Zákon kosinů - Law of cosines

Obrázek 1 - Trojúhelník. Úhly

α

(nebo

A

),

β

(nebo

B

), a

y

(nebo

C

) jsou na opačných stranách

A

,

b

, a

C

.

v trigonometrie, zákon kosinů (také známý jako kosinusový vzorec, kosinové pravidlonebo al-Kashi věta^[1]) souvisí s délkami stran a trojúhelník do kosinus jednoho z jeho úhly. Při použití zápisu jako na obr. 1 platí zákon kosinů

{displaystyle c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} -2abcos gama,}

kde $y$ označuje úhel obsažený mezi stranami délek $A$ a $b$ a naproti straně délky $C$ . U stejného čísla jsou další dva vztahy analogické:

{displaystyle a ^ {2} = b ^ {2} + c ^ {2} -2bccos alfa,}

{displaystyle b ^ {2} = a ^ {2} + c ^ {2} -2accos eta.}

Zákon kosinů zobecňuje Pythagorova věta, který platí pouze pro pravé trojúhelníky: pokud je úhel $y$ je pravý úhel (míry 90 stupňů nebo $π$ /2 radiány ), pak $cos y = 0$ , a tedy zákon kosinů snižuje do Pythagorova věta:

{displaystyle c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2}.}

Zákon kosinusů je užitečný pro výpočet třetí strany trojúhelníku, když jsou známy dvě strany a jejich uzavřený úhel, a pro výpočet úhlů trojúhelníku, pokud jsou známy všechny tři strany.

Dějiny

Obr. 2 - Tupý trojúhelník

ABC

s kolmým

BH

Ačkoli představa kosinus ve své době ještě nebyl vyvinut, Euklid je Elementy, jehož historie sahá do 3. století před naším letopočtem, obsahuje časnou geometrickou větu téměř ekvivalentní zákonu kosinů. Případy tupé trojúhelníky a ostré trojúhelníky (odpovídající dvěma případům záporného nebo kladného kosinu) jsou zpracovávány samostatně, v Propozicích 12 a 13 knihy 2. Trigonometrické funkce a algebra (zejména záporná čísla), které v Euklidově době chybí, mají tvrzení více geometrickou chuť:

Tvrzení 12
V trojúhelnících s tupým úhlem je čtverec na straně podcházející tupému úhlu větší než čtverce na stranách, které obsahují tupý úhel, o dvojnásobek obdélníku obsaženého v jedné ze stran kolem tupého úhlu, jmenovitě té, na kterou kolmo padá, a přímka vyříznutá ven kolmo k tupému úhlu.
— Euklidova Elementy, překlad Thomas L. Heath.^[2]

Použitím notace jako na obr. 2 lze Euklidův výrok reprezentovat vzorcem

{displaystyle AB ^ {2} = CA ^ {2} + CB ^ {2} +2 (CA) (CH).}

Tento vzorec lze transformovat do zákona kosinusů tím, že si to všimneme $CH = (CB) cos (π - y) = -(CB) cos y$ . Tvrzení 13 obsahuje zcela analogický výrok pro akutní trojúhelníky.

Euklidova Elementy vydláždil cestu pro objev zákona kosinů. V 15. století Džamšíd al-Káší, perský matematik a astronom, poskytl první explicitní vyjádření zákona kosinů ve formě vhodné pro triangulace. Poskytl přesné trigonometrické tabulky a vyjádřil teorém ve formě vhodné pro moderní použití. Od 90. Let v Francie, zákon kosinů je stále označován jako Théorème d'Al-Kashi.^[1]^[3]^[4]

Věta byla popularizována v západní svět podle François Viète v 16. století. Na začátku 19. století umožnila moderní algebraická notace psát zákon kosinů v jeho současné symbolické podobě.

Aplikace

Obrázek 3 - Aplikace zákona kosinů: neznámá strana a neznámý úhel.

