Riemannovo potrubí - Riemannian manifold

v diferenciální geometrie, a Riemannovo potrubí nebo Riemannovský prostor (M, G) je nemovitý, hladké potrubí M vybaveno pozitivním definitivním vnitřní produkt G_p na tečný prostor T_pM v každém bodě p. Běžnou konvencí je přijmout G být hladký, což znamená, že pro každý hladký souřadnicový graf (U, x) na M, n² funkce

${ displaystyle g left ({ frac { částečné} { částečné x ^ {i}}}, { frac { částečné} { částečné x ^ {j}}} vpravo): U k mathbb {R}}$

jsou plynulé funkce. Stejným způsobem lze také uvažovat Lipschitz Riemannovy metriky nebo měřitelný Riemannovy metriky, kromě mnoha dalších možností.

Rodina G_p vnitřních produktů se nazývá a Riemannian metrický (nebo Riemannian metrický tenzor). Tyto termíny jsou pojmenovány po německém matematikovi Bernhard Riemann. Studium Riemannovských potrubí představuje předmět zvaný Riemannova geometrie.

Riemannova metrika (tenzor) umožňuje definovat několik geometrických představ na Riemannově varietě, jako například úhel na křižovatce, délka a křivka, plocha povrchu a analogů vyšších dimenzí (objem, atd.), vnější zakřivení submanifoldů a vnitřní zakřivení samotného potrubí.

Úvod

V roce 1828 Carl Friedrich Gauss prokázal své Věta Egregium (pozoruhodná věta v latině), kterým se stanoví důležitá vlastnost povrchů. Věta neformálně říká, že zakřivení povrchu lze určit úplně měřením vzdáleností podél cest na povrchu. To znamená, že zakřivení nezávisí na tom, jak by mohl být povrch vložen do trojrozměrného prostoru. Vidět Diferenciální geometrie povrchů. Bernhard Riemann rozšířil Gaussovu teorii do prostorů vyšších dimenzí zvaných potrubí způsobem, který také umožňuje měřit vzdálenosti a úhly a definovat pojem zakřivení, opět způsobem, který je vlastní potrubí a nezávisí na jeho vložení do vyšších - rozměrové prostory. Albert Einstein použil teorii pseudoriemanianské rozdělovače (zobecnění Riemannovských variet) rozvíjet jeho obecná teorie relativity. Zejména jeho gravitační rovnice jsou omezení na zakřivení časoprostoru.

Definice

The tečný svazek a hladké potrubí ${ displaystyle M}$ přiřadí ke každému bodu ${ displaystyle p}$ z ${ displaystyle M}$ vektorový prostor ${ displaystyle T_ {p} M}$ volal tečný prostor z ${ displaystyle M}$ na ${ displaystyle p.}$ Každému je přiřazena Riemannova metrika (podle definice) ${ displaystyle p}$ pozitivní určitý produkt ${ displaystyle g_ {p}: T_ {p} M krát T_ {p} M až mathbb {R},}$ spolu s tím přichází norma ${ displaystyle | cdot | _ {p}: T_ {p} M to mathbb {R}}$ definován ${ displaystyle | v | _ {p} = { sqrt {g_ {p} (v, v)}}.}$ The hladké potrubí ${ displaystyle M}$ obdařen touto metrikou ${ displaystyle g}$ je Riemannovo potrubí, označeno ${ displaystyle (M, g)}$.

Když je dán systém hladkého lokální souřadnice na ${ displaystyle M,}$ dána ${ displaystyle n}$ funkce se skutečnou hodnotou ${ displaystyle (x ^ {1}, ldots, x ^ {n}): U to mathbb {R} ^ {n},}$ vektory

${ displaystyle left {{ frac { částečné} { částečné x ^ {1}}} { velké |} _ {p}, dotsc, { frac { částečné} { částečné x ^ { n}}} { Velký |} _ {p} vpravo }}$

tvoří základ vektorového prostoru ${ displaystyle T_ {p} M,}$ pro všechny ${ displaystyle p v U.}$ Relativně k tomuto základu lze v každém bodě definovat metrické tenzorové „komponenty“ ${ displaystyle p}$ podle

