Lineární nezávislost - Linear independence

tento článek potřebuje další citace pro ověření. Prosím pomozte vylepšit tento článek podle přidávání citací ke spolehlivým zdrojům. Zdroj bez zdroje může být napaden a odstraněn. Najít zdroje: „Lineární nezávislost“  – zprávy  · noviny  · knihy  · učenec  · JSTOR (Ledna 2019) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

Lineárně nezávislé vektory v ${ displaystyle mathbb {R} ^ {3}}$

Lineárně závislé vektory v rovině v ${ displaystyle mathbb {R} ^ {3}}$.

V teorii vektorové prostory, a soubor z vektory se říká, že je lineárně závislé pokud lze alespoň jeden z vektorů v sadě definovat jako a lineární kombinace ostatních; pokud nelze v této sadě zapsat žádný vektor, pak se o vektorech říká, že jsou lineárně nezávislé. Tyto pojmy jsou klíčové pro definici dimenze.^[1]

Vektorový prostor může být konečná dimenze nebo nekonečná dimenze v závislosti na počtu lineárně nezávislých základní vektory. Definice lineární závislosti a schopnost určit, zda je podmnožina vektorů ve vektorovém prostoru lineárně závislá, jsou při určování základ pro vektorový prostor.

Definice

Posloupnost vektorů ${ displaystyle ({ vec {v_ {1}}}, { vec {v_ {2}}}, tečky, { vec {v_ {k}}})}$ od a vektorový prostor PROTI se říká, že je lineárně závislé, pokud existují skaláry ${ displaystyle a_ {1}, a_ {2}, tečky, a_ {k}}$ , ne všechny nulové, takové

${ displaystyle a_ {1} { vec {v_ {1}}} + a_ {2} { vec {v_ {2}}} + cdots + a_ {k} { vec {v_ {k}}} = { vec {0}},}$

kde ${ displaystyle { vec {0}}}$ označuje nulový vektor.

Všimněte si, že pokud ne všechny skaláry jsou nula, pak alespoň jeden je nenulový, řekněme ${ displaystyle a_ {1}}$, v takovém případě lze tuto rovnici napsat ve tvaru

${ displaystyle { vec {v_ {1}}} = { frac {-a_ {2}} {a_ {1}}} { vec {v_ {2}}} + cdots + { frac {- a_ {k}} {a_ {1}}} { vec {v_ {k}}}.}$

Tím pádem, ${ displaystyle { vec {v_ {1}}}}$ se ukazuje jako lineární kombinace zbývajících vektorů.

Posloupnost vektorů ${ displaystyle ({ vec {v_ {1}}}, { vec {v_ {2}}}, tečky, { vec {v_ {n}}})}$ se říká, že je lineárně nezávislé pokud rovnice

${ displaystyle a_ {1} { vec {v_ {1}}} + a_ {2} { vec {v_ {2}}} + cdots + a_ {n} { vec {v_ {n}}} = { vec {0}},}$

může být spokojen pouze ${ displaystyle a_ {i} = 0}$ pro ${ displaystyle i = 1, tečky, n}$. To znamená, že žádný vektor v sekvenci nemůže být reprezentován jako lineární kombinace zbývajících vektorů v sekvenci. Jinými slovy, posloupnost vektorů je lineárně nezávislá, pokud je jedinou reprezentací ${ displaystyle { vec {0}}}$ jako lineární kombinace jeho vektorů je triviální reprezentace, ve které jsou všechny skaláry ${ displaystyle a_ {i}}$ jsou nula.^[2] Ještě stručnější je, že posloupnost vektorů je lineárně nezávislá právě tehdy ${ displaystyle { vec {0}}}$ lze reprezentovat jako lineární kombinaci svých vektorů jedinečným způsobem.