Věta se používá v triangulace, k řešení trojúhelníku nebo kružnice, tj. k nalezení (viz obrázek 3):

třetí strana trojúhelníku, pokud jedna zná dvě strany a úhel mezi nimi:

{displaystyle, c = {sqrt {a ^ {2} + b ^ {2} -2abcos gamma}} ,;}

úhly trojúhelníku, pokud člověk zná tři strany:

{displaystyle, gamma = arccos left ({frac {a ^ {2} + b ^ {2} -c ^ {2}} {2ab}} ight) ,;}

třetí strana trojúhelníku, pokud známe dvě strany a úhel opačný k jedné z nich (lze také použít znak Pythagorova věta udělat, pokud je to pravoúhlý trojuhelník ):

{displaystyle, a = bcos gamma pm {sqrt {c ^ {2} -b ^ {2} sin ^ {2} gamma}},}}

Tyto vzorce produkují vysokou hodnotu chyby zaokrouhlování v plovoucí bod výpočty, pokud je trojúhelník velmi ostrý, tj. pokud $C$ je ve srovnání s $A$ a $b$ nebo $y$ je malý ve srovnání s 1. Je dokonce možné získat výsledek o něco větší než jeden pro kosinus úhlu.

Třetí zobrazený vzorec je výsledkem řešení pro A v kvadratická rovnice $A 2 - 2 ab cos y + b 2 - C 2 = 0$ . Tato rovnice může mít 2, 1 nebo 0 kladných řešení odpovídající počtu možných trojúhelníků s danými daty. Bude mít dvě pozitivní řešení, pokud $b hřích y < C < b$ , pouze jedno pozitivní řešení, pokud $C = b hřích y$ , a žádné řešení, pokud $C < b hřích y$ . Tyto různé případy také vysvětluje nejednoznačnost kongruence bočního úhlu.

Důkazy

Pomocí vzorce vzdálenosti

Obr. 4 - Důkaz geometrie souřadnic

Vezměme si trojúhelník se stranami délky $A$ , $b$ , $C$ , kde $θ$ je měření úhlu naproti straně délky $C$ . Tento trojúhelník lze umístit na Kartézský souřadnicový systém zarovnáno s hranou $A$ s počátkem v C, vynesením komponent 3 bodů trojúhelníku, jak je znázorněno na obr.4:

{displaystyle A = (bcos heta, bsin heta), B = (a, 0), {ext {and}} C = (0,0).}

Podle vzorec vzdálenosti,

{displaystyle c = {sqrt {(a-bcos heta) ^ {2} + (0-bsin heta) ^ {2}}}.}

Srovnání obou stran a zjednodušení

{displaystyle {egin {aligned} c ^ {2} & {} = (a-bcos heta) ^ {2} + (- bsin heta) ^ {2} c ^ {2} & {} = a ^ {2 } -2abcos heta + b ^ {2} cos ^ {2} heta + b ^ {2} sin ^ {2} heta c ^ {2} & {} = a ^ {2} + b ^ {2} ( sin ^ {2} heta + cos ^ {2} heta) -2abcos heta c ^ {2} & {} = a ^ {2} + b ^ {2} -2abcos heta .end {zarovnáno}}}

Výhodou tohoto důkazu je, že nevyžaduje zvážení různých případů, kdy je trojúhelník ostrý, pravý nebo tupý.

Pomocí trigonometrie

Obr. 5 - Akutní trojúhelník s kolmicí

Zrušení kolmý na stranu $C$ skrz bod $C$ , an nadmořská výška trojúhelníku, ukazuje (viz obr. 5)

{displaystyle c = acos eta + bcos alpha.}

(To stále platí, pokud $α$ nebo $β$ je tupý, a v takovém případě kolmice spadá mimo trojúhelník.) Vynásobením $C$ výnosy

{displaystyle c ^ {2} = accos eta + bccos alpha.}

Vezmeme-li v úvahu další dvě nadmořské výšky trojúhelníku

{displaystyle a ^ {2} = accos eta + abcos gamma,}

{displaystyle b ^ {2} = bccos alfa + abcos gama.}

Sčítáním posledních dvou rovnic dáváme

{displaystyle a ^ {2} + b ^ {2} = accos eta + bccos alfa + 2abcos gama.}

Výsledkem je odečtení první rovnice od poslední

{displaystyle a ^ {2} + b ^ {2} -c ^ {2} = accos eta + bccos alfa + 2abcos gama - (accos eta + bccos alfa)}

což zjednodušuje na

{displaystyle c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} -2abcos gama.}

Tento důkaz používá trigonometrie v tom, že zachází s kosiny různých úhlů jako s vlastními množstvími. Využívá skutečnost, že kosinus úhlu vyjadřuje vztah mezi dvěma stranami obklopujícími tento úhel žádný pravoúhlý trojuhelník. Jiné důkazy (níže) jsou více geometrické v tom, že zacházejí s výrazem, jako je $A cos y$ pouze jako štítek pro délku určitého úsečky.