${ displaystyle g_ {ij} | _ {p}: = g_ {p} left ( left. { frac { partial} { částečné x ^ {i}}} right | _ {p}, vlevo. { frac { částečné} { částečné x ^ {j}}} pravé | _ {p} pravé).}$

Dalo by se to považovat za ${ displaystyle n ^ {2}}$ jednotlivé funkce ${ displaystyle g_ {ij}: U to mathbb {R}}$ nebo jako singl ${ displaystyle n krát n}$ funkce s hodnotou matice zapnuta ${ displaystyle U;}$ Všimněte si, že „Riemannovský“ předpoklad říká, že se oceňuje v podmnožině sestávající ze symetrických pozitivně-definitních matic.

Ve smyslu tenzorová algebra, metrický tenzor lze psát ve smyslu dvojí základ {dX¹, ..., dXⁿ} kotangensového svazku jako

${ displaystyle g = sum _ {i, j} g_ {ij} , mathrm {d} x ^ {i} otimes mathrm {d} x ^ {j}.}$

Izometrie

Li ${ displaystyle (M, g)}$ a ${ displaystyle (N, h)}$ jsou dvě Riemannova potrubí, s ${ displaystyle f: M až N}$ tedy difeomorfismus ${ displaystyle f}$ se nazývá izometrie -li ${ displaystyle g = f ^ { ast} h,}$ tj. pokud

${ displaystyle g_ {p} (u, v) = h_ {f (p)} (df_ {p} (u), df_ {p} (v))}$

pro všechny ${ displaystyle p v M}$ a ${ displaystyle u, v v T_ {p} M.}$

Jeden říká, že mapa ${ displaystyle f: M až N,}$ nepředpokládá se, že je difeomorfismus, je místní izometrie pokud každý ${ displaystyle p v M}$ má otevřené sousedství ${ displaystyle U ni p}$ takhle ${ displaystyle f: U až f (U)}$ je difeomorfismus a izometrie.

Pravidelnost Riemannovy metriky

Jeden říká, že Riemannova metrika ${ displaystyle g}$ je kontinuální -li ${ displaystyle g_ {ij}: U to mathbb {R}}$ jsou spojité, když dostanou jakýkoli hladký souřadnicový graf ${ displaystyle (U, x).}$ Jeden to říká ${ displaystyle g}$ je hladký pokud jsou tyto funkce hladké, když je uveden jakýkoli hladký souřadnicový graf. V tomto duchu lze také uvažovat o mnoha dalších typech Riemannovských metrik.

Ve většině výkladových účtů Riemannovy geometrie jsou metriky vždy považovány za plynulé. Mohou však existovat důležité důvody pro zvážení metrik, které jsou méně plynulé. Riemannovy metriky vytvořené metodami geometrická analýza zejména může být méně než hladký. Viz například (Gromov 1999) a (Shi a Tam 2002).

Přehled

Níže uvádíme příklady Riemannovských variet. Slavný teorém z John Nash uvádí, že vzhledem k jakémukoli hladkému Riemannovu potrubí ${ displaystyle (M, g),}$ existuje (obvykle velké) číslo ${ displaystyle N}$ a vložení ${ displaystyle F: M to mathbb {R} ^ {N}}$ tak, že návrat ${ displaystyle F}$ standardní Riemannovy metriky ${ displaystyle mathbb {R} ^ {n}}$ je ${ displaystyle g.}$ Neformálně může být celá struktura hladkého Riemannova potrubí zakódována difeomorfismem do určitého vloženého podmanifu nějakého euklidovského prostoru. V tomto smyslu je diskutabilní, že z úvah o abstraktních hladkých varietách a jejich riemannovských metrikách nelze nic získat. Existuje však mnoho přirozených hladkých Riemannovských variet, například množina rotací trojrozměrného prostoru a hyperbolický prostor, z nichž jakákoli reprezentace jako podmanifu euklidovského prostoru nepředstavuje jejich pozoruhodné symetrie a vlastnosti tak jasně jako jejich abstraktní prezentace.

