Vektorový svazek - Vector bundle

v matematika, a vektorový svazek je topologické konstrukce upřesňující představu rodiny vektorové prostory parametrizováno jiným prostor X (například X může být topologický prostor, a potrubí, nebo algebraická rozmanitost ): do každého bodu X prostoru X přidružujeme (nebo „připojujeme“) vektorový prostor PROTI(X) takovým způsobem, že tyto vektorové prostory zapadají do sebe a tvoří další prostor stejného druhu jako X (např. topologický prostor, potrubí nebo algebraická odrůda), kterému se pak říká a vektorový balíček přesX.
Nejjednodušším příkladem je případ, že rodina vektorových prostorů je konstantní, tj. Existuje pevný vektorový prostor PROTI takhle PROTI(X) = PROTI pro všechny X v X: v tomto případě existuje kopie PROTI pro každého X v X a tyto kopie do sebe zapadají a tvoří vektorový svazek X × PROTI přes X. O takovýchto vektorových svazcích se říká, že jsou triviální. Složitější (a prototypovou) třídou příkladů jsou tečné svazky z hladké (nebo diferencovatelné) rozdělovače: ke každému bodu takového potrubí připevňujeme tečný prostor do potrubí v tomto bodě. Tečné svazky nejsou obecně triviální svazky. Například tangenciální svazek koule je netriviální pomocí teorém o chlupaté kouli. Obecně se říká, že potrubí je paralelizovatelný jestliže, a to pouze v případě, že jeho tečný svazek je triviální.
Vektorové svazky jsou téměř vždy vyžadovány místně triviální, což však znamená, že jsou příklady svazky vláken. Rovněž se vyžaduje, aby vektorové prostory byly nad reálnými nebo komplexními čísly, v takovém případě se o vektorovém svazku říká, že jde o skutečný nebo komplexní vektorový svazek. Složité vektorové svazky lze zobrazit jako skutečné vektorové svazky s další strukturou. V následujícím se zaměříme na skutečné vektorové svazky v kategorie topologických prostorů.
Definice a první důsledky
A skutečný vektorový svazek skládá se z:
- topologické prostory X (základní prostor) a E (celkový prostor)
- A kontinuální surjection π: E → X (svazek projekce)
- pro každého X v X, struktura a konečně-dimenzionální nemovitý vektorový prostor na vlákno π−1({X})
kde je splněna následující podmínka kompatibility: pro každý bod p v X, existuje otevřené sousedství U ⊆ X z p, a přirozené číslo ka homeomorfismus
takové, že pro všechny X ∈ U,
- pro všechny vektory proti v Rk, a
- mapa je lineární izomorfismus mezi vektorovými prostory Rk a π−1({X}).
Otevřená čtvrť U společně s homeomorfismem se nazývá a lokální bagatelizace vektorového svazku. To ukazuje místní bagatelizace lokálně mapa π "vypadá jako" projekce U × Rk na U.
Každé vlákno π−1({X}) je konečný trojrozměrný skutečný vektorový prostor, a proto má dimenzi kX. Místní trivializace ukazují, že funkce X ↦ kX je místně konstantní, a proto je na každém konstantní připojená součást z X. Li kX se rovná konstantě k na všech X, pak k se nazývá hodnost vektorového svazku a E se říká, že je vektorový svazek hodnosti k. Definice vektorového svazku často zahrnuje to, že pořadí je dobře definované, takže kX je konstantní. Volají se vektorové balíčky 1. úrovně svazky řádků, zatímco úrovně 2 se méně běžně nazývají rovinné svazky.
The kartézský součin X × Rk, vybavené projekcí X × Rk → X, se nazývá triviální svazek hodnosti k přes X.
Přechodové funkce
Vzhledem k tomu, vektorový balíček E → X hodnosti ka pár čtvrtí U a PROTI přes který se balíček trivializuje
složená funkce
je dobře definován na překrytí a uspokojuje
pro některé GL (k) -hodnotová funkce
Tito se nazývají přechodové funkce (nebo transformace souřadnic) vektorového svazku.