Mnoho důkazů se zabývá případy tupých a ostrých úhlů $y$ odděleně.

Použití Pythagorovy věty

Tupý trojúhelník

ABC

s výškou

BH

Případ tupého úhlu

Euklid prokázal tuto větu použitím Pythagorova věta ke každému ze dvou pravých trojúhelníků na obrázku ( $AHB$ a $CHB$ ). Použitím $d$ k označení úsečky $CH$ a $h$ pro výšku $BH$ , trojúhelník $AHB$ nám dává

{displaystyle c ^ {2} = (b + d) ^ {2} + h ^ {2},}

a trojúhelník $CHB$ dává

{displaystyle d ^ {2} + h ^ {2} = a ^ {2}.}

Rozšiřuje se první rovnice dává

{displaystyle c ^ {2} = b ^ {2} + 2bd + d ^ {2} + h ^ {2}.}

Dosazením druhé rovnice do této lze získat následující:

{displaystyle c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} + 2bd.}

Toto je Euklidův návrh 12 z knihy 2 knihy Elementy.^[5] Pamatujte, že k transformaci do moderní podoby zákona kosinů

{displaystyle d = acos (pi -gamma) = - acos gama.}

Případ ostrého úhlu

Euklidův důkaz jeho Proposition 13 probíhá ve stejném duchu jako jeho důkaz Proposition 12: aplikuje Pythagorovu větu na oba pravé trojúhelníky vytvořené upuštěním kolmice na jednu ze stran obklopujících úhel $y$ a ke zjednodušení používá binomickou větu.

Obr.6 - Krátký důkaz pomocí trigonometrie pro případ ostrého úhlu

Další důkaz v akutním případě

Použitím více trigonometrie lze zákon kosinů odvodit pomocí Pythagorovy věty pouze jednou. Ve skutečnosti lze pomocí pravého trojúhelníku na levé straně obr. 6 ukázat, že: ${displaystyle {egin {aligned} quad c ^ {2} & = (b-acos gamma) ^ {2} + (asin gamma) ^ {2} & = b ^ {2} -2abcos gamma + a ^ {2 } cos ^ {2} gamma + a ^ {2} sin ^ {2} gamma & = b ^ {2} + a ^ {2} -2abcos gamma, konec {zarovnáno}}}$

za použití trigonometrická identita

${displaystyle quad cos ^ {2} gamma + sin ^ {2} gamma = 1.}$

Tento důkaz vyžaduje mírnou úpravu, pokud $b < A cos (y)$ . V tomto případě se pravý trojúhelník, na který je aplikována Pythagorova věta, pohybuje mimo trojúhelník $ABC$ . Jediný vliv, který to má na výpočet, je množství $b - A cos (y)$ je nahrazen $A cos (y) - b .$ Protože toto množství vstupuje do výpočtu pouze přes jeho druhou mocninu, zbytek důkazu není ovlivněn. K tomuto problému však dochází, pouze když $β$ je tupý a lze mu zabránit odrazem trojúhelníku kolem půlící osy $y$ .

S odkazem na obr. 6 stojí za zmínku, že pokud je úhel opačný $A$ je $α$ pak:

{displaystyle an alpha = {frac {asin gamma} {b-acos gamma}}.}

To je užitečné pro přímý výpočet druhého úhlu, když jsou uvedeny dvě strany a zahrnutý úhel.

Použití Ptolemaiovy věty

Důkaz zákona kosinů pomocí Ptolemaiovy věty

S odkazem na diagram, trojúhelník ABC s bočnicemi $AB$ = $C$ , $před naším letopočtem$ = $A$ a $AC$ = $b$ je nakreslena uvnitř svého kruhového kruhu, jak je znázorněno. Trojúhelník $ABD$ je konstruován shodně s trojúhelníkem $ABC$ s $INZERÁT$ = $před naším letopočtem$ a $BD$ = $AC$ . Kolmé z $D$ a $C$ setkat základnu $AB$ v $E$ a $F$ resp. Pak:

