Složitý konjugát - Complex conjugate

v matematika, komplexní konjugát a komplexní číslo je číslo se stejnou nemovitý část a imaginární část stejného rozsahu, ale opačná podepsat. Vzhledem ke složitému číslu (kde A a b jsou reálná čísla), komplexní konjugát , často označován jako , je rovný [1][2][3]
v polární forma, konjugát je . To lze zobrazit pomocí Eulerův vzorec.
Produkt komplexního čísla a jeho konjugátu je reálné číslo: (nebo v polární souřadnice ).
Je-li kořen univariate polynomiální se skutečnými koeficienty je složitý, pak jeho komplexní konjugát je také kořen.
Zápis
Složitý konjugát komplexního čísla je psán jako nebo .[1][2] První notace, a vinculum, vyhýbá se záměně s notací pro konjugovat transponovat a matice, což lze považovat za zobecnění komplexního konjugátu. Druhý je preferován v fyzika, kde dýka (†) se používá pro transpozici konjugátu, zatímco čárová notace je běžnější v čistá matematika. Pokud je komplexní číslo reprezentován jako matice 2 × 2, zápisy jsou identické. V některých textech je komplexní konjugát předchozího známého čísla zkrácen jako „c.c.“. Například psaní prostředek .
Vlastnosti
Následující vlastnosti platí pro všechna komplexní čísla z a w, pokud není uvedeno jinak, a lze je doložit písemně z a w ve formě A + bi.
Pro libovolná dvě komplexní čísla w, z, konjugace je distribuční přes sčítání, odčítání, násobení a dělení.[2]
Reálná čísla jsou jediná pevné body konjugace. Komplexní číslo se rovná jeho komplexnímu konjugátu, pokud je jeho imaginární část nulová.
Složení konjugace s modulem je ekvivalentní samotnému modulu.
Konjugace je involuce; konjugát konjugátu komplexního čísla z je z.[2]
Produkt komplexního čísla s jeho konjugátem se rovná druhé mocnině modulu čísla. To umožňuje snadný výpočet multiplikativní inverzní komplexního čísla uvedeného v pravoúhlých souřadnicích.
Konjugace je komutativní ve složení s umocněním na celočíselné mocniny, s exponenciální funkcí a s přirozeným logaritmem pro nenulové argumenty.
- -li z je nenulová
Li je polynomiální s nemovitý koeficienty a , pak také. Nereálné kořeny skutečných polynomů se tedy vyskytují ve složitých konjugovaných párech (vidět Složitá kořenová věta o konjugátu ).
Obecně, pokud je holomorfní funkce jehož omezení na reálná čísla je reálné, a je tedy definován
Mapa z na je homeomorfismus (kde je zapnuta topologie je považována za standardní topologii) a antilineární, pokud se uvažuje jako komplex vektorový prostor přes sebe. I když se zdá, že je dobře vychovaný funkce není holomorfní; obrátí orientaci, zatímco holomorfní funkce lokálně zachovávají orientaci. to je bijektivní a kompatibilní s aritmetickými operacemi, a proto je a pole automorfismus. Jelikož udržuje reálná čísla pevná, je prvkem Galoisova skupina z rozšíření pole . Tato skupina Galois má pouze dva prvky: a totožnost na . Jediné dva polní automatorfismy která ponechávají reálná čísla pevná, jsou mapa identity a komplexní konjugace.
Použít jako proměnnou
Jednou komplexní číslo nebo je uveden, jeho konjugát je dostatečný k reprodukci částí z- proměnná:
- Skutečná část:
- Imaginární část:
- Modul (nebo absolutní hodnota):
- Argument: , tak
Dále lze použít k určení úseček v rovině: množina
je přímka procházející počátkem a kolmá na , protože skutečná část je nula, pouze když je kosinus úhlu mezi a je nula. Podobně pro pevnou komplexní jednotku u = exp (b i), rovnice
určuje linku rovnoběžně s linkou přes 0 a u.
Tato použití konjugátu z jako proměnná jsou zobrazeny v Frank Morley kniha Inverzní geometrie (1933), napsaný se svým synem Frankem Vigorem Morleym.
Zobecnění
Ostatní rovinné skutečné algebry, duální čísla, a rozdělená komplexní čísla jsou také analyzovány pomocí komplexní konjugace.
Pro matice komplexních čísel, , kde představuje konjugaci prvek po prvku .[4] Porovnejte to s majetkem , kde představuje konjugovat transponovat z .
Užívání konjugovat transponovat (nebo adjoint) komplexu matice zobecňuje komplexní konjugaci. Ještě obecnější je pojem operátor adjoint pro operátory na (možná nekonečně-dimenzionálním) komplexu Hilbertovy prostory. To vše je zahrnuto do * operací C * -algebry.
Lze také definovat konjugaci pro čtveřice a rozdělené čtveřice: konjugát je .
Všechny tyto zobecnění jsou multiplikativní, pouze pokud jsou faktory obráceny:
Protože násobení rovinných reálných algeber je komutativní, tam není tento obrat nutný.
Existuje také abstraktní pojem konjugace pro vektorové prostory přes komplexní čísla. V této souvislosti jakékoli antilineární mapa to uspokojuje
- , kde a je mapa identity na ,
- pro všechny , , a
- pro všechny , ,
se nazývá a komplexní konjugacenebo skutečná struktura. Jako involuce je antilineární, nemůže to být mapa identity na .
Samozřejmě, je -lineární transformace , pokud si všimnete, že každý složitý prostor PROTI má skutečnou formu získanou tím, že vezme to samé vektory jako v původním prostoru a omezující skaláry, aby byly skutečné. Výše uvedené vlastnosti ve skutečnosti definují a skutečná struktura na komplexním vektorovém prostoru .[5]
Jedním příkladem tohoto pojmu je konjugovaná operace transpozice komplexních matic definovaných výše. Všimněte si, že na obecných komplexních vektorových prostorech není žádná kanonický pojem komplexní konjugace.
Viz také
- Absolutní čtverec
- Složitá konjugovaná linie
- Komplexní konjugovaný vektorový prostor
- Komplexní reprezentace konjugátu
- Složení algebra
- Skutečná struktura
- Wirtingerovy deriváty
Reference
- ^ A b „Úplný seznam symbolů algebry“. Matematický trezor. 2020-03-25. Citováno 2020-08-31.
- ^ A b C d Weisstein, Eric W. „Komplexní konjugát“. mathworld.wolfram.com. Citováno 2020-08-31.
- ^ "Složitá čísla". www.mathsisfun.com. Citováno 2020-08-31.
- ^ Arfken, Matematické metody pro fyziky1985, str. 201
- ^ Budinich, P. a Trautman, A. Spinorial šachovnice. Springer-Verlag, 1988, str. 29
Bibliografie
- Budinich, P. a Trautman, A. Spinorial šachovnice. Springer-Verlag, 1988. ISBN 0-387-19078-3. (antilineární mapy jsou popsány v části 3.3).