Příklady

Euklidovský prostor

Nechat ${ displaystyle x ^ {1}, ldots, x ^ {n}}$ označte standardní souřadnice na ${ displaystyle mathbb {R} ^ {n}.}$ Pak definujte ${ displaystyle g_ {p} ^ { mathrm {can}}: T_ {p} mathbb {R} ^ {n} krát T_ {p} mathbb {R} ^ {n} to mathbb {R }}$ podle

${ displaystyle left ( sum _ {i} a_ {i} { frac { parciální} { parciální x ^ {i}}}, sum _ {j} b_ {j} { frac { parciální } { částečné x ^ {j}}} vpravo) longmapsto sum _ {i} a_ {i} b_ {i}.}$

Frázováno odlišně: vzhledem ke standardním souřadnicím, místní reprezentace ${ displaystyle g_ {ij}: U to mathbb {R}}$ je dána konstantní hodnotou ${ displaystyle delta _ {ij}.}$

Toto je jasně Riemannova metrika a nazývá se standardní Riemannova struktura ${ displaystyle mathbb {R} ^ {n}.}$ To je také označováno jako Euklidovský prostor dimenze n a G_ij^umět se také nazývá (kanonický) Euklidovská metrika.

Vestavěné dílčí rozdělovače

Nechat ${ displaystyle (M, g)}$ být Riemannovo potrubí a nechat ${ displaystyle N podmnožina M}$ být vložený dílčí potrubí z ${ displaystyle M,}$ což je minimálně ${ displaystyle C ^ {1}.}$ Pak omezení z G k tečnám vektorů N definuje Riemannovu metriku N.

• Zvažte například ${ displaystyle S ^ {n-1} = {x in mathbb {R} ^ {n} :( x ^ {1}) ^ {2} + cdots + (x ^ {n}) ^ { 2} = 1. },}$ což je hladký vložený podmanifold euklidovského prostoru se standardní metrikou. Riemannova metrika, kterou to indukuje ${ displaystyle S ^ {n-1}}$ se nazývá standardní metrika nebo kanonická metrika na ${ displaystyle S ^ {n-1}.}$
• Existuje mnoho podobných příkladů. Například každý elipsoid v ${ displaystyle mathbb {R} ^ {3}}$ má přirozenou Riemannovu metriku. Graf plynulé funkce ${ displaystyle f: mathbb {R} ^ {3} to mathbb {R}}$ je vložený podmanifold a má také přirozenou Riemannovu metriku.

Ponoření

Nechat ${ displaystyle (M, g)}$ být Riemannovo potrubí a nechat ${ displaystyle f: Sigma to M}$ být rozlišitelná mapa. Pak je možné zvážit zarazit z ${ displaystyle g}$ přes ${ displaystyle f}$, což je symetrický 2-tenzor ${ displaystyle Sigma}$ definován

${ displaystyle (f ^ { ast} g) _ {p} (v, w) = g_ {f (p)} { big (} df_ {p} (v), df_ {p} (w) { big)},}$

kde ${ displaystyle df_ {p} (v)}$ je tlačit kupředu z ${ displaystyle v}$ podle ${ displaystyle f.}$

V tomto nastavení obecně ${ displaystyle f ^ { ast} g}$ nebude Riemannovou metrikou ${ displaystyle Sigma,}$ protože není kladně definitivní. Například pokud ${ displaystyle f}$ je tedy konstantní ${ displaystyle f ^ { ast} g}$ je nula. Ve skutečnosti, ${ displaystyle f ^ { ast} g}$ je Riemannova metrika, právě když ${ displaystyle f}$ je ponoření, což znamená, že lineární mapa ${ displaystyle df_ {p}: T_ {p} Sigma až T_ {f (p)} M}$ je injekční pro každého ${ Displaystyle p in Sigma.}$

• Důležitý příklad nastane, když ${ displaystyle (M, g)}$ není jednoduše propojeno, takže existuje krycí mapa ${ displaystyle { widetilde {M}} na M.}$ Jedná se o ponoření, a tak univerzální kryt jakéhokoli Riemannova potrubí automaticky zdědí Riemannovu metriku. Obecněji, ale podle stejného principu, jakýkoli krycí prostor Riemannova potrubí zdědí Riemannovu metriku.
• Také ponořené dílčí potrubí Riemannova potrubí zdědí Riemannovu metriku.