{displaystyle {egin {aligned} & BF = AE = BCcos {hat {B}} = acos {hat {B}} Rightarrow & DC = EF = AB-2BF = c-2acos {hat {B}}. end {aligned} }}

Zákon kosinů je nyní vykreslen přímou aplikací Ptolemaiova věta na cyklický čtyřúhelník $abeceda$ :

{displaystyle {egin {aligned} & AD imes BC + AB imes DC = AC imes BD Rightarrow & a ^ {2} + c (c-2acos {hat {B}}) = b ^ {2} Rightarrow & a ^ {2 } + c ^ {2} -2accos {hat {B}} = b ^ {2} .end {zarovnáno}}}

Prostě pokud úhel $B$ je že jo, pak $abeceda$ je obdélník a aplikace Ptolemaiovy věty přináší Pythagorova věta:

{displaystyle a ^ {2} + c ^ {2} = b ^ {2} .quad}

Porovnáním oblastí

Lze také dokázat zákon kosinusů výpočtem oblastech. Změna znaménka jako úhlu $y$ stane se tupým, je nutné rozlišovat případy.

Odvolej to

$A 2$ , $b 2$ , a $C 2$ jsou oblasti čtverců se stranami $A$ , $b$ , a $C$ , v uvedeném pořadí;
-li $y$ je tedy akutní $ab cos y$ je oblast rovnoběžník s bočnicemi $A$ a $b$ tvořící úhel $γ ' = π / 2 - y$ ;
-li $y$ je tupý, a tak $cos y$ je tedy negativní $- ab cos y$ je oblast rovnoběžník s bočnicemi A a b tvořící úhel $γ ' = y - π / 2$ .

Obr. 7a - Důkaz zákona kosinů pro ostrý úhel

y

„vyjmutím a vložením“.

Akutní případ. Obrázek 7a ukazuje a sedmiúhelník nakrájíme na menší kousky (dvěma různými způsoby), abychom získali důkaz zákona kosinů. Různé kusy jsou

v růžové oblasti $A 2$ , $b 2$ nalevo a oblasti $2 ab cos y$ a $C 2$ napravo;
modře, trojúhelník $ABC$ , nalevo a napravo;
v šedé barvě, pomocné trojúhelníky, všechny shodný na $ABC$ stejné číslo (jmenovitě 2) nalevo i napravo.

Rovnost ploch vlevo a vpravo dává

{displaystyle, a ^ {2} + b ^ {2} = c ^ {2} + 2abcos gama,.}

Obr. 7b - Důkaz zákona kosinusů pro tupý úhel

y

„vyjmutím a vložením“.

Tupý případ. Obrázek 7b řezy a šestiúhelník dvěma různými způsoby na menší kousky, poskytující důkaz zákona kosinů v případě, že úhel $y$ je tupý. My máme

v růžové oblasti $A 2$ , $b 2$ , a $-2 ab cos y$ vlevo a $C 2$ napravo;
modře, trojúhelník $ABC$ dvakrát, nalevo i napravo.

Rovnost ploch vlevo a vpravo dává

{displaystyle, a ^ {2} + b ^ {2} -2abcos (gamma) = c ^ {2}.}

Důsledný důkaz bude muset zahrnovat důkazy o tom, že existují různé tvary shodný a proto mají stejnou plochu. Toto bude používat teorii shodné trojúhelníky.

Pomocí geometrie kruhu

Za použití geometrie kruhu, je možné dát více geometrický důkaz než použití Pythagorova věta sama. Algebraický manipulace (zejména binomická věta ) jsou vyloučeny.

Obr. 8a - Trojúhelník

ABC

(růžová), pomocný kruh (světle modrý) a pomocný pravý trojúhelník (žlutý)

Případ ostrého úhlu $y$ , kde $A > 2 b cos y$ . Zrušte kolmý z $A$ na $A$ = $před naším letopočtem$ , vytvoření úsečky délky $b cos y$ . Duplikovat pravoúhlý trojuhelník tvořit rovnoramenný trojúhelník $AKT$ . Postavte kruh se středem $A$ a poloměr $b$ , a jeho tečna $h = BH$ přes $B$ . Tečna $h$ tvoří pravý úhel s poloměrem $b$ (Euklidova Elementy: Kniha 3, Proposition 18; nebo vidět tady ), takže žlutý trojúhelník na obrázku 8 má pravdu. Použijte Pythagorova věta získat