Alternativní definice, že posloupnost vektorů je lineárně závislá právě tehdy, když lze některý vektor v této sekvenci zapsat jako lineární kombinaci ostatních vektorů, je užitečná pouze v případě, že sekvence obsahuje dva nebo více vektorů. Pokud sekvence neobsahuje žádné vektory nebo pouze jeden vektor, použije se původní definice.

Nekonečné rozměry

Aby bylo možné dosáhnout počtu lineárně nezávislých vektorů ve vektorovém prostoru počítatelně nekonečný, je užitečné definovat lineární závislost následujícím způsobem. Obecněji řečeno PROTI být vektorovým prostorem nad a pole K., a nechť {proti_i | i ∈ Já} být rodina prvků PROTI indexováno sadou Já. Rodina je lineárně závislé přes K. pokud existuje neprázdné konečný podmnožina J ⊆ Já a rodina {A_j | j ∈ J} prvků K., všechny nenulové, takové

${ displaystyle sum _ {j v J} a_ {j} v_ {j} = 0.}$

Sada X prvků PROTI je lineárně nezávislé pokud příslušná rodina {X}_X∈X je lineárně nezávislý. Ekvivalentně je rodina závislá, pokud je člen v závěru lineární rozpětí ze zbytku rodiny, tj. člen je a lineární kombinace zbytku rodiny. Triviální případ prázdné rodiny musí být považován za lineárně nezávislý, aby věty mohly platit.

Sada vektorů, která je lineárně nezávislá a rozpětí nějaký vektorový prostor, tvoří a základ pro ten vektorový prostor. Například vektorový prostor všech polynomů v X nad reálemi má (nekonečnou) podmnožinu {1, X, X², ...} jako základ.

Geometrický význam

Geografický příklad může pomoci objasnit pojem lineární nezávislosti. Osoba popisující polohu určitého místa by mohla říci: „Je to 3 míle na sever a 4 míle na východ odtud.“ To je dostatečná informace k popisu polohy, protože geografický souřadný systém lze považovat za 2-dimenzionální vektorový prostor (ignoruje nadmořskou výšku a zakřivení zemského povrchu). Osoba by mohla přidat: „Místo je 5 mil severovýchodně odtud.“ Ačkoli toto poslední prohlášení je skutečný, není to nutné.

V tomto příkladu jsou vektor „3 míle na sever“ a vektor „4 míle na východ“ lineárně nezávislé. To znamená, že severní vektor nelze popsat východním vektorem a naopak. Třetí vektor „5 mil na severovýchod“ je a lineární kombinace dalších dvou vektorů a vytvoří sadu vektorů lineárně závislé, to znamená, že jeden ze tří vektorů je zbytečný.

Všimněte si také, že pokud výška není ignorována, je nutné přidat třetí vektor do lineárně nezávislé množiny. Obecně, n k popisu všech lokací v jsou požadovány lineárně nezávislé vektory n-rozměrný prostor.

Hodnocení lineární nezávislosti

Vektory v R.²

Tři vektory: Zvažte sadu vektorů proti₁ = (1, 1), proti₂ = (-3, 2) a proti₃ = (2, 4), pak podmínka pro lineární závislost hledá množinu nenulových skalárů, takovou

${ displaystyle a_ {1} { begin {Bmatrix} 1 1 end {Bmatrix}} + a_ {2} { begin {Bmatrix} -3 2 end {Bmatrix}} + a_ {3} { begin {Bmatrix} 2 4 end {Bmatrix}} = { begin {Bmatrix} 0 0 end {Bmatrix}},}$

nebo

${ displaystyle { begin {bmatrix} 1 & -3 & 2 1 & 2 & 4 end {bmatrix}} { begin {Bmatrix} a_ {1} a_ {2} a_ {3} end {Bmatrix}} = { begin {Bmatrix} 0 0 end {Bmatrix}}.}$

Řádek zmenšit tuto maticovou rovnici odečtením prvního řádku od druhého k získání,

${ displaystyle { begin {bmatrix} 1 & -3 & 2 0 & 5 & 2 end {bmatrix}} { begin {Bmatrix} a_ {1} a_ {2} a_ {3} end {Bmatrix}} = { begin {Bmatrix} 0 0 end {Bmatrix}}.}$

Pokračujte v redukci řádků (i) vydělením druhého řádku 5 a poté (ii) vynásobením 3 a přidáním do prvního řádku, tj.

