Standardní základ - Standard basis

Tento článek obsahuje a seznam doporučení, související čtení nebo externí odkazy, ale jeho zdroje zůstávají nejasné, protože mu chybí vložené citace. Prosím pomozte zlepšit tento článek představuji přesnější citace. (Červenec 2016) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

Každý vektor A ve třech rozměrech je a lineární kombinace standardních bazických vektorů i, j, a k.

v matematika, standardní základ (také zvaný přírodní základ) a vektorový prostor souřadnic je sada vektorů, jejichž souřadnice jsou všechny nulové, kromě jednoho, který se rovná 1. Například v případě Euklidovské letadlo tvořené dvojicemi (X, y) z reálná čísla, standardní základ tvoří vektory

${ displaystyle mathbf {e} _ {x} = (1,0), quad mathbf {e} _ {y} = (0,1).}$

Podobně standardní základ pro trojrozměrný prostor je tvořen vektory

${ displaystyle mathbf {e} _ {x} = (1,0,0), quad mathbf {e} _ {y} = (0,1,0), quad mathbf {e} _ { z} = (0,0,1).}$

Tady vektor E_X body v X směr, vektor E_y body v y směr a vektor E_z body v z směr. Existuje několik společných notace pro vektory na standardní bázi, včetně {E_X, E_y, E_z}, {E₁, E₂, E₃}, {i, j, k}, a {X, y, z}. Tyto vektory jsou někdy psány s a čepice zdůraznit jejich status jako jednotkové vektory (standardní jednotkové vektory).

Tyto vektory jsou a základ v tom smyslu, že jakýkoli jiný vektor lze jednoznačně vyjádřit jako a lineární kombinace z nich. Například každý vektor proti v trojrozměrném prostoru lze jednoznačně napsat jako

${ displaystyle v_ {x} , mathbf {e} _ {x} + v_ {y} , mathbf {e} _ {y} + v_ {z} , mathbf {e} _ {z} ,}$

the skaláry proti_X, proti_y, proti_z být skalární komponenty vektoru proti.

V ${ displaystyle n}$-dimenzionální Euklidovský prostor ${ displaystyle mathbf {R} ^ {n}}$, standardní základ tvoří n odlišné vektory

${ displaystyle { mathbf {e} _ {i}: 1 leq i leq n },}$

kde E_i označuje vektor s 1 v ${ displaystyle i}$th koordinovat a 0 jsou jinde.

Standardní základny lze definovat pro jiné vektorové prostory, jehož definice zahrnuje koeficienty, jako např polynomy a matice. V obou případech se standardní základ skládá z prvků prostoru tak, že všechny koeficienty kromě jednoho jsou 0 a nenulový je 1. U polynomů standardní základ tedy sestává z monomials a běžně se nazývá monomiální základ. Pro matice ${ displaystyle { mathcal {M}} _ {m krát n}}$, standardní základ tvoří m×n-matice s přesně jednou nenulovou položkou, což je 1. Například standardní základ pro matice 2 × 2 je tvořen 4 maticemi

${ displaystyle mathbf {e} _ {11} = { begin {pmatrix} 1 & 0 0 & 0 end {pmatrix}}, quad mathbf {e} _ {12} = { begin {pmatrix} 0 a 1 0 & 0 end {pmatrix}}, quad mathbf {e} _ {21} = { begin {pmatrix} 0 a 0 1 & 0 end {pmatrix}}, quad mathbf {e} _ {22} = { begin {pmatrix} 0 & 0 0 & 1 end {pmatrix}}.}$

Vlastnosti

Podle definice je standardním základem a sekvence z ortogonální jednotkové vektory. Jinými slovy, je to nařízeno a ortonormální základ.

Objednaný ortonormální základ však nemusí být nutně standardní. Například dva vektory představující rotaci 30 ° 2D základny popsané výše, tj.

${ displaystyle v_ {1} = vlevo ({{ sqrt {3}} nad 2}, {1 nad 2} vpravo) ,}$

${ displaystyle v_ {2} = vlevo ({1 nad 2}, {- { sqrt {3}} nad 2} vpravo) ,}$

jsou také ortogonální jednotkové vektory, ale nejsou zarovnány s osami Kartézský souřadnicový systém, takže základ s těmito vektory nesplňuje definici standardního základu.

Zobecnění

Tady je Standard základ také pro prsten z polynomy v n neurčuje se přes a pole, jmenovitě monomials.

Všechny výše uvedené jsou zvláštní případy rodiny

${ displaystyle {(e_ {i})} _ {i v I} = (( delta _ {ij}) _ {j v I}) _ {i v I}}$

kde ${ displaystyle I}$ je libovolná sada a ${ displaystyle delta _ {ij}}$ je Kroneckerova delta, kdykoli rovna nule i ≠ j a rovno 1, pokud i = j.Tato rodina je kanonický na základě R-modul (bezplatný modul )

${ displaystyle R ^ {(I)}}$

všech rodin

${ displaystyle f = (f_ {i})}$

z Já do prsten R, které jsou nula s výjimkou konečného počtu indexů, pokud interpretujeme 1 jako 1_R, jednotka v R.

Další použití

Existence dalších „standardních“ základen se stala předmětem zájmu algebraická geometrie, počínaje prací Hodge od roku 1943 Grassmannians. Nyní je součástí teorie reprezentace volala standardní monomiální teorie. Myšlenka standardního základu v univerzální obalová algebra a Lež algebra je zřízen Poincaré – Birkhoff – Wittova věta.

Gröbnerovy základny jsou také někdy nazývány standardní základny.

v fyzika, standardní základní vektory pro daný euklidovský prostor jsou někdy označovány jako versors os příslušného kartézského souřadnicového systému.

Viz také

• Kanonické jednotky
• Příklady vektorových prostorů § Zobecněný souřadnicový prostor

Reference

• Ryan, Patrick J. (2000). Euklidovská a neeuklidovská geometrie: analytický přístup. Cambridge; New York: Cambridge University Press. ISBN  0-521-27635-7. (strana 198)

• Schneider, Philip J .; Eberly, David H. (2003). Geometrické nástroje pro počítačovou grafiku. Amsterdam; Boston: Morgan Kaufmann Publishers. ISBN  1-55860-594-0. (strana 112)