{displaystyle c ^ {2} = b ^ {2} + h ^ {2}.}

Poté použijte tečna secanová věta (Euklidova Elementy: Book 3, Proposition 36), který říká, že čtverec na tečně prochází bodem $B$ mimo kruh se rovná součinu dvou úseček (od $B$ ) vytvořil někdo sekán kruhu skrz $B$ . V projednávaném případě: $BH 2 = před naším letopočtem \cdot BP$ nebo

{displaystyle h ^ {2} = a (a-2bcos gama).}

Dosazením do předchozí rovnice získáme zákon kosinů:

{displaystyle c ^ {2} = b ^ {2} + a (a-2bcos gama).}

Všimněte si, že $h 2$ je Napájení bodu $B$ s ohledem na kruh. Použití Pythagorovy věty a tečny tečny sečny lze nahradit jedinou aplikací síla bodové věty.

Obr. 8b - Trojúhelník

ABC

(růžová), pomocný kruh (světle modrý) a dva pomocné pravé trojúhelníky (žlutá)

Případ ostrého úhlu $y$ , kde $A < 2 b cos y$ . Zrušte kolmý z $A$ na $A$ = $před naším letopočtem$ , vytvoření úsečky délky $b cos y$ . Duplikovat pravoúhlý trojuhelník tvořit rovnoramenný trojúhelník $AKT$ . Postavte kruh se středem $A$ a poloměr $b$ a akord přes $B$ kolmo na $C = AB,$ polovina z nich je $h = BH .$ Použijte Pythagorova věta získat

{displaystyle b ^ {2} = c ^ {2} + h ^ {2}.}

Nyní použijte akordová věta (Euklidova Elementy: Book 3, Proposition 35), který říká, že pokud se protnou dva akordy, součin dvou úseček získaných na jednom akordu se rovná součinu dvou úseček získaných na druhém akordu. V projednávaném případě: $BH 2 = před naším letopočtem \cdot BP,$ nebo

{displaystyle h ^ {2} = a (2bcos gama -a).}

Dosazením do předchozí rovnice získáme zákon kosinů:

{displaystyle b ^ {2} = c ^ {2} + a (2bcos gamma -a),}}

Všimněte si, že síla bodu $B$ vzhledem k kruhu má zápornou hodnotu $- h 2$ .

Obr. 9 - Důkaz zákona kosinusů pomocí síly bodové věty.

Případ tupého úhlu $y$ . Tento důkaz využívá sílu bodové věty přímo, bez pomocných trojúhelníků získaných konstrukcí tečny nebo akordu. Postavte kruh se středem $B$ a poloměr $A$ (viz obrázek 9), který protíná sekán přes $A$ a $C$ v $C$ a $K.$ . The Napájení bodu $A$ vzhledem k kruhu se rovná oběma $AB 2 - před naším letopočtem 2$ a $AC \cdot AK$ . Proto,

{displaystyle {egin {aligned} c ^ {2} -a ^ {2} & {} = b (b + 2acos (pi -gamma)) & {} = b (b-2acos gamma), end {aligned} }}

což je zákon kosinů.

Použití algebraických měr pro úsečkové úseky (umožňující záporná čísla jako délky segmentů) případ tupého úhlu ( $CK > 0$ ) a ostrý úhel ( $CK < 0$ ) lze léčit současně.

Použití sinusového zákona

Pomocí sinusový zákon a protože víme, že úhly trojúhelníku musí činit 180 stupňů, máme následující soustavu rovnic (tři neznámé jsou úhly):

{displaystyle {frac {c} {sin gamma}} = {frac {b} {sin eta}},}

{displaystyle {frac {c} {sin gamma}} = {frac {a} {sin alpha}},}

{displaystyle alpha + eta + gamma = pi.}

Potom pomocí třetí rovnice systému získáme soustavu dvou rovnic ve dvou proměnných:

{displaystyle {frac {c} {sin gamma}} = {frac {b} {sin (alpha + gamma)}},}

{displaystyle {frac {c} {sin gamma}} = {frac {a} {sin alpha}},}

kde jsme použili trigonometrickou vlastnost, že sinus a doplňkový úhel se rovná sinu úhlu.

