Odstupňovaný vektorový prostor - Graded vector space
v matematika, a odstupňovaný vektorový prostor je vektorový prostor který má zvláštní strukturu a známkování nebo a gradace, což je rozklad vektorového prostoru na a přímý součet vektorových podprostorů.
ℕ-gradované vektorové prostory
Nechat být množina nezáporných celých čísel. An -gradovaný vektorový prostor, často nazývané jednoduše a odstupňovaný vektorový prostor bez předpony , je vektorový prostor PROTI spolu s rozkladem na přímý součet formy
kde každý je vektorový prostor. Za dané n prvky poté jsou voláni homogenní prvky stupně n.
Gradované vektorové prostory jsou běžné. Například množina všech polynomy v jedné nebo více proměnných tvoří odstupňovaný vektorový prostor, kde jsou homogenní prvky stupně n jsou přesně lineární kombinace monomií stupněn.
Všeobecné Já-gradované vektorové prostory
Podprostory odstupňovaného vektorového prostoru nemusí být indexovány množinou přirozených čísel a mohou být indexovány prvky libovolné sady Já. An Já-gradovaný vektorový prostor PROTI je vektorový prostor společně s rozkladem na přímý součet podprostorů indexovaných prvky i nastavit Já:
Proto an -gradovaný vektorový prostor, jak je definován výše, je pouze Já-graded vector space where the set Já je (soubor přirozená čísla ).
Případ kde Já je prsten (prvky 0 a 1) je zvláště důležité v fyzika. A -gradovaný vektorový prostor je také známý jako a supervizorský prostor.
Homomorfismy
Pro obecné sady indexů Já, a lineární mapa mezi dvěma Já-gradované vektorové prostory F : PROTI → Ž se nazývá a odstupňovaná lineární mapa pokud zachovává třídění homogenních prvků. Klasifikovaná lineární mapa se také nazývá a homomorfismus (nebo morfismus) odstupňovaných vektorových prostorů, nebo homogenní lineární mapa:
- pro všechny i v Já.
Pro pevné pole a pevná sada indexů tvoří odstupňované vektorové prostory a kategorie jejichž morfismy jsou odstupňované lineární mapy.
Když Já je komutativní monoidní (tak jako přirozená čísla ), pak lze obecněji definovat lineární mapy, které jsou homogenní jakéhokoli stupně i v Já u nemovitosti
- pro všechny j v Já,
kde „+“ označuje monoidní operaci. Pokud navíc Já uspokojuje zrušení majetku aby jej bylo možné vložit do a komutativní skupina A že generuje (například celá čísla -li Já je přirozená čísla), pak lze také definovat lineární mapy, které jsou homogenní se stupněm i v A stejnou vlastností (ale nyní "+" označuje operaci skupiny v A). Konkrétně pro i v Já lineární mapa bude homogenní se stupněm -i -li
- pro všechny j v Já, zatímco
- -li j − i není v Já.
Stejně jako sada lineárních map z vektorového prostoru k sobě tvoří asociativní algebra (algebra z endomorfismy vektorového prostoru), sady homogenních lineárních map z prostoru do sebe samého, buď omezující stupně na Já nebo povolit jakékoli tituly ve skupině A, tvoří asociativní odstupňované algebry přes tyto sady indexů.
Operace s odstupňovanými vektorovými prostory
Některé operace s vektorovými prostory lze definovat také pro odstupňované vektorové prostory.
Vzhledem k tomu dva Já-gradované vektorové prostory PROTI a Ž, jejich přímý součet má podkladový vektorový prostor PROTI ⊕ Ž s gradací
- (PROTI ⊕ Ž)i = PROTIi ⊕ Ži .
Li Já je poloskupina, pak tenzorový produkt ze dvou Já-gradované vektorové prostory PROTI a Ž Je další Já-gradovaný vektorový prostor, s gradací
Viz také
- Hodnocení (matematika)
- Odstupňovaná algebra
- Série Hilbert – Poincaré
- Modul
- Tříděný modul
- Vláda Littlewood – Richardson
Reference
- Bourbaki, N. (1974) Algebra I (Kapitoly 1-3), ISBN 978-3-540-64243-5, Kapitola 2, oddíl 11; Kapitola 3.