Sada přechodových funkcí tvoří a Čechův motocykl V tom smyslu, že
pro všechny U, PROTI, Ž nad kterým balíček bagatelizuje uspokojení . Data (E, X, π, Rk) definuje a svazek vláken; další údaje o GUV určuje GL (k) strukturní skupina, ve které je působení na vlákno standardní akcí GL (k).
Naopak, vzhledem k svazku vláken (E, X, π, Rk) s GL (k) cocycle působící standardním způsobem na vlákno Rk, je přidružen vektorový svazek. Toto se někdy bere jako definice vektorového svazku.[Citace je zapotřebí ]
Vektorové morfismy svazku
A morfismus z vektorového svazku π1: E1 → X1 do vektorového svazku π2: E2 → X2 je dána dvojicí souvislých map F: E1 → E2 a G: X1 → X2 takhle
- G ∘ π1 = π2 ∘ F

- pro každého X v X1, mapa π1−1({X}) → π2−1({G(X)}) vyvolané F je lineární mapa mezi vektorovými prostory.
Všimněte si, že G je určeno F (protože π1 je surjektivní) a F pak se říká Pokrýt G.
Třída všech vektorových svazků spolu s morfismem svazků tvoří a kategorie. Omezením na vektorové svazky, pro které jsou mezery rozmanité (a projekcemi svazků jsou hladké mapy) a morfismy hladkých svazků, získáme kategorii hladkých vektorových svazků. Vektorové morfismy svazků jsou zvláštním případem pojmu a mapa svazku mezi svazky vláken, a jsou také často nazývány (vektor) homomorfismy svazku.
Homomorfismus svazku z E1 na E2 s inverzí, která je také svazkovým homomorfismem (z E2 na E1) se nazývá a (vektor) izomorfismus svazku, a pak E1 a E2 se říká, že jsou izomorfní vektorové svazky. Izomorfismus (hodnosti k) vektorový svazek E přes X s triviálním balíčkem (hodnosti k přes X) se nazývá a bagatelizace z E, a E pak se říká, že je triviální (nebo trivializovatelný). Definice vektorového svazku ukazuje, že jakýkoli vektorový svazek je místně triviální.
Můžeme také zvážit kategorii všech vektorových svazků na pevném základním prostoru X. Jako morfismy v této kategorii vezmeme morfismy vektorových svazků, jejichž mapa na základním prostoru je mapa identity na X. To znamená svazky morfismů, pro které následující diagram dojíždí:

(Všimněte si, že tato kategorie je ne abelian; the jádro morfismu vektorových svazků obecně není vektorovým svazkem žádným přirozeným způsobem.)
Morfismus vektorového svazku mezi vektorovými svazky π1: E1 → X1 a π2: E2 → X2 pokrývající mapu G z X1 na X2 lze také zobrazit jako morfismus vektorového svazku X1 z E1 do stahovací balíček G*E2.
Sekce a lokálně volné snopy

Vzhledem k vektorovému svazku π: E → X a otevřená podmnožina U z X, můžeme uvažovat sekce π zapnuto U, tj. spojité funkce s: U → E kde složený π∘s je takový (π∘s)(u)=u pro všechny u v U. Sekce v podstatě přiřazuje každý bod U vektor z připojeného vektorového prostoru spojitým způsobem. Například úseky tangenciálního svazku diferenciálního potrubí nejsou nic jiného než vektorová pole na tom potrubí.
Nechat F(U) být souborem všech sekcí na U. F(U) vždy obsahuje alespoň jeden prvek, a to nulová sekce: funkce s který mapuje každý prvek X z U k nulovému prvku vektorového prostoru π−1({X}). S bodovým sčítáním a skalárním násobením řezů F(U) se stává skutečným vektorovým prostorem. Kolekce těchto vektorových prostorů je a snop vektorových prostorů zapnuto X.