Použití identity (viz Totožnost úhlu a rozdílu )

{displaystyle sin (alpha + gamma) = sin alpha cos gamma + sin gamma cos alpha}

vede k

{displaystyle c (sin alpha cos gamma + sin gamma cos alpha) = bsin gamma,}

{displaystyle csin alpha = asin gamma.}

Rozdělením celého systému na $cos y$ , my máme:

{displaystyle c (sin alpha + an gama cos alpha) = b an gama,}

{displaystyle {frac {csin alpha} {cos gamma}} = a gama,}

{displaystyle {frac {c ^ {2} sin ^ {2} alpha} {cos ^ {2} gamma}} = a ^ {2} an ^ {2} gama.}

Z první rovnice systému tedy můžeme získat

{displaystyle {frac {csin alpha} {b-ccos alpha}} = gama}

Dosazením tohoto výrazu do druhé rovnice a použitím

{displaystyle 1+ an ^ {2} gamma = {frac {1} {cos ^ {2} gamma}}}

můžeme získat jednu rovnici s jednou proměnnou:

{displaystyle c ^ {2} sin ^ {2} alfa vlevo [1+ {frac {c ^ {2} sin ^ {2} alpha} {(b-ccos alpha) ^ {2}}} vpravo] = a ^ {2} cdot {frac {c ^ {2} sin ^ {2} alpha} {(b-ccos alpha) ^ {2}}}}

Vynásobením $(b - C cos α) 2$ , můžeme získat následující rovnici:

{displaystyle (b-ccos alpha) ^ {2} + c ^ {2} sin ^ {2} alpha = a ^ {2}.}

Z toho vyplývá

{displaystyle b ^ {2} -2bccos alfa + c ^ {2} cos ^ {2} alfa + c ^ {2} sin ^ {2} alpha = a ^ {2}.}

Připomínáme Pytagorova identita, získáme zákon kosinů:

{displaystyle a ^ {2} = b ^ {2} + c ^ {2} -2bccos alfa.}

Použití vektorů

Označit

{displaystyle {overrightarrow {CB}} = {vec {a}}, {overrightarrow {CA}} = {vec {b}}, {overrightarrow {AB}} = {vec {c}}}

Proto,

{displaystyle {vec {c}} = {vec {a}} - {vec {b}}}

Užívání Tečkovaný produkt každé strany sama se sebou:

{displaystyle {vec {c}} cdot {vec {c}} = ({vec {a}} - {vec {b}}) cdot ({vec {a}} - {vec {b}})}

{displaystyle Vert {vec {c}} Vert ^ {2} = Vert {vec {a}} Vert ^ {2} + Vert {vec {b}} Vert ^ {2} -2, {vec {a}} cdot {vec {b}}}

Použití identity (viz Tečkovaný produkt )

{displaystyle {vec {u}} cdot {vec {v}} = Vert {vec {u}} Vert, Vert {vec {v}} Vert cos angle ({vec {u}}, {vec {v}}) }

vede k

{displaystyle Vert {vec {c}} Vert ^ {2} = Vert {vec {a}} Vert ^ {2} + {Vert {vec {b}} Vert} ^ {2} -2, Vert {vec {a }} Vert!; Vert {vec {b}} Vert cos cos angle ({vec {a}}, {vec {b}})}

Výsledek následuje.

Rovnoramenný případ

Když $A = b$ , tj. když trojúhelník je rovnoramenný s oběma stranami dopadajícími na úhel $y$ stejné, zákon kosinů se významně zjednodušuje. Jmenovitě proto $A 2 + b 2 = 2 A 2 = 2 ab$ , stane se zákon kosinů

{displaystyle cos gamma = 1- {frac {c ^ {2}} {2a ^ {2}}}}

nebo

{displaystyle c ^ {2} = 2a ^ {2} (1-cos gamma).}

Analogicky pro čtyřstěny

Analogické prohlášení začíná převzetím $α$ , $β$ , $y$ , $δ$ být oblastmi čtyř tváří a čtyřstěn. Označte vzepětí podle ${displaystyle {widehat {eta gamma}}}$ atd^[6]

{displaystyle alpha ^ {2} = eta ^ {2} + gamma ^ {2} + delta ^ {2} -2leva [eta gamma cos left ({widehat {eta gamma}} ight) + gamma delta cos left ({widehat {gamma delta}} ight) + delta eta cos left ({widehat {delta eta}} ight) ight].}