${ displaystyle { begin {bmatrix} 1 a 0 a 16/5 0 a 1 a 2/5 end {bmatrix}} { begin {Bmatrix} a_ {1} a_ {2} a_ {3} end {Bmatrix} } = { begin {Bmatrix} 0 0 end {Bmatrix}}.}$

Nyní můžeme tuto rovnici uspořádat a získat ji

${ displaystyle { begin {bmatrix} 1 & 0 0 & 1 end {bmatrix}} { begin {Bmatrix} a_ {1} a_ {2} end {Bmatrix}} = { begin {Bmatrix} a_ { 1} a_ {2} end {Bmatrix}} = - a_ {3} { begin {Bmatrix} 16/5 2/5 end {Bmatrix}}.}$

což ukazuje, že nenulová A_i existují takové proti₃ = (2, 4) lze definovat pomocí proti₁ = (1, 1), proti₂ = (-3, 2). Tři vektory jsou tedy lineárně závislé.

Dva vektory: Nyní zvažte lineární závislost dvou vektorů proti₁ = (1, 1), proti₂ = (-3, 2) a zkontrolujte,

${ displaystyle a_ {1} { begin {Bmatrix} 1 1 end {Bmatrix}} + a_ {2} { begin {Bmatrix} -3 2 end {Bmatrix}} = { begin { Bmatrix} 0 0 end {Bmatrix}},}$

nebo

${ displaystyle { begin {bmatrix} 1 & -3 1 & 2 end {bmatrix}} { begin {Bmatrix} a_ {1} a_ {2} end {Bmatrix}} = { begin {Bmatrix} 0 0 end {Bmatrix}}.}$

Stejné snížení řádků uvedené výše přináší výnosy,

${ displaystyle { begin {bmatrix} 1 & 0 0 & 1 end {bmatrix}} { begin {Bmatrix} a_ {1} a_ {2} end {Bmatrix}} = { begin {Bmatrix} 0 0 end {Bmatrix}}.}$

To ukazuje A_i = 0, což znamená, že vektory proti₁ = (1, 1) a proti₂ = (-3, 2) jsou lineárně nezávislé.

Vektory v R.⁴

Aby bylo možné zjistit, zda jsou tři vektory v R⁴,

${ displaystyle mathbf {v} _ {1} = { začátek {Bmatrix} 1 4 2 - 3 end {Bmatrix}}, mathbf {v} _ {2} = { začátek {Bmatrix} 7 10 - 4 - 1 end {Bmatrix}}, mathbf {v} _ {3} = { begin {Bmatrix} -2 1 5 - 4 end {Bmatrix}}.}$

jsou lineárně závislé, tvoří maticovou rovnici,

${ displaystyle { begin {bmatrix} 1 & 7 & -2 4 & 10 & 1 2 & -4 & 5 - 3 & -1 & -4 end {bmatrix}} { begin {Bmatrix} a_ {1} a_ {2} a_ {3} end {Bmatrix}} = { begin {Bmatrix} 0 0 0 0 end {Bmatrix}}.}$

Řádek zmenšete tuto rovnici, abyste získali,

${ displaystyle { begin {bmatrix} 1 & 7 & -2 0 & -18 & 9 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 end {bmatrix}} { begin {Bmatrix} a_ {1} a_ {2} a_ {3 } end {Bmatrix}} = { begin {Bmatrix} 0 0 0 0 end {Bmatrix}}.}$