Metriky produktu

Nechat ${ displaystyle (M, g)}$ a ${ displaystyle (N, h)}$ být dva Riemannovy rozdělovače a uvažovat kartézský součin ${ displaystyle M krát N}$ s obvyklou hladkou strukturou produktu. Riemannovy metriky ${ displaystyle g}$ a ${ displaystyle h}$ přirozeně řečeno Riemannovu metriku ${ displaystyle { widetilde {g}}}$ na ${ displaystyle M krát N,}$ což lze popsat několika způsoby.

• Vzhledem k rozkladu ${ displaystyle T _ {(p, q)} (M krát N) cong T_ {p} M oplus T_ {q} N,}$ lze definovat

${ displaystyle { widetilde {g}} _ {p, q} (u oplus x, v oplus y) = g_ {p} (u, v) + h_ {q} (x, y).}$

• Nechat ${ displaystyle (U, x)}$ být hladký souřadnicový graf na ${ displaystyle M}$ a nechte ${ displaystyle (V, y)}$ být hladký souřadnicový graf na ${ displaystyle N.}$ Pak ${ displaystyle (U krát V, (x, y))}$ je hladký souřadnicový graf na ${ displaystyle M krát N.}$ Pro větší pohodlí ${ displaystyle operatorname {Sym} _ {n krát n} ^ {+}}$ označit soubor pozitivně-definitivní symetrický ${ displaystyle n krát n}$ skutečné matice. Označte souřadnicové zastoupení ${ displaystyle g}$ ve vztahu k ${ displaystyle (U, x)}$ podle ${ displaystyle g_ {U}: U to operatorname {Sym} _ {m krát m} ^ {+}}$ a označit souřadnicovou reprezentaci ${ displaystyle h}$ ve vztahu k ${ displaystyle (V, y)}$ podle ${ displaystyle h_ {V}: V to operatorname {Sym} _ {n times n} ^ {+}.}$ Poté lokální souřadnicová reprezentace ${ displaystyle { widetilde {g}}}$ ve vztahu k ${ displaystyle (U krát V, (x, y))}$ je ${ displaystyle { widetilde {g}} _ {U times V}: U times V to operatorname {Sym} _ {(m + n) times (m + n)} ^ {+}}$ dána

${ displaystyle (p, q) mapsto { begin {pmatrix} g_ {U} (p) & 0 0 & h_ {V} (q) end {pmatrix}}.}$

Standardní příklad je vzít v úvahu n-torus ${ displaystyle T ^ {n},}$ definovat jako produkt n-fold ${ displaystyle S ^ {1} times cdots times S ^ {1}.}$ Pokud jeden dá každou kopii ${ displaystyle S ^ {1}}$ vzhledem ke standardní Riemannově metrice ${ displaystyle S ^ {1} podmnožina mathbb {R} ^ {2}}$ jako vložený dílčí potrubí (jak je uvedeno výše), pak lze uvažovat o produktu Riemannovy metriky ${ displaystyle T ^ {n}.}$ Říká se tomu a plochý torus.

Konvexní kombinace metrik

Nechat ${ displaystyle g_ {0}}$ a ${ displaystyle g_ {1}}$ být dvě Riemannovy metriky ${ displaystyle M.}$ Pak pro libovolné číslo ${ displaystyle lambda v [0,1],}$

${ displaystyle { tilde {g}}: = lambda g_ {0} + (1- lambda) g_ {1}}$

je také Riemannova metrika ${ displaystyle M.}$ Obecněji, pokud ${ displaystyle a}$ a ${ displaystyle b}$ jsou tedy libovolná dvě kladná čísla ${ displaystyle ag_ {0} + bg_ {1}}$ je další Riemannova metrika.