Verze vhodná pro malé úhly

Když úhel, $y$ , je malý a přilehlé strany, $A$ a $b$ , mají podobnou délku, může pravá strana standardní formy zákona kosinů ztratit značnou přesnost na numerické ztráta významu. V situacích, kdy se jedná o důležitý problém, je matematicky ekvivalentní verze zákona kosinusů, podobná Haversinův vzorec, se může ukázat jako užitečné:

{displaystyle {egin {aligned} c ^ {2} & = (ab) ^ {2} + 4absin ^ {2} left ({frac {gamma} {2}} ight) & = (ab) ^ {2} + 4aboperatorname {haversin} (gama). End {zarovnáno}}}

V limitu nekonečně malého úhlu zákon kosinů degeneruje do délka kruhového oblouku vzorec, $C = A y$ .

Ve sférické a hyperbolické geometrii

Sférický trojúhelník vyřešený zákonem kosinů.

Verze podobné zákonu kosinů pro euklidovskou rovinu se také drží na jednotkové sféře a v hyperbolické rovině. v sférická geometrie, trojúhelník je definován třemi body $u$ , $proti$ , a $w$ na jednotkové kouli a oblouky velké kruhy spojování těchto bodů. Pokud tyto velké kruhy dělají úhly $A$ , $B$ , a $C$ s protilehlými stranami $A$ , $b$ , $C$ pak sférický zákon kosinů tvrdí, že platí oba následující vztahy:

{displaystyle {egin {aligned} cos a & = cos bcos c + sin bsin ccos A cos A & = - cos Bcos C + sin Bsin Ccos a.end {zarovnáno}}}

v hyperbolická geometrie, dvojice rovnic je souhrnně známá jako hyperbolický zákon kosinů. První je

{displaystyle cosh a = cosh bcosh c-sinh bsinh ccos A}

kde $sinh$ a $hovno$ jsou hyperbolický sinus a kosinus a druhý je

{displaystyle cos A = -cos Bcos C + sin Bsin Ccosh a.}

Stejně jako v euklidovské geometrii lze k určení úhlů použít kosinový zákon $A$ , $B$ , $C$ ze znalostí stran $A$ , $b$ , $C$ . Na rozdíl od euklidovské geometrie je obrácení možné také v obou neeuklidovských modelech: úhly $A$ , $B$ , $C$ určit strany $A$ , $b$ , $C$ .

Jednotný vzorec pro povrchy s konstantním zakřivením

Definování dvou funkcí ${displaystyle cos _ {R}}$ a ${displaystyle sin _ {R}}$ tak jako

{displaystyle cos _ {R} (x) = cos (x / R) quad}

a

{displaystyle quad sin _ {R} (x) = Rcdot sin (x / R)}

umožňuje sjednotit vzorce pro letadlo, koule a pseudosféra do:

{displaystyle cos _ {R} (BC) = cos _ {R} (AB) cdot cos _ {R} (AC) + {frac {1} {R ^ {2}}} sin _ {R} (AB) cdot sin _ {R} (AC) cdot cos ({widehat {BAC}}).}

V této notaci ${displaystyle R}$ je komplexní číslo, představující povrch poloměr zakřivení.

Pro ${displaystyle Rin mathbb {R}}$ povrch je a koule poloměru ${displaystyle R}$ a jeho konstantní zakřivení se rovná ${displaystyle 1 / R ^ {2};}$

pro ${displaystyle R = iR'colon R'in mathbb {R}}$ povrch je a pseudosféra (imaginárního) poloměru ${displaystyle R,}$ s konstantním zakřivením rovná ${displaystyle 1 / R ^ {2} = - 1 / R '^ {2};}$

pro ${displaystyle R o infty}$ : povrch má sklon k euklidovci letadlo, s konstantním zakřivením nuly.

Ověření vzorce pro neeuklidovskou geometrii

V prvních dvou případech ${displaystyle cos _ {R}}$ a ${displaystyle sin _ {R}}$ jsou dobře definovány jako celek složité letadlo pro všechny ${požadavek na zobrazení 0}$ a získání dřívějších výsledků je jednoduché.

Proto pro kouli o poloměru ${displaystyle 1}$

{displaystyle cos (BC) = cos (AB) cdot cos (AC) + sin (AB) cdot sin (AC) cdot cos ({widehat {BAC}})}

.

Stejně tak pro pseudosféru o poloměru ${displaystyle i}$

{displaystyle cosh (BC) = cosh (AB) cdot cosh (AC) -sinh (AB) cdot sinh (AC) cdot cos ({widehat {BAC}}).}

Vskutku, ${displaystyle cosh (x) = cos (x / i)}$ a ${displaystyle sinh (x) = icdot sin (x / i).}$

Ověření vzorce v limitu euklidovské geometrie

V euklidovské rovině je třeba vypočítat příslušné limity pro výše uvedenou rovnici:

{displaystyle cos _ {R} (x) = cos (x / R) = 1- {frac {1} {2}} cdot {frac {x ^ {2}} {R ^ {2}}} + oleft ( {frac {1} {R ^ {4}}} v pořádku)}

a

{displaystyle sin _ {R} (x) = Rcdot sin (x / R) = x + oleft ({frac {1} {R ^ {3}}} v pořádku)}

.

Aplikovat to na obecný vzorec pro konečný ${displaystyle R}$ výnosy:

{displaystyle {egin {aligned} 1- {frac {BC ^ {2}} {2R ^ {2}}} + oleft [{frac {1} {R ^ {4}}} ight] = {} a vlevo [1 - {frac {AB ^ {2}} {2R ^ {2}}} + oleft ({frac {1} {R ^ {4}}} ight) ight] cdot left [1- {frac {AC ^ {2 }} {2R ^ {2}}} + oleft ({frac {1} {R ^ {4}}} ight) ight] + [5pt] & {} + {frac {1} {R ^ {2} }} left [AB + oleft ({frac {1} {R ^ {3}}} ight) ight] cdot left [AC + oleft ({frac {1} {R ^ {3}}} ight) ight] cdot cos ({widehat {BAC}}) end {aligned}}}

Sbírání termínů, násobení s ${displaystyle -2R ^ {2},}$ a brát ${displaystyle R o infty}$ získá očekávaný vzorec:

{displaystyle BC ^ {2} = AB ^ {2} + AC ^ {2} -2cdot ABcdot ACcdot cos ({widehat {BAC}}).}

Viz také

Reference

^ ^A ^b Pickover, Clifford A. (2009). Matematická kniha: Od Pythagora k 57. dimenzi, 250 milníků v dějinách matematiky. Sterling Publishing Company, Inc. str. 106. ISBN 9781402757969.
^ „Euclid, Elements Thomas L. Heath, sir Thomas Little Heath, Ed“. Citováno 3. listopadu 2012.
^ Výpočetní technika: historická a technická perspektiva. Igarashi, Yoshihide. Boca Raton, Florida. 2014-05-27. p. 78. ISBN 9781482227413. OCLC 882245835.CS1 maint: ostatní (odkaz)
^ Ilija Baruk (2008). Kauzalita I. Teorie energie, času a prostoru, svazek 2. p. 174.
^ Verze appletu Java prof. D E Joyce z Clarkovy univerzity.
^ Casey, John (1889). Pojednání o sférické trigonometrii: a její aplikace v geodézii a astronomii s řadou příkladů. London: Longmans, Green, & Company. p. 133.

externí odkazy

[Pickover-1] A ^b Pickover, Clifford A. (2009). Matematická kniha: Od Pythagora k 57. dimenzi, 250 milníků v dějinách matematiky. Sterling Publishing Company, Inc. str. 106. ISBN 9781402757969.

[2] „Euclid, Elements Thomas L. Heath, sir Thomas Little Heath, Ed“. Citováno 3. listopadu 2012.

[3] Výpočetní technika: historická a technická perspektiva. Igarashi, Yoshihide. Boca Raton, Florida. 2014-05-27. p. 78. ISBN 9781482227413. OCLC 882245835.CS1 maint: ostatní (odkaz)

[4] Ilija Baruk (2008). Kauzalita I. Teorie energie, času a prostoru, svazek 2. p. 174.

[Joyce-5] Verze appletu Java prof. D E Joyce z Clarkovy univerzity.

[6] Casey, John (1889). Pojednání o sférické trigonometrii: a její aplikace v geodézii a astronomii s řadou příkladů. London: Longmans, Green, & Company. p. 133.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]