Uspořádat k vyřešení pro v₃ a získat,

${ displaystyle { begin {bmatrix} 1 & 7 0 & -18 & end {bmatrix}} { begin {Bmatrix} a_ {1} a_ {2} end {Bmatrix}} = - a_ {3} { begin {Bmatrix} -2 9 end {Bmatrix}}.}$

Tuto rovnici lze snadno vyřešit tak, že definujeme nenulovou hodnotu A_i,

${ displaystyle a_ {1} = - 3a_ {3} / 2, a_ {2} = a_ {3} / 2,}$

kde A₃ lze zvolit libovolně. Tedy vektory proti₁, proti₂ a proti₃ jsou lineárně závislé.

Alternativní metoda využívající determinanty

Alternativní metoda se opírá o skutečnost, že n vektory v ${ displaystyle mathbb {R} ^ {n}}$ jsou lineárně nezávislý kdyby a jen kdyby the určující z matice vytvořený tím, že vezme vektory, protože jeho sloupce jsou nenulové.

V tomto případě je matice tvořená vektory

${ displaystyle A = { begin {bmatrix} 1 & -3 1 & 2 end {bmatrix}}.}$

Můžeme napsat lineární kombinaci sloupců jako

${ displaystyle A Lambda = { begin {bmatrix} 1 & -3 1 & 2 end {bmatrix}} { begin {bmatrix} lambda _ {1} lambda _ {2} end {bmatrix} }.}$

Zajímá nás, zda AΛ = 0 pro nějaký nenulový vektor Λ. To záleží na determinantu A, který je

${ displaystyle det A = 1 cdot 2-1 cdot (-3) = 5 neq 0.}$

Protože určující je nenulová, vektory (1, 1) a (-3, 2) jsou lineárně nezávislé.

Jinak předpokládejme, že máme m vektory n souřadnice, s m < n. Pak A je n×m matice a Λ je vektor sloupce s m záznamů a opět nás zajímá AΛ = 0. Jak jsme viděli dříve, je to ekvivalentní seznamu n rovnice. Zvažte první m řádky A, první m rovnice; jakékoli řešení úplného seznamu rovnic musí platit i pro redukovaný seznam. Ve skutečnosti, pokud 〈i₁,...,i_m〉 Je libovolný seznam m řádky, pak pro tyto řádky musí platit rovnice.

${ displaystyle A _ {{ langle i_ {1}, dots, i_ {m}} rangle} Lambda = mathbf {0}.}$

Opak je navíc pravdivý. To znamená, že můžeme vyzkoušet, zda m vektory jsou lineárně závislé testováním, zda

${ displaystyle det A _ {{ langle i_ {1}, dots, i_ {m}} rangle} = 0}$

pro všechny možné seznamy m řádky. (V případě m = n, to vyžaduje pouze jeden determinant, jak je uvedeno výše. Li m > n, pak je teorém, že vektory musí být lineárně závislé.) Tato skutečnost je pro teorii cenná; v praktických výpočtech jsou k dispozici účinnější metody.

Více vektorů než dimenzí

Pokud existuje více vektorů než rozměrů, jsou vektory lineárně závislé. To je znázorněno na výše uvedeném příkladu tří vektorů v R².

Vektory přirozeného základu

Nechat PROTI = Rⁿ a zvažte následující prvky v PROTI, známý jako přírodní základ vektory:

${ displaystyle { begin {matrix} mathbf {e} _ {1} & = & (1,0,0, ldots, 0) mathbf {e} _ {2} & = & (0, 1,0, ldots, 0) & vdots mathbf {e} _ {n} & = & (0,0,0, ldots, 1). End {matrix}}}$

Pak E₁, E₂, ..., E_n jsou lineárně nezávislé.