Každé hladké potrubí má Riemannovu metriku

To je zásadní výsledek. Přestože lze velkou část základní teorie Riemannovských metrik vyvinout pouze pomocí toho, že hladké potrubí je místně euklidovské, je pro tento výsledek nutné zahrnout do definice „hladkého potrubí“, že je to Hausdorff a paracompact. Důvodem je, že důkaz využívá a rozdělení jednoty.

Struktura metrického prostoru spojitých Riemannovských potrubí

Délka po částech spojitě diferencovatelných křivek

Li ${ displaystyle gamma: [a, b] do M}$ je diferencovatelné, pak se každému přiřadí ${ displaystyle t in (a, b)}$ vektor ${ displaystyle gamma '(t)}$ ve vektorovém prostoru ${ displaystyle T _ { gamma (t)} M,}$ jehož velikost lze měřit normou ${ displaystyle | cdot | _ { gamma (t)}.}$ Tak ${ displaystyle t mapsto | gamma '(t) | _ { gamma (t)}}$ definuje na intervalu nezápornou funkci ${ displaystyle (a, b).}$ Délka je definována jako integrál této funkce; jak je zde však uvedeno, není důvod očekávat, že bude tato funkce integrovatelná. Je typické předpokládat G být kontinuální a ${ displaystyle gamma}$ být průběžně diferencovatelné, takže integrovaná funkce je nezáporná a spojitá, a tedy délka ${ displaystyle gamma,}$

${ displaystyle L ( gamma) = int _ {a} ^ {b} | gamma '(t) | _ { gamma (t)} , dt,}$

je dobře definovaný. Tuto definici lze snadno rozšířit tak, aby definovala délku jakékoli po částech spojitě diferencovatelné křivky.

V mnoha případech, například při definování Riemannův tenzor zakřivení, je nutné to vyžadovat G má více pravidelnosti než pouhou kontinuitu; toto bude projednáno jinde. Prozatím kontinuita G k dotování bude stačit použít výše definovanou délku M se strukturou a metrický prostor, za předpokladu, že je připojen.

Struktura metrického prostoru

Přesně, definujte ${ displaystyle d_ {g}: M krát M až [0, infty)}$ podle

${ displaystyle d_ {g} (p, q) = inf {L ( gamma): gamma { text {po částech průběžně diferencovatelná křivka od}} p { text {do}} q }.}$

Většinou je snadné zkontrolovat dobře definovanou funkci ${ displaystyle d_ {g},}$ jeho symetrická vlastnost ${ displaystyle d_ {g} (p, q) = d_ {g} (q, p),}$ jeho vlastnost reflexivity ${ displaystyle d_ {g} (p, p) = 0,}$ a nerovnost trojúhelníku ${ displaystyle d_ {g} (p, q) + d_ {g} (q, r) geq d_ {g} (p, r),}$ i když existují určité drobné technické komplikace (například ověření, že libovolné dva body lze spojit po částech rozlišitelnou cestou). Je zásadnější to pochopit ${ Displaystyle p neq q}$ zajišťuje ${ displaystyle d_ {g} (p, q)> 0,}$ a proto to ${ displaystyle d_ {g}}$ splňuje všechny axiomy metriky.

(Načrtnuto) Důkaz ${ Displaystyle p neq q}$ naznačuje ${ displaystyle d_ {g} (p, q)> 0.}$