Li s je prvek F(U) a α: U → R je spojitá mapa, pak αs (bodové skalární násobení) je v F(U). Vidíme to F(U) je modul přes kruh nepřetržitých funkcí se skutečnou hodnotou U. Kromě toho, pokud OX označuje strukturu svazku spojitých funkcí se skutečnou hodnotou X, pak F stává se svazkem OX- moduly.
Ne každý svazek OX-modul vychází tímto způsobem z vektorového svazku: pouze místně zdarma ty ano. (Důvod: místně hledáme části projekce U × Rk → U; to jsou přesně spojité funkce U → Rka takovou funkcí je a k-tuple spojitých funkcí U → R.)
Ještě více: kategorie skutečných vektorových balíčků X je ekvivalent do kategorie místně volných a konečně generovaných snopů OX-moduly. Takže můžeme uvažovat o kategorii skutečných vektorových balíčků X jako sedí uvnitř kategorie snopy OX- moduly; tato druhá kategorie je abelianská, takže zde můžeme vypočítat jádra a jádra morfismů vektorových svazků.
Hodnost n vektorový balíček je triviální právě tehdy, pokud má n lineárně nezávislé globální sekce.
Operace s vektorovými svazky
Většinu operací s vektorovými prostory lze rozšířit na vektorové svazky provedením operace s vektorovým prostorem po vláknech.
Například pokud E je vektorový svazek X, pak je tu svazek E* přes X, volal duální svazek, jehož vlákno v X ∈ X je duální vektorový prostor (EX) *. Formálně E* lze definovat jako množinu párů (X, φ), kde X ∈ X a φ ∈ (EX) *. Dvojitý svazek je místně triviální, protože dvojí prostor inverze místní bagatelizace E je místní bagatelizace E*: klíčovým bodem je, že operace převzetí duálního vektorového prostoru je funkční.
Existuje mnoho funkčních operací, které lze provést na dvojicích vektorových prostorů (přes stejné pole), a ty se přímo rozšiřují na dvojice vektorových svazků E, F na X (přes dané pole). Následuje několik příkladů.
- The Whitney součet (pojmenováno pro Hassler Whitney ) nebo přímý součet z E a F je vektorový svazek E ⊕ F přes X jehož vlákno skončilo X je přímý součet EX ⊕ FX vektorových prostorů EX a FX.
- The svazek produktu tensor E ⊗ F je definován podobným způsobem, pomocí fiberwise tenzorový produkt vektorových prostorů.
- The Hom-svazek Hom (E, F) je vektorový svazek, jehož vlákno v X je prostor lineárních map z EX na FX (což se často označuje jako Hom (EX, FX) nebo L(EX, FX)). Hom-svazek je takzvaný (a užitečný), protože existuje bijekce mezi homomorfizmy vektorového svazku z E na F přes X a části Hom (E, F) přes X.
- V návaznosti na předchozí příklad, daný oddíl s svazku endomorfismu Hom (E, E) a funkce F: X → R, lze postavit vlastní fond převzetím vlákna nad bodem X ∈ X být F(X)-vlastní prostor lineární mapy s(X): EX → EX. I když je tato konstrukce přirozená, pokud nebude věnována pozornost, výsledný objekt nebude mít místní trivializace. Zvažte případ s jako nulová část a F s izolovanými nulami. Vlákno nad těmito nulami ve výsledném „vlastním svazku“ bude izomorfní k vláknu nad nimi v E, zatímco všude jinde je vlákno triviální 0-dimenzionální vektorový prostor.
- The duální vektorový svazek E* je Hom svazek Hom (E, R × X) svazkových homomorfismů E a triviální svazek R × X. Existuje kanonický vektorový izomorfismus svazku Hom (E, F) = E* ⊗ F.
Každá z těchto operací je konkrétním příkladem obecné funkce svazků: že mnoho operací, které lze provést v kategorii vektorových prostorů, lze také provést v kategorii vektorových svazků v funkční způsob. Toto je upřesněno v jazyce hladké funktory. Operace jiné povahy je stahovací balíček konstrukce. Vzhledem k tomu, vektorový balíček E → Y a souvislou mapu F: X → Y jeden může "vytáhnout zpět" E do vektorového svazku f * E přes X. Vlákno přes bod X ∈ X je v podstatě jen vlákno F(X) ∈ Y. Proto Whitney sčítá E ⊕ F lze definovat jako stahovací balíček diagonální mapy z X na X × X kde svazek končí X × X je E × F.
