a odpovídající skalární projekce s normálním písmem (např. A₁). V některých případech, zejména u rukopisu, je vektorová projekce také označena pomocí a diacritic nad nebo pod písmenem (např. ${ displaystyle { vec {a}} _ {1}}$ nebo A₁; vidět § Zastoupení níže pro více informací). Vektorová projekce A na b a odpovídající odmítnutí jsou někdy označeny A_∥b a A_⊥b, resp.

Definice založené na úhlu θ

Skalární projekce

Skalární projekce A na b je skalární rovna

${ displaystyle a_ {1} = vlevo | mathbf {a} vpravo | cos theta}$,

kde θ je úhel mezi A a b.

Skalární projekci lze použít jako a měřítko vypočítat odpovídající vektorovou projekci.

Vektorové projekce

Vektorová projekce A na b je vektor, jehož velikost je skalární projekcí A na b se stejným směrem jako b. Jmenovitě je definován jako

${ displaystyle mathbf {a} _ {1} = a_ {1} mathbf { hat {b}} = ( left | mathbf {a} right | cos theta) mathbf { klobouk {b}}}$

kde ${ displaystyle a_ {1}}$ je odpovídající skalární projekce, jak je definována výše, a ${ displaystyle mathbf { hat {b}}}$ je jednotkový vektor se stejným směrem jako b:

${ displaystyle mathbf { hat {b}} = { frac { mathbf {b}} { left | mathbf {b} right |}} ,}$

Vektorové odmítnutí

Podle definice vektorové odmítnutí A na b je:

${ displaystyle mathbf {a} _ {2} = mathbf {a} - mathbf {a} _ {1}}$

Proto,

${ displaystyle mathbf {a} _ {2} = mathbf {a} - ( left | mathbf {a} right | cos theta) mathbf { hat {b}}}$

Definice z hlediska a a b

Když θ není známo, kosinus z θ lze vypočítat z hlediska A a bnásledující majetkem Tečkovaný produkt A⋅b

${ displaystyle { frac { mathbf {a} cdot mathbf {b}} { left | mathbf {a} right | , left | mathbf {b} right |} } = cos theta}$

Skalární projekce

Podle výše uvedené vlastnosti tečkového součinu se definice skalární projekce stává:^[2]

${ displaystyle a_ {1} = left | mathbf {a} right | cos theta = left | mathbf {a} right | { frac { mathbf {a} cdot mathbf {b}} { left | mathbf {a} right | , left | mathbf {b} right |}} = { frac { mathbf {a} cdot mathbf {b}} { left | mathbf {b} right |}}}$.

Ve dvou dimenzích se to stane

${ displaystyle a_ {1} = { frac { mathbf {a} _ {x} mathbf {b} _ {x} + mathbf {a} _ {y} mathbf {b} _ {y}} { left | mathbf {b} right |}}}$.

Vektorové projekce

Podobně definice vektorové projekce A na b se stává:

${ displaystyle mathbf {a} _ {1} = a_ {1} mathbf { hat {b}} = { frac { mathbf {a} cdot mathbf {b}} { left | mathbf {b} right |}} { frac { mathbf {b}} { left | mathbf {b} right |}},}$^[2]

což je ekvivalentní buď

${ displaystyle mathbf {a} _ {1} = left ( mathbf {a} cdot mathbf { hat {b}} right) mathbf { hat {b}},}$

nebo^[4]

${ displaystyle mathbf {a} _ {1} = { frac { mathbf {a} cdot mathbf {b}} { left | mathbf {b} right | ^ {2}}} { mathbf {b}} = { frac { mathbf {a} cdot mathbf {b}} { mathbf {b} cdot mathbf {b}}} { mathbf {b}}}$.

Skalární odmítnutí

Ve dvou dimenzích je skalární odmítnutí ekvivalentní s projekcí A na ${ displaystyle mathbf {b} ^ { perp} = { begin {pmatrix} - mathbf {b} _ {y} & mathbf {b} _ {x} end {pmatrix}}}$, který je ${ displaystyle mathbf {b} = { begin {pmatrix} mathbf {b} _ {x} & mathbf {b} _ {y} end {pmatrix}}}$ otočeno o 90 ° doleva. Proto,

${ displaystyle a_ {2} = left | mathbf {a} right | sin theta = { frac { mathbf {a} cdot mathbf {b} ^ { perp}} { left | mathbf {b} right |}} = { frac { mathbf {a} _ {y} mathbf {b} _ {x} - mathbf {a} _ {x} mathbf { b} _ {y}} { left | mathbf {b} right |}}}$.

Takový bodový produkt se nazývá „perp bodový produkt“.^[5]

Vektorové odmítnutí

Podle definice,

${ displaystyle mathbf {a} _ {2} = mathbf {a} - mathbf {a} _ {1}}$

Proto,

${ displaystyle mathbf {a} _ {2} = mathbf {a} - { frac { mathbf {a} cdot mathbf {b}} { mathbf {b} cdot mathbf {b}} } { mathbf {b}}.}$

Vlastnosti

Pokud 0 ° ≤ θ ≤ 90 °, jako v tomto případě, skalární projekce z A na b se shoduje s délka vektorové projekce.

Skalární projekce

Skalární projekce A na b je skalár, který má záporné znaménko, pokud 90 stupňů < θ ≤ 180 stupňů. Shoduje se s délka ‖C‖ Vektorové projekce, pokud je úhel menší než 90 °. Přesněji:

• A₁ = ‖A₁‖ Pokud 0 ≤ θ ≤ 90 stupňů,
• A₁ = −‖A₁‖ Pokud 90 stupňů < θ ≤ 180 stupňů.

Vektorové projekce

Vektorová projekce A na b je vektor A₁ který je buď nulový, nebo paralelní s b. Přesněji:

• A₁ = 0 -li θ = 90°,
• A₁ a b mají stejný směr, pokud 0 ≤ θ <90 stupňů,
• A₁ a b mít opačné směry, pokud je 90 stupňů < θ ≤ 180 stupňů.

Vektorové odmítnutí

Vektorové odmítnutí A na b je vektor A₂ který je buď nulový, nebo kolmý na b. Přesněji:

• A₂ = 0 -li θ = 0 nebo θ = 180 stupňů,
• A₂ je kolmý na b pokud 0 < θ <180 stupňů,

Maticová reprezentace

Ortogonální projekce může být reprezentována projekční maticí. Promítnutí vektoru na jednotkový vektor A = (A_X, a_y, a_z), bylo by nutné jej vynásobit touto projekční maticí:

${ displaystyle P_ {a} = aa ^ { textyf {T}} = { začátek {bmatrix} a_ {x} a_ {y} a_ {z} konec {bmatrix}} { začátek { bmatrix} a_ {x} & a_ {y} & a_ {z} end {bmatrix}} = { begin {bmatrix} a_ {x} ^ {2} & a_ {x} a_ {y} & a_ {x} a_ {z } a_ {x} a_ {y} & a_ {y} ^ {2} & a_ {y} a_ {z} a_ {x} a_ {z} & a_ {y} a_ {z} & a_ {z} ^ {2} end {bmatrix}}}$

Použití

Vektorová projekce je důležitou operací v Gram – Schmidt ortonormalizace z vektorový prostor základny. Používá se také v teorém o oddělovací ose zjistit, zda se dva konvexní tvary protínají.

Zobecnění

Od pojmu vektoru délka a úhel mezi vektory lze zobecnit na libovolný n-dimenzionální vnitřní produktový prostor, to platí také pro pojmy ortogonální projekce vektoru, projekce vektoru na jiný a odmítnutí vektoru z jiného.

V některých případech se vnitřní produkt shoduje s bodovým produktem. Kdykoli se neshodují, ve formálních definicích projekce a odmítnutí se místo tečkového produktu použije vnitřní produkt. Pro trojrozměrný vnitřní produktový prostor, pojmy projekce vektoru na jiný a odmítnutí vektoru z jiného lze zobecnit na pojmy projekce vektoru na a letadlo a odmítnutí vektoru z letadla.^[6] Projekce vektoru na rovinu je jeho ortogonální projekce v tom letadle. Odmítnutí vektoru z roviny je jeho ortogonální projekce na přímku, která je kolmá k této rovině. Oba jsou vektory. První je rovnoběžná s rovinou, druhá je ortogonální.

Pro daný vektor a rovinu je součet projekce a odmítnutí roven původnímu vektoru. Podobně pro vnitřní produktové prostory s více než třemi dimenzemi lze pojmy projekce na vektor a odmítnutí z vektoru zobecnit na pojmy projekce na a nadrovina a odmítnutí od a nadrovina. v geometrická algebra, lze je dále zobecnit na pojmy projekce a odmítnutí obecného multivektoru na / z jakéhokoli invertible k-čepel.

Viz také

• Skalární projekce
• Vektorová notace

Reference

externí odkazy

• Projekce vektoru na rovinu