Stručně: kolem musí být nějaká předkompaktní otevřená sada p z nichž každá křivka p na q musí uniknout. Výběrem této otevřené sady, která má být obsažena v souřadnicovém grafu, lze snížit nárok na známou skutečnost, že v euklidovské geometrii je nejkratší křivka mezi dvěma body přímka. Zejména, jak je patrné z euklidovské geometrie souřadnicového grafu kolem p, libovolná křivka z p na q musí nejprve projít určitým „vnitřním poloměrem“. Předpokládaná kontinuita Riemannovy metriky G pouze umožňuje této „geometrii souřadnicového grafu“ narušit „skutečnou geometrii“ nějakým omezeným faktorem. Přesněji řečeno ${ displaystyle (U, x)}$ být hladký souřadnicový graf s ${ displaystyle x (p) = 0}$ a ${ displaystyle q notin U.}$ Nechat ${ displaystyle V ni x}$ být otevřenou podmnožinou ${ displaystyle U}$ s ${ displaystyle { overline {V}} podmnožina U.}$ Kontinuitou ${ displaystyle g}$ a kompaktnost ${ displaystyle { overline {V}},}$ existuje kladné číslo ${ displaystyle lambda}$ takhle ${ displaystyle g (X, X) geq lambda | X | ^ {2}}$ pro všechny ${ displaystyle r ve V}$ a jakékoli ${ displaystyle X v T_ {r} M,}$ kde ${ displaystyle | cdot |}$ označuje euklidovskou normu vyvolanou místními souřadnicemi. Nechat R označit ${ displaystyle sup {r> 0: B_ {r} (0) podmnožina x (V) },}$ které mají být použity v posledním kroku důkazu. Nyní, vzhledem k jakékoli po částech spojitě diferencovatelné cestě ${ displaystyle gamma: [a, b] do M}$ z p na q, musí existovat nějaké minimální ${ displaystyle delta> 0}$ takhle ${ displaystyle gamma (a + delta) notin V;}$ jasně ${ displaystyle gamma (a + delta) v částečné V.}$ Délka ${ displaystyle gamma}$ je přinejmenším stejně velký jako omezení ${ displaystyle gamma}$ na ${ displaystyle [a, a + delta].}$ Tak ${ displaystyle L ( gamma) geq { sqrt { lambda}} int _ {a} ^ {a + delta} | gamma '(t) | , dt.}$ Zde zobrazený integrál představuje euklidovskou délku křivky od 0 do ${ displaystyle x ( částečné V) podmnožina mathbb {R} ^ {n}}$, a tak je větší nebo rovno R. Takže jsme dospěli k závěru ${ displaystyle L ( gamma) geq { sqrt { lambda}} R.}$

Pozorování, které je základem výše uvedeného důkazu, o srovnání mezi délkami měřenými pomocí G a euklidovské délky měřené v hladkém souřadnicovém grafu také ověřují, že topologie metrického prostoru ${ displaystyle (M, d_ {g})}$ se shoduje s původní topologickou prostorovou strukturou ${ displaystyle M.}$

Ačkoli je délka křivky dána explicitním vzorcem, je obecně nemožné zapsat funkci vzdálenosti ${ displaystyle d_ {g}}$ jakýmkoli výslovným způsobem. Ve skutečnosti, pokud ${ displaystyle M}$ je pak kompaktní, i když G je hladký, vždy existují body, kde ${ displaystyle d_ {g}: M krát M to mathbb {R}}$ je nediferencovatelné a může být pozoruhodně obtížné dokonce určit umístění nebo povahu těchto bodů, dokonce i ve zdánlivě jednoduchých případech, například ${ displaystyle (M, g)}$ je elipsoid.

Geodetika

Stejně jako v předchozí části, pojďme ${ displaystyle (M, g)}$ být spojeným a spojitým riemannovským potrubím; zvažte související metrický prostor ${ displaystyle (M, d_ {g}).}$ Ve vztahu k této metrické struktuře prostoru se říká, že cesta ${ displaystyle c: [a, b] až M}$ je jednotková rychlost geodetické pokud pro každého ${ displaystyle t_ {0} v [a, b]}$ existuje interval ${ displaystyle J podmnožina [a, b]}$ který obsahuje ${ displaystyle t_ {0}}$ a takhle