Poznámka: Nechte X být kompaktní prostor. Libovolný vektorový svazek E přes X je přímý součet triviálního svazku; tj. existuje balíček E' takhle E ⊕ E' je triviální. To selže, pokud X není kompaktní: například tautologický svazek linek přes nekonečný skutečný projektivní prostor tuto vlastnost nemá.[1]
Další struktury a zobecnění
Vektorové svazky mají často větší strukturu. Například vektorové svazky mohou být vybaveny a vektorový svazek metrický. Obvykle je tato metrika vyžadována pozitivní určitý, v takovém případě každé vlákno o E se stává euklidovským prostorem. Vektorový svazek s a složitá struktura odpovídá a komplexní vektorový svazek, které lze také získat nahrazením skutečných vektorových prostorů v definici komplexními a vyžadováním toho, aby všechna zobrazení byla ve vláknech komplexně lineární. Obecněji lze obvykle pochopit další strukturu uloženou na vektorový svazek z hlediska výsledku zmenšení strukturní skupiny svazku. Vektorové svazky přes obecnější topologická pole lze také použít.
Pokud místo konečného trojrozměrného vektorového prostoru, pokud vlákno F je považován za Banachův prostor pak Banachův svazek je získáno.[2] Konkrétně je třeba vyžadovat, aby místní trivializace byly Banachovy prostorové izomorfismy (spíše než jen lineární izomorfismy) na každém z vláken a že navíc přechody
jsou spojitá mapování Banachova potrubí. V odpovídající teorii pro Cp svazky, všechna mapování musí být C.p.
Vektorové svazky jsou zvláštní svazky vláken, ti, jejichž vlákna jsou vektorovými prostory a jejichž cyklus respektuje strukturu vektorového prostoru. Mohou být konstruovány obecnější svazky vláken, ve kterých může mít vlákno jiné struktury; například koule svazky jsou vlákny koulí.
Hladké vektorové svazky
Vektorový balíček (E, p, M) je hladký, pokud E a M jsou hladké potrubí, p: E → M je plynulá mapa a místní trivializace jsou difeomorfismy. V závislosti na požadovaném stupni hladkosti existují různé odpovídající pojmy Cp svazky, nekonečně diferencovatelné C∞- svazky a skutečné analytické Cω- svazky. V této části se budeme soustředit na C∞- svazky. Nejdůležitější příklad a C∞-vector bundle je tečný svazek (TM, πTM,M) a C∞- potrubí M.
The C∞-vektorové svazky (E, p, M) mají velmi důležitou vlastnost, kterou nesdílí obecnější C∞- svazky vláken Jmenovitě tečný prostor Tproti(EX) na kterékoli proti ∈ EX lze přirozeně identifikovat s vláknem EX sám. Tato identifikace je získána prostřednictvím vertikální zdvih vlproti: EX → Tproti(EX), definováno jako
Vertikální zdvih lze také považovat za přirozený C∞-vektorový izomorfismus svazku p * E → VE, kde (p * E, p * p, E) je stahovací svazek (E, p, M) přes E přes p: E → M, a VE: = Ker (p*) ⊂ TE je svislý tečný svazek, přirozený vektorový podskupina tangenta svazku (TE, πTE, E) celkového prostoru E.