Důkaz

Předpokládejme to A₁, A₂, ..., A_n jsou prvky R takhle

${ displaystyle a_ {1} mathbf {e} _ {1} + a_ {2} mathbf {e} _ {2} + cdots + a_ {n} mathbf {e} _ {n} = mathbf {0}.}$

Od té doby

${ displaystyle a_ {1} mathbf {e} _ {1} + a_ {2} mathbf {e} _ {2} + cdots + a_ {n} mathbf {e} _ {n} = (a_ {1}, a_ {2}, ldots, a_ {n}),}$

pak A_i = 0 pro všechny i v 1, ..., n}.

Lineární nezávislost základních funkcí

Nechat ${ displaystyle V}$ být vektorový prostor všech diferencovatelných funkce skutečné proměnné ${ displaystyle t}$. Pak funkce ${ displaystyle e ^ {t}}$ a ${ displaystyle e ^ {2t}}$ v ${ displaystyle V}$ jsou lineárně nezávislé.

Důkaz

Předpokládat ${ displaystyle a}$ a ${ displaystyle b}$ jsou dvě reálná čísla taková

${ displaystyle ae ^ {t} + být ^ {2t} = 0}$

Vezměte první derivaci výše uvedené rovnice tak, že

${ displaystyle ae ^ {t} + 2be ^ {2t} = 0}$

pro Všechno hodnoty t. Musíme to ukázat ${ displaystyle a = 0}$ a ${ displaystyle b = 0}$. Abychom to mohli udělat, odečteme první rovnici od druhé, dáváme ${ displaystyle be ^ {2t} = 0}$. Od té doby ${ displaystyle e ^ {2t}}$ není pro některé nula t, ${ displaystyle b = 0}$. Z toho vyplývá, že ${ displaystyle a = 0}$ také. Proto podle definice lineární nezávislosti ${ displaystyle e ^ {t}}$ a ${ displaystyle e ^ {2t}}$ jsou lineárně nezávislé.

Prostor lineárních závislostí

A lineární závislost nebo lineární vztah mezi vektory proti₁, ..., proti_n je n-tice (A₁, ..., A_n) s n skalární komponenty takové, že

${ displaystyle a_ {1} mathbf {v} _ {1} + cdots + a_ {n} mathbf {v} _ {n} = mathbf {0}.}$

Pokud taková lineární závislost existuje alespoň s nenulovou složkou, pak n vektory jsou lineárně závislé. Lineární závislosti mezi proti₁, ..., proti_n tvoří vektorový prostor.

Pokud jsou vektory vyjádřeny jejich souřadnicemi, pak jsou lineární závislosti řešením homogenní soustava lineárních rovnic, se souřadnicemi vektorů jako koeficienty. A základ vektorového prostoru lineárních závislostí lze tedy vypočítat pomocí Gaussova eliminace.

Afinní nezávislost

O sadě vektorů se říká, že jsou afinně závislý pokud lze alespoň jeden z vektorů v sadě definovat jako afinní kombinace ostatních. Jinak se sada volá afinně nezávislý. Jakákoli afinní kombinace je lineární kombinace; proto každá afinně závislá množina je lineárně závislá. Naopak každá lineárně nezávislá množina je afinně nezávislá.

Zvažte sadu m vektory ${ displaystyle (v_ {1}, ldots, v_ {m})}$ velikosti n každý, a zvažte sadu m rozšířené vektory ${ displaystyle ({ binom {1} {v_ {1}}}, ldots, { binom {1} {v_ {m}}})}$ velikosti n+1. Původní vektory jsou afinně nezávislé právě tehdy, jsou-li rozšířené vektory lineárně nezávislé.^[3]:256

Viz také: afinní prostor.

Viz také

• Matroid - Abstraktní struktura, která modeluje a zobecňuje lineární nezávislost

Reference

externí odkazy

• „Lineární nezávislost“, Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS, 2001 [1994]
• Lineárně závislé funkce na WolframMathWorld.
• Výukový program a interaktivní program o lineární nezávislosti.
• Úvod do lineární nezávislosti na KhanAcademy.