${ displaystyle d_ {g} (c (s), c (t)) = | s-t | qquad forall s, t v J.}$

Neformálně lze říci, že o to někdo žádá ${ displaystyle c}$ lokálně se co nejvíce „natáhnout“, s výhradou (neformálně uvažovaného) omezení jednotkové rychlosti. Myšlenka je, že pokud ${ displaystyle c: [a, b] až M}$ je (po částech) nepřetržitě diferencovatelný a ${ displaystyle | c '(t) | _ {c (t)} = 1}$ pro všechny ${ displaystyle t,}$ pak jeden automaticky má ${ displaystyle d_ {g} (c (s), c (t)) leq | s-t |}$ aplikací nerovnosti trojúhelníku na Riemannovu součtu aproximace integrálu definujícího délku ${ displaystyle c.}$ Vyžadují se tedy geodetické podmínky jednotkové rychlosti, jak jsou uvedeny výše ${ Displaystyle c (s)}$ a ${ displaystyle c (t)}$ být co nejdále od sebe. Skutečnost, že hledáme pouze křivky lokálně protáhnout se odráží první dva příklady uvedené níže; globální podoba ${ displaystyle (M, g)}$ může přinutit i ty nejneškodnější geodetiky, aby se ohnuly a protínaly se.

• Zvažte případ ${ displaystyle (M, g)}$ je kruh ${ displaystyle S ^ {1}}$ se standardní Riemannovou metrikou a ${ displaystyle c: mathbb {R} do S ^ {1}}$ darováno ${ displaystyle t mapsto ( cos t, sin t).}$ Odvolej to ${ displaystyle d_ {g}}$ se měří délkou křivek ${ displaystyle S ^ {1}}$, ne přímočarými cestami v rovině. Tento příklad také ukazuje nutnost výběru subintervalu ${ displaystyle J,}$ od křivky ${ displaystyle c}$ opakuje se zvlášť přirozeným způsobem.
• Stejně tak, pokud ${ displaystyle (M, g)}$ je kulatá koule ${ displaystyle S ^ {2}}$ s jeho standardní Riemannovou metrikou bude potom cesta rychlostí jednotky podél rovníkové kružnice geodetická. Cesta jednotkové rychlosti podél ostatních zeměpisných šířek nebude geodetická.
• Zvažte případ ${ displaystyle (M, g)}$ je ${ displaystyle mathbb {R} ^ {2}}$ s jeho standardní Riemannovou metrikou. Pak rychlostní trať, jako je ${ displaystyle t mapsto (2 ^ {- 1/2} t, 2 ^ {- 1/2} t)}$ je geodetická, ale křivka ${ displaystyle c}$ z prvního příkladu výše není.

Všimněte si, že geodetické jednotky, jak jsou zde definovány, jsou nutně spojité a ve skutečnosti Lipschitz, ale nemusí se nutně odlišovat nebo rozlišovat po částech.

Hopf-Rinowova věta

Jak je uvedeno výše, pojďme ${ displaystyle (M, g)}$ být spojeným a spojitým riemannovským potrubím. The Hopf-Rinowova věta, v tomto nastavení říká, že (Gromov 1999)

• pokud je metrický prostor ${ displaystyle (M, d_ {g})}$ je kompletní (tj. každý ${ displaystyle d_ {g}}$-Cauchyova sekvence konverguje)
  • každá uzavřená a ohraničená podmnožina ${ displaystyle M}$ je kompaktní.
  • dané žádné ${ displaystyle p, q v M}$ existuje geodetická jednotka ${ displaystyle c: [a, b] až M}$ z ${ displaystyle p}$ na ${ displaystyle q}$ takhle ${ displaystyle d_ {g} (c (s), c (t)) = | s-t |}$ pro všechny ${ displaystyle s, t in [a, b].}$

Podstatou důkazu je, že jakmile je stanovena první polovina, lze přímo použít Věta Arzelà-Ascoli, v kontextu kompaktního metrického prostoru ${ displaystyle { overline {B_ {2d_ {g} (p, q)} (p)}},}$ na posloupnost po částech spojitě diferencovatelných křivek jednotkové rychlosti od ${ displaystyle p}$ na ${ displaystyle q}$ jejichž délky jsou přibližné ${ displaystyle d_ {g} (p, q).}$ Výsledný následný limit je požadovaná geodetika.