Celkový prostor E libovolného hladkého vektorového svazku nese přirozené vektorové pole PROTIproti: = vlprotiproti, známý jako kanonické vektorové pole. Formálněji PROTI je hladký úsek (TE, πTE, E), a lze jej také definovat jako infinitezimální generátor akce Lie-group (t,proti)↦Etproti dané fibrewiseovým skalárním násobením. Kanonické vektorové pole PROTI charakterizuje úplnou strukturu hladkého vektorového svazku následujícím způsobem. Jako přípravu si všimněte, že když X je hladké vektorové pole na hladkém potrubí M a X∈M takhle XX = 0, lineární mapování
nezávisí na volbě lineární kovarianční derivace ∇ na M. Kanonické vektorové pole PROTI na E uspokojuje axiomy
1. Tok (t,proti) → ΦtPROTI(proti) z PROTI je globálně definována.
2. Pro každého proti∈PROTI existuje jedinečná limt → ∞ ΦtPROTI(proti)∈PROTI.
3. Cproti(PROTI)∘Cproti(PROTI)=Cproti(PROTI) kdykoli PROTIproti=0.
4. Nulová množina PROTI je hladký podmanifold E jehož kodimension se rovná hodnosti Cproti(PROTI).
Naopak, pokud E je jakékoli hladké potrubí a PROTI je hladké vektorové pole E uspokojující 1-4, pak je na něm jedinečná struktura vektorového svazku E jehož kanonické vektorové pole je PROTI.
Pro jakýkoli hladký vektorový svazek (E, p, M) celkový prostor TE jeho tečného svazku (TE, πTE, E) má přirozený struktura sekundárních vektorových svazků (TE, p*,TM), kde p* je posunutí kanonické projekce p:E→M. Operace vektorových svazků v této sekundární struktuře vektorových svazků jsou push-forward +*:T(E × E) → TE a λ*: TE → TE původního doplnění +: E × E → E a skalární násobení λ:E→E.
K-teorie
Skupina K-theory, K.(X), kompaktního Hausdorffova topologického prostoru je definován jako abelianská skupina generovaná třídami izomorfismu [E] z složité vektorové svazky modulovat vztah, který kdykoli máme přesná sekvence
pak
v topologická K-teorie. Teorie KO je verze této konstrukce, která zohledňuje skutečné vektorové svazky. K-teorie s kompaktní podpěry lze také definovat, stejně jako vyšší skupiny K-teorie.
Známý věta o periodicitě z Raoul Bott tvrdí, že K-teorie jakéhokoli prostoru X je izomorfní jako u S2X, dvojité zavěšení X.
v algebraická geometrie, uvažujeme skupiny K-teorie skládající se z koherentní snopy na systém X, stejně jako K-teorie skupiny vektorových svazků na schématu s výše uvedeným vztahem ekvivalence. Dva konstrukty jsou stejné za předpokladu, že podkladové schéma je hladký.
Viz také
Obecné pojmy
- Grassmannian: klasifikace mezer pro vektorový balíček, mezi nimiž projektivní prostory pro svazky řádků
- Charakteristická třída
- Princip rozdělení
- Stabilní svazek
Topologie a diferenciální geometrie
- Teorie měřidla: obecné studium spojení na vektorových svazcích a hlavních svazcích a jejich vztah k fyzice.
- Spojení: pojem potřebný k rozlišení sekcí vektorových svazků.
Algebraická a analytická geometrie
Poznámky
- ^ Hatcher 2003, Příklad 3.6.
- ^ Lang 1995.
Zdroje
- Abraham, Ralph H.; Marsden, Jerrold E. (1978), Základy mechaniky, Londýn: Benjamin-Cummings, viz oddíl 1.5, ISBN 978-0-8053-0102-1.
- Hatcher, Allen (2003), Vector Bundles & K-Theory (2.0 ed.).
- Jost, Jürgen (2002), Riemannova geometrie a geometrická analýza (3. vyd.), Berlín, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-42627-1, viz část 1.5.
- Lang, Serge (1995), Diferenciální a Riemannovy potrubí, Berlín, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-94338-1.
- Lee, Jeffrey M. (2009), Rozdělovače a diferenciální geometrie, Postgraduální studium matematiky, Sv. 107, Providence: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-4815-9.
- Lee, John M. (2003), Úvod do hladkých potrubí, New York: Springer, ISBN 0-387-95448-1 viz kapitola 5
- Rubei, Elena (2014), Algebraická geometrie, výstižný slovník, Berlín / Boston: Walter De Gruyter, ISBN 978-3-11-031622-3.