Lineární mapa - Linear map
v matematika, a lineární mapa (také nazývaný a lineární mapování, lineární transformace nebo v některých kontextech lineární funkce) je mapování PROTI → Ž mezi dvěma moduly (například dva vektorové prostory ), která zachovává (ve smyslu definovaném níže) operace sčítání a skalární násobení. Pokud je lineární mapa a bijekce pak se nazývá a lineární izomorfismus.
Důležitým zvláštním případem je kdy PROTI = Ž, v takovém případě se lineární mapa nazývá (lineární) endomorfismus z PROTI. Někdy termín lineární operátor odkazuje na tento případ.[1] Podle jiné konvence lineární operátor umožňuje PROTI a Ž aby se lišily, a zároveň vyžaduje, aby byly nemovitý vektorové prostory.[2] Někdy termín lineární funkce má stejný význam jako lineární mapa, zatímco v analytická geometrie to není.
Lineární mapa vždy mapuje lineární podprostory na lineární podprostory (případně nižší dimenze );[3] například mapuje a letadlo skrz původ do letadla přímka nebo směřovat. Lineární mapy lze často reprezentovat jako matice a zahrnují jednoduché příklady rotační a reflexní lineární transformace.
V jazyce abstraktní algebra, lineární mapa je a homomorfismus modulu. V jazyce teorie kategorií, to je morfismus v kategorie modulů nad daným prsten.
Definice a první důsledky
Nechat PROTI a Ž být vektorové prostory stejné pole K.. Funkce F : PROTI → Ž se říká, že je lineární mapa pokud pro libovolné dva vektory a jakýkoli skalární C ∈ K. jsou splněny následující dvě podmínky:
aditivita / operace sčítání | |
stejnorodost stupně 1 / operace skalárního násobení |
Lineární mapa se tedy říká zachování provozu. Jinými slovy nezáleží na tom, zda je lineární mapa použita před (pravá strana výše uvedených příkladů) nebo po (levá strana příkladů) operací sčítání a skalárního násobení.
Podle asociativitu operace sčítání označen jako +, pro všechny vektory a skaláry platí tato rovnost:[4][5]
Označujeme nulové prvky vektorových prostorů PROTI a Ž podle a z toho vyplývá, že Nechat C = 0 a v rovnici pro homogenitu stupně 1:
Občas, PROTI a Ž mohou to být vektorové prostory nad různými poli. Poté je nutné určit, které z těchto pozemních polí se použije při definici „lineárního“. Li PROTI a Ž jsou mezery nad stejným polem K. jako výše, pak mluvíme o K.-lineární mapy. Například časování z komplexní čísla je ℝ-lineární mapa ℂ → ℂ, ale není to ℂ-lineární, kde ℝ a ℂ jsou symboly představující množiny reálných čísel, respektive komplexních čísel.
Lineární mapa PROTI → K. s K. viděn jako jednorozměrný vektorový prostor nad sebou se nazývá a lineární funkční.[6]
Tyto příkazy se zobecňují na jakýkoli levý modul přes prsten R bez modifikace a do libovolného pravého modulu při obrácení skalárního násobení.
Příklady
- Prototypickým příkladem, který dává lineárním mapám jejich název, je funkce F : ℝ → ℝ: X ↦ cx, jehož grafem je přímka procházející počátkem.[7]
- Obecněji libovolné homotety soustředěný na počátek vektorového prostoru, kde C je skalární, je lineární operátor. To obecně neplatí pro moduly, kde taková mapa může být pouze semilineární.
- Nulová mapa X ↦ 0 mezi dvěma levými moduly (nebo dvěma pravými moduly) přes stejný kruh je vždy lineární.
- The mapa identity na libovolném modulu je lineární operátor.
- Pro reálná čísla mapa X ↦ X2 není lineární.
- Pro reálná čísla mapa X ↦ X + 1 není lineární (ale je afinní transformace; y = X + 1 je lineární rovnice, jak je tento termín používán v analytická geometrie.)
- Li A je skutečný m × n matice, pak A definuje lineární mapu z ℝn do ℝm zasláním vektor sloupce X ∈ ℝn na vektor sloupce AX ∈ ℝm. Naopak každá lineární mapa mezi konečně-dimenzionální vektorové prostory mohou být reprezentovány tímto způsobem; viz následující část.