Předpokládaná úplnost ${ displaystyle (M, d_ {g})}$ je důležité. Zvažte například tento případ ${ displaystyle (M, g)}$ je propíchnuté letadlo ${ displaystyle mathbb {R} ^ {2} smallsetminus {(0,0) }}$ s jeho standardní Riemannovskou metrikou a jeden bere ${ displaystyle p = (1,0)}$ a ${ displaystyle q = (0,1).}$ Z jedné na druhou neexistuje geodetická jednotka.

Průměr

Nechat ${ displaystyle (M, g)}$ být spojeným a spojitým riemannovským potrubím. Stejně jako v každém metrickém prostoru lze definovat průměr ${ displaystyle (M, d_ {g})}$ být

${ displaystyle operatorname {diam} (M, d_ {g}) = sup {d_ {g} (p, q): p, q v m }.}$

Věta Hopf-Rinow ukazuje, že pokud ${ displaystyle (M, d_ {g})}$ je kompletní a má konečný průměr, pak musí být kompaktní. Naopak, pokud ${ displaystyle (M, d_ {g})}$ je kompaktní, pak funkce ${ displaystyle d_ {g}: M krát M to mathbb {R}}$ musí mít maximum, protože se jedná o spojitou funkci v kompaktním metrickém prostoru. To dokazuje následující tvrzení:

• Li ${ displaystyle (M, d_ {g})}$ je kompletní, pak je kompaktní, právě když má konečný průměr.

Bez předpokladu úplnosti to tak není; pro protipříklady lze uvažovat jakoukoli otevřenou ohraničenou podmnožinu euklidovského prostoru se standardní Riemannovou metrikou.

Všimněte si, že obecněji a se stejným jednorázovým důkazem má každý kompaktní metrický prostor konečný průměr. Následující prohlášení je však Nepravdivé: "Pokud je metrický prostor úplný a má konečný průměr, pak je kompaktní." Zvažte příklad úplného a nekompaktního metrického prostoru konečného průměru

${ displaystyle M = { Big {} { text {spojité funkce}} f: [0,1] to mathbb {R} { text {with}} sup _ {x in [0, 1]} | f (x) | leq 1 { Velký }}}$

s jednotná metrika

${ displaystyle d (f, g) = sup _ {x v [0,1]} | f (x) -g (x) |.}$

Ačkoli všechny pojmy ve výše uvedeném důsledku Hopf-Rinowovy věty zahrnují pouze metrickou prostorovou strukturu ${ displaystyle (M, g),}$ je důležité, aby byla metrika indukována z Riemannovy struktury.

Riemannovy metriky

Geodetická úplnost

Riemannovo potrubí M je geodeticky kompletní pokud pro všechny p ∈ M, exponenciální mapa exp_p je definován pro všechny v ∈ T_pM, tj. pokud existuje geodetická y(t) začínající od p je definován pro všechny hodnoty parametru t ∈ R. The Hopf – Rinowova věta tvrdí to M je geodeticky kompletní, právě když je kompletní jako metrický prostor.

Li M je tedy kompletní M je nerozšiřitelný v tom smyslu, že není izometrický vůči otevřenému správnému podmanifu jiného Riemannova potrubí. Konverzace však není pravdivá: existují neroztažitelná potrubí, která nejsou úplná.

Viz také

Reference

• dělat Carmo, Manfredo (1992). Riemannova geometrie. Basilej: Birkhäuser. ISBN  978-0-8176-3490-2.
• Gromov, Misha (1999). Metrické struktury pro Riemannovy a neriemannovské prostory (Na základě francouzského originálu z roku 1981). Birkhäuser Boston, Inc., Boston, MA. ISBN  0-8176-3898-9.
• Jost, Jürgen (2008). Riemannova geometrie a geometrická analýza (5. vydání). Berlín: Springer-Verlag. ISBN  978-3-540-77340-5.
• Shi, Yuguang; Tam, Luen-Fai (2002). "Věta o kladné hmotnosti a hraniční chování kompaktních variet s nezáporným skalárním zakřivením". J. Diferenciální Geom. 62 (1): 79–125.

externí odkazy

• L. A. Sidorov (2001) [1994], "Riemannova metrika", Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS