Věta o dimenzi pro vektorové prostory - Dimension theorem for vector spaces

v matematika, věta o dimenzi pro vektorové prostory uvádí, že vše základny a vektorový prostor mít stejně mnoho prvků. Tento počet prvků může být konečný nebo nekonečný (v druhém případě se jedná o a základní číslovka ) a definuje dimenze vektorového prostoru.

Formálně to uvádí věta o dimenzi pro vektorové prostory

Vzhledem k tomu, vektorový prostor PROTI, jakékoli dvě základny mají stejné mohutnost.

Jako základ je a generující sada to je lineárně nezávislé, věta je důsledkem následující věty, která je také užitečná:

Ve vektorovém prostoru PROTI, pokud G je generující množina a Já je lineárně nezávislá množina, pak mohutnost Já není větší než mohutnost G.

Zejména pokud PROTI je definitivně generováno, pak jsou všechny jeho báze konečné a mají stejný počet prvků.

Zatímco důkaz existence základu pro jakýkoli vektorový prostor v obecném případě vyžaduje Zornovo lemma a je ve skutečnosti ekvivalentní s axiom volby, jedinečnost mohutnosti základny vyžaduje pouze ultrafiltrační lemma,^[1] což je přísně slabší (níže uvedený důkaz však předpokládá trichotomie tj. to vše základní čísla jsou srovnatelné, tvrzení, které je rovněž ekvivalentní s axiomem výběru). Větu lze zobecnit na libovolnou R- moduly pro prsteny R mít invariantní číslo základny.

V definitivně generovaném případě používá důkaz pouze elementární argumenty algebra, a nevyžaduje axiom výběru ani jeho slabší varianty.

Důkaz

Nechat PROTI být vektorovým prostorem, {A_i: i ∈ Já} být lineárně nezávislé sada prvků PROTI, a {b_j: j ∈ J} být generující sada. Je třeba dokázat, že mohutnost z Já není větší než J.

Li J je konečný, vyplývá to z Steinitzovo výměnné lema. (Opravdu Steinitzovo výměnné lema znamená každou konečnou podmnožinu Já má mohutnost ne větší než J, proto Já je konečný s mohutností ne větší než J.) Pokud J je konečný, je také možný důkaz založený na teorii matic.^[2]

Předpokládat, že J je nekonečný. Li Já je konečný, není co dokazovat. Můžeme to tedy předpokládat Já je také nekonečný. Předpokládejme, že mohutnost Já je větší než u J.^{[poznámka 1]} Musíme dokázat, že to vede k rozporu.

Podle Zornovo lemma, každá lineárně nezávislá množina je obsažena v maximální lineárně nezávislé množině K.. Z této maximality to vyplývá K. rozpětí PROTI a je tedy základem (z maximality vyplývá, že každý prvek z PROTI je lineárně závislá na prvcích K., a proto je lineární kombinací prvků K.). Vzhledem k mohutnosti K. je větší nebo rovno mohutnosti Já, jeden může nahradit {A_i: i ∈ Já} s K., to znamená, lze předpokládat, aniž by došlo ke ztrátě obecnosti {A_i: i ∈ Já} je základ.

Tedy každý b_j lze zapsat jako konečný součet

${ displaystyle textstyle b_ {j} = součet _ {i v E_ {j}} lambda _ {i, j} a_ {i},}$

kde ${ displaystyle E_ {j}}$ je konečná podmnožina ${ displaystyle I.}$ Tak jako J je nekonečný, ${ displaystyle textstyle bigcup _ {j v J} E_ {j}}$ má stejnou mohutnost jako J.^{[poznámka 1]} Proto ${ displaystyle textstyle bigcup _ {j v J} E_ {j}}$ má mohutnost menší než Já. Takže nějaké jsou ${ displaystyle i_ {0} v I}$ který se neobjevuje v žádném ${ displaystyle E_ {j}}$. Korespondence ${ displaystyle a_ {i_ {0}}}$ lze vyjádřit jako konečnou lineární kombinaci ${ displaystyle b_ {j}}$s, což lze vyjádřit jako konečnou lineární kombinaci ${ displaystyle a_ {i}}$s, bez účasti ${ displaystyle a_ {i_ {0}}}$. Proto ${ displaystyle a_ {i_ {0}}}$ je lineárně závislý na druhém ${ displaystyle a_ {i}}$s, který poskytuje požadovaný rozpor.

Věta o rozšíření jádra pro vektorové prostory

Tato aplikace věty o dimenzi se někdy sama nazývá věta o dimenzi. Nechat

T: U → PROTI

být lineární transformace. Pak

ztlumit(rozsah(T)) + ztlumit(jádro(T)) = ztlumit(U),

tj. rozměr U se rovná dimenzi transformace rozsah plus rozměr jádro. Vidět věta o nulitě pro plnější diskusi.

Poznámky

Reference