Riesz – Fischerova věta - Riesz–Fischer theorem

v matematika, Riesz – Fischerova věta v skutečná analýza je jakýkoli z řady úzce souvisejících výsledků týkajících se vlastností prostoru L² z čtvercový integrovatelný funkce. Věta byla nezávisle prokázána v roce 1907 autorem Frigyes Riesz a Ernst Sigismund Fischer.

Pro mnoho autorů Riesz – Fischerova věta odkazuje na skutečnost, že L^p mezery z Lebesgueova integrace teorie jsou kompletní.

Moderní formy věty

Nejběžnější forma věty uvádí, že měřitelná funkce na [- $π$ , $π$ ] je čtvercový integrovatelný kdyby a jen kdyby korespondence Fourierova řada konverguje do prostor L². To znamená, že pokud Nth částečný součet Fourierovy řady odpovídající funkci integrovatelné do čtverce F darováno

{ displaystyle S_ {N} f (x) = součet _ {n = -N} ^ {N} F_ {n} , mathrm {e} ^ {inx},}

kde F_n, nth Fourier součinitel, darováno

{ displaystyle F_ {n} = { frac {1} {2 pi}} int _ {- pi} ^ { pi} f (x) , mathrm {e} ^ {- inx} , mathrm {d} x,}

pak

{ displaystyle lim _ {N až infty} vlevo Vert S_ {N} f-f vpravo | _ {2} = 0,}

kde ${ displaystyle | cdot | _ {2}}$ je L²-norma.

Naopak, pokud ${ displaystyle {a_ {n} } ,}$ je oboustranný sekvence z komplexní čísla (to je jeho indexy rozsah od záporného nekonečno do kladného nekonečna) tak, že

{ displaystyle sum _ {n = - infty} ^ { infty} left | a_ {n} right vert ^ {2} < infty,}

pak existuje funkce F takhle F je čtvercově integrovatelný a hodnoty ${ displaystyle a_ {n}}$ jsou Fourierovy koeficienty F.

Tato forma Riesz – Fischerovy věty je silnější formou Besselova nerovnost, a lze je použít k prokázání Parsevalova identita pro Fourierova řada.

Jiné výsledky se často nazývají Riesz – Fischerova věta (Dunford & Schwartz 1958, §IV.16). Mezi nimi je věta, že pokud A je ortonormální odehrává se v Hilbertův prostor H, a X ∈ H, pak

{ displaystyle langle x, y rangle = 0}

pro všechny kromě nespočetně mnoha y ∈ A, a

{ displaystyle sum _ {y v A} | langle x, y rangle | ^ {2} leq | x | ^ {2}.}

Kromě toho, pokud A je ortonormální základ pro H a X libovolný vektor, řada

{ displaystyle sum _ {y v A} langle x, y rangle , y}

konverguje komutativně (nebo bezpodmínečně) až X. To odpovídá tvrzení, že pro každého ε > 0, existuje konečná množina B₀ v A takhle

{ displaystyle | x- součet _ {y v B} langle x, y rangle y | < varepsilon}

pro každou konečnou množinu B obsahující B₀. Kromě toho jsou na scéně následující podmínky A jsou ekvivalentní:

sada A je ortonormální základ H
pro každý vektor X ∈ H,

{ displaystyle | x | ^ {2} = součet _ {y v A} | langle x, y rangle | ^ {2}.}

Dalším výsledkem, který také někdy nese jméno Riesz a Fischer, je věta o tom L² (nebo obecněji L^p, 0 < p ≤ ∞) je kompletní.

Příklad

Riesz-Fischerova věta platí také v obecnějším nastavení. Nechat R být vnitřní produkt prostor skládající se z funkcí (například měřitelné funkce na řádku, analytické funkce na disku jednotky; ve staré literatuře někdy nazývaný euklidovský prostor) a ${ displaystyle { varphi _ {n} }}$ být ortonormální systém ve Windows R (např. Fourierova báze, Hermite nebo Laguerrovy polynomy atd. - viz ortogonální polynomy ), nemusí být nutně kompletní (ve vnitřním prostoru produktu, an ortonormální sada je kompletní pokud žádný nenulový vektor není kolmý ke každému vektoru v sadě). Věta tvrdí, že pokud je normovaný prostor R je kompletní (tedy R je Hilbertův prostor ), pak libovolná sekvence ${ displaystyle {c_ {n} }}$ to má konečný ℓ² Norma definuje funkci F v prostoru R.

Funkce F je definováno ${ displaystyle f = lim _ {n to infty} součet _ {k = 0} ^ {n} c_ {k} varphi _ {k}}$ , limit v R-norma.

V kombinaci s Besselova nerovnost, známe také konverzaci: pokud F je funkce v R, pak Fourierovy koeficienty ${ displaystyle (f, varphi _ {n})}$ mít konečné ℓ² norma.

Historie: Poznámka Riesze a Poznámka Fischera (1907)

V jeho poznámce Riesz (1907, str. 616) uvádí následující výsledek (přeložený zde do jednoho jazyka v jednom okamžiku: notace L²([A, b]) nebyl použit v roce 1907).

Nechat {φ_n} být ortonormální systém ve Windows L²([A, b]) a {A_n} sled skutečností. Konvergence řady ${ displaystyle sum a_ {n} ^ {2}}$ je nezbytnou a dostatečnou podmínkou pro existenci funkce F takhle

{ displaystyle int _ {a} ^ {b} f (x) varphi _ {n} (x) , mathrm {d} x = a_ {n}}

pro každého n.

Dnes je tento výsledek Riesze zvláštním případem základních faktů o sérii ortogonálních vektorů v Hilbertových prostorech.

Riesz's Note se objevil v březnu. V květnu, Fischer (1907, str. 1023) výslovně uvádí v teorémě (téměř s moderními slovy), že a Cauchyova posloupnost v L²([A, b]) konverguje dovnitř L²- normální pro nějakou funkci F v L²([A, b]). V této poznámce se Cauchyovy sekvence nazývají „sekvence konvergující ve střední hodnotě" a L²([A, b]) je označeno Ω. Také konvergence k limitu v L²–Norm se nazývá „konvergence v průměru k funkci". Zde je prohlášení přeložené z francouzštiny:

Teorém. Pokud posloupnost funkcí patřících do Ω konverguje ve střední hodnotě, existuje v Ω funkce f, ke které posloupnost konverguje ve střední hodnotě.

Fischer pokračuje v dokazování předchozího výsledku Riesze v důsledku ortogonality systému a úplnosti L².

Fischerův důkaz úplnosti je poněkud nepřímý. Využívá skutečnost, že neurčité integrály funkcí G_n v dané Cauchyově posloupnosti, jmenovitě

{ displaystyle G_ {n} (x) = int _ {a} ^ {x} g_ {n} (t) , mathrm {d} t,}

konvergovat jednotně na [A, b] na nějakou funkci G, spojitá s omezenou variací. Existence limitu G ∈ L² pro Cauchyovu sekvenci se získá aplikací na G diferenciační věty z Lebesgueovy teorie.
Riesz používá podobné úvahy ve své poznámce, ale výslovně nezmíní úplnost L², i když jeho výsledek lze interpretovat tímto způsobem. Říká, že integrací termínu po termínu trigonometrické řady s danými čtvercovými součtovými koeficienty získá řadu rovnoměrně konvergující k spojité funkci F s omezenou variací. Derivát F z F, definovaný téměř všude, je čtvercový součet a má pro Fourierovy koeficienty dané koeficienty.

Úplnost L^p, 0 < p ≤ ∞

U některých autorů, zejména Roydena,^[1] výsledkem je Riesz-Fischerova věta L^p je kompletní: že každá Cauchyova posloupnost funkcí v L^p konverguje na funkci v L^p, pod metrikou vyvolanou p-norma. Důkaz níže je založen na větách o konvergenci pro Lebesgueův integrál; výsledek lze také získat pro ${ displaystyle p v [1, infty]}$ tím, že ukazuje, že každý Cauchyova posloupnost má rychle konvergující Cauchyovu subsekvenci, že každá Cauchyova sekvence s konvergentní sub-sekvencí konverguje a že každá rychle Cauchyova sekvence v L^p sblíží se L^p.

Když 1 ≤ p ≤ ∞, Minkowského nerovnost znamená, že prostor L^p je normovaný prostor. Abych to dokázal L^p je kompletní, tj. to L^p je Banachův prostor, stačí (viz např. Banachův prostor # Definice ) dokázat, že každá série ∑u_n funkcí v L^p(μ) takové, že

{ displaystyle sum | u_ {n} | _ {p} < infty}

konverguje do L^p- normální pro nějakou funkci F ∈ L^p(μ). Pro p <∞, Minkowského nerovnost a monotónní věta o konvergenci naznačují to

{ displaystyle int { Bigl (} sum _ {n = 0} ^ { infty} | u_ {n} | { Bigr)} ^ {p} , mathrm {d} mu leq { Bigl (} sum _ {n = 0} ^ { infty} | u_ {n} | _ {p} { Bigr)} ^ {p} < infty, { text {odtud} } f = sum _ {n = 0} ^ { infty} u_ {n}}

je definováno μ– Téměř všude a F ∈ L^p(μ). The dominující věta o konvergenci se pak používá k prokázání toho, že dílčí součty řady konvergují k F v L^p-norma,

{ displaystyle int left | f- sum _ {k = 0} ^ {n} u_ {k} right | ^ {p} , mathrm {d} mu leq int left ( součet _ { ell> n} | u _ { ell} | right) ^ {p} , mathrm {d} mu rightarrow 0 { text {as}} n rightarrow infty.}

Případ 0 < p <1 vyžaduje určité úpravy, protože p-norm již není subaditivní. Jeden začíná silnějším předpokladem

{ displaystyle sum | u_ {n} | _ {p} ^ {p} < infty}

a opakovaně to používá

{ displaystyle left | sum _ {k = 0} ^ {n} u_ {k} right | ^ {p} leq sum _ {k = 0} ^ {n} | u_ {k} | ^ {p} { text {when}} p <1}

Pouzdro p = ∞ se redukuje na jednoduchou otázku o jednotné konvergenci mimo a μ-nezpůsobitelná sada.

Reference

^ Royden, H. L. (13. února 2017). Skutečná analýza. Fitzpatrick, Patrick, 1946- (čtvrté vydání). New York, New York. ISBN 9780134689494. OCLC 964502015.

Beals, Richard (2004), Analýza: Úvod, New York: Cambridge University Press, ISBN 0-521-60047-2.
Dunford, N .; Schwartz, J.T. (1958), Lineární operátory, část I, Wiley-Interscience.
Fischer, Ernst (1907), „Sur la Convergence en Moyenne“, Comptes rendus de l'Académie des sciences, 144: 1022–1024.
Riesz, Frigyes (1907), "Sur les systèmes orthogonaux de fonctions", Comptes rendus de l'Académie des sciences, 144: 615–619.

[1] Royden, H. L. (13. února 2017). Skutečná analýza. Fitzpatrick, Patrick, 1946- (čtvrté vydání). New York, New York. ISBN 9780134689494. OCLC 964502015.

[1]