- Li F : X → Y je izometrie mezi skutečnými normovanými prostory takovými F(0) = 0 pak F je lineární mapa. Tento výsledek nemusí nutně platit pro složitý normovaný prostor.[8]
- Diferenciace definuje lineární mapu z prostoru všech diferencovatelných funkcí do prostoru všech funkcí. Rovněž definuje lineární operátor v prostoru všech plynulé funkce (lineární operátor je lineární endomorfismus, to je lineární mapa, kde doména a codomain to je stejné). Příkladem je .
- Určitě integrální přes některé interval Já je lineární mapa z prostoru všech integrovaných funkcí se skutečnou hodnotou Já do ℝ. Například,.
- Na neurčito integrální (nebo primitivní ) s pevným počátečním bodem integrace definuje lineární mapu z prostoru všech integrovatelných funkcí se skutečnou hodnotou ℝ do prostoru všech reálných, diferencovatelných funkcí ℝ. Bez pevného výchozího bodu bude cvičení v teorii skupin ukazovat, že antiderivativní mapy k kvocientový prostor rozdílů nad vztah ekvivalence „differ by a constant“, čímž se získá třída identity funkcí s konstantní hodnotou .
- Li PROTI a Ž jsou konečné trojrozměrné vektorové prostory nad polem F, pak funkce, které odesílají lineární mapy F : PROTI → Ž na ztlumitF(Ž) × dimF(PROTI) matice způsobem popsaným v pokračování jsou samy o sobě lineární mapy (opravdu lineární izomorfismy ).
- The očekávaná hodnota a náhodná proměnná (což je ve skutečnosti funkce a jako takový člen vektorového prostoru) je lineární, jako u náhodných proměnných X a Y my máme E[X + Y] = E [X] + E [Y] a E[sekera] = AE[X], ale rozptyl náhodné proměnné není lineární.
Funkce s je lineární mapa. Tato funkce změní měřítko složka vektoru podle faktoru .
Funkce je aditivní: Nezáleží na tom, zda jsou vektory nejprve přidány a poté mapovány nebo zda jsou mapovány a nakonec přidány:
Funkce je homogenní: Nezáleží na tom, zda je vektor nejprve zmenšen a poté mapován nebo nejprve mapován a poté zmenšen:
Matice
Li PROTI a Ž jsou konečně-dimenzionální vektorové prostory a základ je definován pro každý vektorový prostor, poté každou lineární mapu z PROTI na Ž může být reprezentován a matice.[9] To je užitečné, protože umožňuje konkrétní výpočty. Matice poskytují příklady lineárních map: pokud A je skutečný m × n tedy matice F(X) = AX popisuje lineární mapu Rn → Rm (vidět Euklidovský prostor ).
Nechť {proti1, …, protin} být základem pro PROTI. Pak každý vektor proti v PROTI je jednoznačně určeno koeficienty C1, …, Cn v oboru R:
Li F : PROTI → Ž je lineární mapa,
což znamená, že funkce F je zcela určeno vektory F(proti1), …, F(protin). Teď nech {w1, …, wm} být základem pro Ž. Pak můžeme představit každý vektor F(protij) tak jako
Tedy funkce F je zcela určeno hodnotami Aij. Dáme-li tyto hodnoty do m × n matice M, pak jej můžeme pohodlně použít k výpočtu vektorového výstupu F pro libovolný vektor v PROTI. Dostat M, každý sloupec j z M je vektor
souhlasí s F(protij), jak je definováno výše. Abychom to definovali jasněji, pro nějaký sloupec j který odpovídá mapování F(protij),
kde M je matice F. Jinými slovy, každý sloupec j = 1, …, n má odpovídající vektor F(protij) jehož souřadnice A1j, …, Amj jsou prvky sloupce j. Jedna lineární mapa může být reprezentována mnoha maticemi. Je to proto, že hodnoty prvků matice závisí na zvolených bázích.
Matice lineární transformace lze reprezentovat vizuálně:
- Matice pro ve vztahu k :
- Matice pro ve vztahu k :
- Matice přechodu z na :
- Matice přechodu z na :
Takové, které začínají v levém dolním rohu a hledám pravý dolní roh , jeden by se nechal množit - to znamená, . Ekvivalentní metodou by byla „delší“ metoda, která bude po směru hodinových ručiček od stejného bodu tak je vlevo násobeno nebo .
Příklady matic lineární transformace
Ve dvě-dimenzionální prostor R2 lineární mapy popisuje 2 × 2 skutečné matice. Zde je několik příkladů: